Grenzwertschreibweise

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Wie liest man ?
1. a) ist gleich in
2. b)Die Funktion ist gleich
3. c)Der Grenzwert von für gegen
4. d)Der Wert von
Lösung: Der Grenzwert von für gegen
Die Notation liest sich "der Grenzwert von für gegen ." Der Pfeil bedeutet "nähert sich", nicht "ist gleich."
2.
Was bedeutet der Pfeil () in der Grenzwertschreibweise?
1. a)Wandelt sich um in
2. b)Ist größer als
3. c)Nähert sich (kommt beliebig nahe)
4. d)Ist gleich
Lösung: Nähert sich (kommt beliebig nahe)
Der Pfeil bedeutet "nähert sich" oder "kommt beliebig nahe an." Wenn wir schreiben, meinen wir, dass immer näher an herankommt, aber niemals tatsächlich erreicht.
3.
Im Ausdruck , welchem Wert nähert sich ?
Lösung: 7
Der Index sagt uns, dass sich nähert. Dies liest sich als "der Grenzwert für gegen ."
4.
Was bedeutet ?
1. a)Der Grenzwert für gegen von rechts
2. b) ist gleich plus etwas
3. c)Der Grenzwert für gegen von links
4. d)Der Grenzwert für gegen positiv
Lösung: Der Grenzwert für gegen von rechts
Die Notation bedeutet "von rechts" oder "von Werten größer als ." Also bedeutet , dass sich durch Werte wie nähert
5.
Wenn , was ist ?
Lösung: 10
Wenn sich nähert, nähert sich der Ausdruck dem Wert . Für stetige Funktionen wie Polynome ist der Grenzwert gleich dem Funktionswert an diesem Punkt.
6.
Was stellt dar?
1. a)Der linksseitige Grenzwert bei
2. b)Der negative Grenzwert bei
3. c)Der Grenzwert von
4. d)Der rechtsseitige Grenzwert bei
Lösung: Der linksseitige Grenzwert bei
Die Notation bedeutet, sich von links zu nähern (von Werten kleiner als ), wie . Dies wird als linksseitiger Grenzwert bezeichnet.
7.
Schreibe die Grenzwertschreibweise für: "Der Grenzwert von für gegen ist gleich ."
Lösung: lim(x→3)(x²+1)=10
1. Mit welchem Symbol beginnt ein Grenzwertausdruck? lim
2. Welchem Wert nähert sich ? 3
3. Von welcher Funktion nehmen wir den Grenzwert? x^2+1
4. Was ist der Grenzwert? 10
8.
Was bedeutet ?
1. a)Wenn , dann
2. b)Die Funktion hat einen Maximalwert von
3. c)Wenn unbeschränkt wächst, nähert sich dem Wert
4. d) wächst bei ins Unendliche
Lösung: Wenn unbeschränkt wächst, nähert sich dem Wert
Diese Notation sagt, dass wenn beliebig groß wird (unbeschränkt wächst), die Funktionswerte immer näher an herankommen. Die Gerade ist eine horizontale Asymptote.
9.
In , aus welcher Richtung nähert sich der ?
Lösung: right
Die Notation bedeutet Annäherung von rechts (positive Seite). Also nimmt Werte wie an, die alle positiv sind und sich von rechts auf dem Zahlenstrahl nähern.
10.
Übersetze in Grenzwertschreibweise: "Wenn sich von links nähert, nähert sich ."
Lösung: lim(x→2⁻)f(x)=-∞
1. Wie lautet das Grenzwertoperatorsymbol? lim
2. Welchem Wert nähert sich ? 2
3. Welcher Hochindex bedeutet 'von links'? -
4. Wogegen strebt ? -∞
11.
Was bedeutet es, wenn ?
1. a)Die Funktion ist bei stetig
2. b)Die Funktion ist bei gleich
3. c)Der zweiseitige Grenzwert existiert nicht
4. d)Die einseitigen Grenzwerte sind beide unendlich
Lösung: Der zweiseitige Grenzwert existiert nicht
Damit ein zweiseitiger Grenzwert existiert, müssen der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert gleich sein. Wenn sie unterschiedlich sind, sagen wir, der Grenzwert existiert nicht (DNE) an diesem Punkt.
12.
Interpretiere die Aussage:
Lösung: As x decreases without bound, the function approaches 3
1. Was bedeutet ? x nimmt unbeschränkt ab
2. Welche Funktion analysieren wir? 3x/(x+1)
3. Welchem Wert nähert sich die Funktion? 3
4. Welche Art von Asymptote stellt dies dar? horizontal
13.
Welche Aussage interpretiert korrekt?
1. a)Der Sinus von geteilt durch ist gleich
2. b)Wenn , ist die Funktion gleich
3. c)
4. d)Wenn sich nähert, nähert sich das Verhältnis dem Wert
Lösung: Wenn sich nähert, nähert sich das Verhältnis dem Wert
Die Funktion ist bei undefiniert (Division durch Null!), aber wenn sich nähert (von beiden Seiten), nähern sich die Werte . Dies ist ein fundamentaler Grenzwert in der Analysis.
14.
Wenn und , was ist ?
Lösung: 4
Da beide einseitigen Grenzwerte gleich sind, existiert der zweiseitige Grenzwert und ist gleich . Das ist die Definition: genau dann, wenn .
15.
Schreibe die vollständige Grenzwertschreibweise für: "Wenn die Zeit unbeschränkt zunimmt, nähert sich die Bevölkerung ihrer Tragfähigkeit von ."
Lösung: lim(t→∞)P(t)=1000
1. Welche Variable repräsentiert die Zeit im Problem? t
2. Was bedeutet 'nimmt unbeschränkt zu' in Grenzwertschreibweise? ∞
3. Welche Funktion beschreibt die Bevölkerung? P(t)
4. Welchem Wert nähert sich die Bevölkerung? 1000
16.
Was ist falsch daran, nur "" zu schreiben?
1. a)Es gibt nicht an, welchem Wert sich nähert
2. b)Der Funktionsname sollte in Klammern stehen
3. c)Das Gleichheitszeichen wird nicht benötigt
4. d)Der Grenzwert sollte zuerst geschrieben werden
Lösung: Es gibt nicht an, welchem Wert sich nähert
Der Index, der zeigt, welchem Wert sich nähert, ist wesentlich. Ohne ihn wissen wir nicht, ob wir den Grenzwert für , , usw. suchen. Die korrekte Form erfordert mit einem spezifischen Wert für .