Grenzwertschreibweise

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Wie liest man $\lim_{x \to 5} f(x)$ ?
1. a) $x$ ist gleich $5$ in $f(x)$
2. b)Der Grenzwert von $f(x)$ für $x$ gegen $5$
3. c)Die Funktion $f$ ist gleich $5$
4. d)Der Wert von $f(5)$
Lösung: Der Grenzwert von $f(x)$ für $x$ gegen $5$
Die Notation $\lim_{x \to 5} f(x)$ liest sich "der Grenzwert von $f(x)$ für $x$ gegen $5$ ." Der Pfeil bedeutet "nähert sich", nicht "ist gleich."
2.
Was bedeutet der Pfeil ( $\to$ ) in der Grenzwertschreibweise?
1. a)Wandelt sich um in
2. b)Ist größer als
3. c)Ist gleich
4. d)Nähert sich (kommt beliebig nahe)
Lösung: Nähert sich (kommt beliebig nahe)
Der Pfeil $\to$ bedeutet "nähert sich" oder "kommt beliebig nahe an." Wenn wir $x \to 3$ schreiben, meinen wir, dass $x$ immer näher an $3$ herankommt, aber niemals tatsächlich $3$ erreicht.
3.
Im Ausdruck $\lim_{x \to 7} (x + 2)$ , welchem Wert nähert sich $x$ ?
Lösung: 7
Der Index $x \to 7$ sagt uns, dass $x$ sich $7$ nähert. Dies liest sich als "der Grenzwert für $x$ gegen $7$ ."
4.
Was bedeutet $\lim_{x \to 3^+} f(x)$ ?
1. a) $x$ ist gleich $3$ plus etwas
2. b)Der Grenzwert für $x$ gegen $3$ von rechts
3. c)Der Grenzwert für $x$ gegen $3$ von links
4. d)Der Grenzwert für $x$ gegen positiv $3$
Lösung: Der Grenzwert für $x$ gegen $3$ von rechts
Die Notation $3^+$ bedeutet "von rechts" oder "von Werten größer als $3$ ." Also bedeutet $x \to 3^+$ , dass $x$ sich $3$ durch Werte wie $3{,}1; 3{,}01; 3{,}001; ...$ nähert.
5.
Wenn $\lim_{x \to 4} (3x - 2) = L$ , was ist $L$ ?
Lösung: 10
Wenn $x$ sich $4$ nähert, nähert sich der Ausdruck $3x - 2$ dem Wert $3(4) - 2 = 12 - 2 = 10$ . Für stetige Funktionen wie Polynome ist der Grenzwert gleich dem Funktionswert an diesem Punkt.
6.
Was stellt $\lim_{x \to 2^-} f(x)$ dar?
1. a)Der linksseitige Grenzwert bei $x = 2$
2. b)Der negative Grenzwert bei $x = 2$
3. c)Der Grenzwert von $f(-2)$
4. d)Der rechtsseitige Grenzwert bei $x = 2$
Lösung: Der linksseitige Grenzwert bei $x = 2$
Die Notation $2^-$ bedeutet, sich $2$ von links zu nähern (von Werten kleiner als $2$ ), wie $1{,}9; 1{,}99; 1{,}999; ...$ . Dies wird als linksseitiger Grenzwert bezeichnet.
7.
Schreibe die Grenzwertschreibweise für: "Der Grenzwert von $x^2 + 1$ für $x$ gegen $3$ ist gleich $10$ ."
Lösung: lim(x→3)(x²+1)=10
1. Mit welchem Symbol beginnt ein Grenzwertausdruck? lim
2. Welchem Wert nähert sich $x$ ? 3
3. Von welcher Funktion nehmen wir den Grenzwert? x^2+1
4. Was ist der Grenzwert? 10
8.
Was bedeutet $\lim_{x \to \infty} f(x) = 5$ ?
1. a)Wenn $x = \infty$ , dann $f(x) = 5$
2. b)Wenn $x$ unbeschränkt wächst, nähert sich $f(x)$ dem Wert $5$
3. c)Die Funktion $f$ hat einen Maximalwert von $5$
4. d) $f(x)$ wächst bei $x = 5$ ins Unendliche
Lösung: Wenn $x$ unbeschränkt wächst, nähert sich $f(x)$ dem Wert $5$
Diese Notation sagt, dass wenn $x$ beliebig groß wird (unbeschränkt wächst), die Funktionswerte $f(x)$ immer näher an $5$ herankommen. Die Gerade $y = 5$ ist eine horizontale Asymptote.
9.
In $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty$ , aus welcher Richtung nähert sich $x$ der $0$ ?
1. a)Von links (Werte kleiner als $0$ )
2. b)Von rechts (Werte größer als $0$ )
3. c)Von beiden Seiten gleichzeitig
4. d)Die Schreibweise gibt keine Richtung an
Lösung: Von rechts (Werte größer als $0$ )
Die Notation $0^+$ bedeutet Annäherung von rechts (positive Seite). Also nimmt $x$ Werte wie $0{,}1; 0{,}01; 0{,}001; ...$ an, die alle positiv sind und sich $0$ von rechts auf dem Zahlenstrahl nähern.
10.
Übersetze in Grenzwertschreibweise: "Wenn $x$ sich $2$ von links nähert, strebt $f(x)$ gegen $-\infty$ ."
Lösung: lim(x→2⁻)f(x)=-∞
1. Wie lautet das Grenzwertoperatorsymbol? lim
2. Welchem Wert nähert sich $x$ ? 2
3. Welcher Hochindex bedeutet 'von links'? -
4. Wogegen strebt $f(x)$ ? -∞
11.
Was bedeutet es, wenn $\lim_{x \to 3^-} f(x) \neq \lim_{x \to 3^+} f(x)$ ?
1. a)Die Funktion ist bei $x = 3$ stetig
2. b)Die Funktion ist bei $x = 3$ gleich $0$
3. c)Die einseitigen Grenzwerte sind beide unendlich
4. d)Der zweiseitige Grenzwert $\lim_{x \to 3} f(x)$ existiert nicht
Lösung: Der zweiseitige Grenzwert $\lim_{x \to 3} f(x)$ existiert nicht
Damit ein zweiseitiger Grenzwert existiert, müssen der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert gleich sein. Wenn sie unterschiedlich sind, sagen wir, der Grenzwert existiert nicht an diesem Punkt.
12.
Interpretiere die Aussage: $\lim_{x \to -\infty} \frac{3x}{x+1} = 3$
Lösung: Wenn $x$ unbeschränkt abnimmt, nähert sich die Funktion dem Wert $3$
1. Was bedeutet $x \to -\infty$ ? x nimmt unbeschränkt ab
2. Welche Funktion analysieren wir? 3x/(x+1)
3. Welchem Wert nähert sich die Funktion? 3
4. Welche Art von Asymptote stellt dies dar? horizontal
13.
Welche Aussage interpretiert $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ korrekt?
1. a)Wenn $x$ sich $0$ nähert, nähert sich das Verhältnis $\frac{\sin x}{x}$ dem Wert $1$
2. b)Wenn $x = 0$ , ist die Funktion gleich $1$
3. c) $\frac{\sin 0}{0} = 1$
4. d)Der Sinus von $0$ geteilt durch $0$ ist gleich $1$
Lösung: Wenn $x$ sich $0$ nähert, nähert sich das Verhältnis $\frac{\sin x}{x}$ dem Wert $1$
Die Funktion $\frac{\sin x}{x}$ ist bei $x = 0$ undefiniert (Division durch Null!), aber wenn $x$ sich $0$ nähert (von beiden Seiten), nähern sich die Werte $1$ . Dies ist ein fundamentaler Grenzwert in der Analysis.
14.
Wenn $\lim_{x \to a^-} f(x) = 4$ und $\lim_{x \to a^+} f(x) = 4$ , was ist $\lim_{x \to a} f(x)$ ?
Lösung: 4
Da beide einseitigen Grenzwerte gleich $4$ sind, existiert der zweiseitige Grenzwert und ist gleich $4$ . Das ist die Definition: $\lim_{x \to a} f(x) = L$ genau dann, wenn $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L$ .
15.
Schreibe die vollständige Grenzwertschreibweise für: "Wenn die Zeit unbeschränkt zunimmt, nähert sich die Population $P(t)$ ihrer Tragfähigkeit von $1000$ ."
Lösung: lim(t→∞)P(t)=1000
1. Welche Variable repräsentiert die Zeit im Problem? t
2. Was bedeutet 'nimmt unbeschränkt zu' in Grenzwertschreibweise? ∞
3. Welche Funktion beschreibt die Population? P(t)
4. Welchem Wert nähert sich die Population? 1000
16.
Was ist falsch daran, nur " $\lim f(x) = 7$ " zu schreiben?
1. a)Der Grenzwert sollte zuerst geschrieben werden
2. b)Der Funktionsname sollte in Klammern stehen
3. c)Das Gleichheitszeichen wird nicht benötigt
4. d)Es gibt nicht an, welchem Wert sich $x$ nähert
Lösung: Es gibt nicht an, welchem Wert sich $x$ nähert
Der Index, der zeigt, welchem Wert sich $x$ nähert, ist wesentlich. Ohne ihn wissen wir nicht, ob wir den Grenzwert für $x \to 0$ , $x \to 3$ , $x \to \infty$ usw. suchen. Die korrekte Form erfordert $\lim_{x \to a}$ mit einem spezifischen Wert für $a$ .