Grenzwerte durch direktes Einsetzen

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Welchen Grenzwert kannst du sofort durch direktes Einsetzen berechnen?
1. a) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 3}{x + 1}$
2. b) $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$
3. c) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x}$
4. d) $\lim_{x \to 5} \frac{x - 5}{x^2 - 25}$
Lösung: $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 3}{x + 1}$
Bei $x = 1$ ist der Nenner $x + 1 = 2 \neq 0$ , also $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 3}{x + 1} = \frac{4}{2} = 2$ . Die anderen drei ergeben $\frac{0}{0}$ und müssen zuerst vereinfacht werden.
2.
Berechne $\lim_{x \to 2} (3x^2 - x + 4)$ .
Lösung: 14
$3 \cdot 2^2 - 2 + 4 = 12 - 2 + 4 = 14$ .
3.
Berechne $\lim_{x \to 4} (x^2 - 3x + 1)$ durch direktes Einsetzen.
Lösung: 5
1. Was ist $x^2$ bei $x = 4$ ? 16
2. Was ist $-3x$ bei $x = 4$ ? -12
3. Addiere alles: $16 - 12 + 1$ . Wie lautet der Grenzwert? 5
4.
Direktes Einsetzen in $\lim_{x \to 4} \frac{x^2 - 16}{x - 4}$ ergibt $\frac{0}{0}$ . Was folgt daraus?
1. a)Der Grenzwert existiert nicht
2. b)Der Grenzwert ist 1
3. c)Erst vereinfachen, dann erneut einsetzen
4. d)Der Grenzwert ist 0
Lösung: Erst vereinfachen, dann erneut einsetzen
$\frac{0}{0}$ sagt noch nichts über den Grenzwert. Faktorisieren ergibt $\frac{(x - 4)(x + 4)}{x - 4} = x + 4$ , also ist der Grenzwert $8$ .
5.
Berechne $\lim_{x \to -1} \frac{2x^2 + 6}{x + 3}$ .
Lösung: 4
Zähler: $2 \cdot (-1)^2 + 6 = 8$ . Nenner: $-1 + 3 = 2$ . Grenzwert: $\frac{8}{2} = 4$ .
6.
Berechne $\lim_{x \to 2} \frac{x + 6}{x^2 + 1}$ . Gib das Ergebnis als Bruch an.
Lösung: 8/5
1. Was ist der Nenner $x^2 + 1$ bei $x = 2$ ? 5
2. Was ist der Zähler $x + 6$ bei $x = 2$ ? 8
3. Der Nenner ist nicht 0. Wie lautet der Grenzwert? (Bruch) 8/5
7.
Berechne $\lim_{x \to 5} \frac{x^2 - 25}{x - 5}$ .
Lösung: 10
$\frac{(x - 5)(x + 5)}{x - 5} = x + 5$ , und $5 + 5 = 10$ .
8.
Berechne $\lim_{x \to -3} \frac{x^2 - 9}{x + 3}$ .
Lösung: -6
1. Was ist der Zähler $x^2 - 9$ bei $x = -3$ ? 0
2. Was ist der Nenner $x + 3$ bei $x = -3$ ? 0
3. Es ist $\frac{0}{0}$ , also faktorisiere: $x^2 - 9 = (x + 3)(x - \square)$ . Welche Zahl gehört in das Kästchen? 3
4. Nach dem Kürzen von $(x + 3)$ bleibt $x - 3$ . Wie lautet der Grenzwert? -6
9.
Wie lautet $\lim_{x \to -2} \frac{x^2 + 5x + 6}{x + 2}$ ?
1. a) $1$
2. b) $-1$
3. c) $0$
4. d) $5$
Lösung: $1$
Einsetzen ergibt $\frac{0}{0}$ . $\frac{(x + 2)(x + 3)}{x + 2} = x + 3$ , und $-2 + 3 = 1$ .
10.
Berechne $\lim_{x \to 4} \frac{x^2 - 2x - 8}{x - 4}$ .
Lösung: 6
1. Was ist der Zähler $x^2 - 2x - 8$ bei $x = 4$ ? 0
2. Der Nenner ist auch 0. Faktorisiere: $x^2 - 2x - 8 = (x - 4)(x + \square)$ . Welche Zahl gehört in das Kästchen? 2
3. Nach dem Kürzen bleibt $x + 2$ . Wie lautet der Grenzwert? 6
11.
Um $\lim_{x \to 9} \frac{\sqrt{x} - 3}{x - 9}$ zu berechnen, erweiterst du Zähler und Nenner mit:
1. a) $x + 9$
2. b) $\sqrt{x}$
3. c) $\sqrt{x} - 3$
4. d) $\sqrt{x} + 3$
Lösung: $\sqrt{x} + 3$
$(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3) = x - 9$ , das sich mit dem Nenner kürzt: Der Grenzwert wird $\frac{1}{\sqrt{9} + 3} = \frac{1}{6}$ .
12.
Berechne $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x^2 - 3x}$ .
Lösung: 2
$\frac{(x - 3)(x + 3)}{x(x - 3)} = \frac{x + 3}{x}$ , und $\frac{3 + 3}{3} = 2$ .
13.
Berechne $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 2x - 3}{x^2 - 1}$ .
Lösung: 2
1. Was ist der Zähler $x^2 + 2x - 3$ bei $x = 1$ ? 0
2. Was ist der Nenner $x^2 - 1$ bei $x = 1$ ? 0
3. Nach dem Kürzen von $(x - 1)$ bleibt $\frac{x + 3}{x + 1}$ . Was ist der neue Zähler $x + 3$ bei $x = 1$ ? 4
4. Was ist der neue Nenner $x + 1$ bei $x = 1$ ? 2
5. Wie lautet der Grenzwert? 2
14.
Wie lautet $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x^2 - 1}$ ?
1. a) $\frac{2}{3}$
2. b) $0$
3. c) $\frac{3}{2}$
4. d) $1$
Lösung: $\frac{3}{2}$
$\frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{x^2 + x + 1}{x + 1}$ , und bei $x = 1$ : $\frac{3}{2}$ .
15.
Berechne $\lim_{x \to 25} \frac{\sqrt{x} - 5}{x - 25}$ durch Erweitern mit dem konjugierten Term.
Lösung: 1/10
1. Was ist der Zähler $\sqrt{x} - 5$ bei $x = 25$ ? 0
2. $(\sqrt{x} - 5)(\sqrt{x} + 5) = x - \square$ . Welche Zahl gehört in das Kästchen? 25
3. Nach dem Kürzen von $(x - 25)$ bleibt $\frac{1}{\sqrt{x} + 5}$ . Was ist $\sqrt{x} + 5$ bei $x = 25$ ? 10
4. Wie lautet der Grenzwert? (Bruch) 1/10
16.
Berechne $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x}$ . Gib das Ergebnis als Bruch oder Dezimalzahl an.
Lösung: 1/4
Nach dem Erweitern: $\frac{x}{x(\sqrt{x + 4} + 2)} = \frac{1}{\sqrt{x + 4} + 2}$ , und bei $x = 0$ : $\frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$ .
17.
Berechne $\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x - 2}$ .
Lösung: 12
1. Was ist der Zähler $x^3 - 8$ bei $x = 2$ ? 0
2. $x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + \square)$ . Welche Zahl gehört in das Kästchen? 4
3. Nach dem Kürzen bleibt $x^2 + 2x + 4$ . Wie lautet der Grenzwert? 12
18.
Berechne $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x + 3} - 2}{x - 1}$ .
Lösung: 1/4
1. Was ist der Zähler $\sqrt{x + 3} - 2$ bei $x = 1$ ? 0
2. $(\sqrt{x + 3} - 2)(\sqrt{x + 3} + 2) = (x + 3) - \square$ . Welche Zahl gehört in das Kästchen? 4
3. Nach dem Kürzen von $(x - 1)$ bleibt $\frac{1}{\sqrt{x + 3} + 2}$ . Was ist $\sqrt{x + 3} + 2$ bei $x = 1$ ? 4
4. Wie lautet der Grenzwert? (Bruch) 1/4