Einseitige Grenzwerte

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Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Was bedeutet $x \to 3^-$ ?
1. a) $x$ nähert sich $3$ über Werte kleiner als $3$
2. b) $x$ nähert sich $3$ über Werte größer als $3$
3. c) $x$ ist genau $3$
4. d) $x$ nimmt den Wert $-3$ an
2.
Es sei $f(x) = x + 1$ für $x < 1$ und $f(x) = x + 3$ für $x \ge 1$ . Bestimme $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ .
3.
Es sei $f(x) = x + 1$ für $x < 1$ und $f(x) = x + 3$ für $x \ge 1$ . Bestimme $\lim_{x \to 1^+} f(x)$ .
4.
Bestimme $\lim_{x \to 0^+} \frac{|x|}{x}$ .
5.
Es sei $f(x) = x + 1$ für $x < 1$ und $f(x) = x + 3$ für $x \ge 1$ . Was ist $\lim_{x \to 1} f(x)$ ?
1. a)2
2. b)4
3. c)existiert nicht
4. d)6
6.
Es sei $f(x) = 2x$ für $x < 2$ und $f(x) = x + 6$ für $x \ge 2$ . Wie groß ist der Sprung bei $x = 2$ (rechtsseitiger minus linksseitiger Grenzwert)?
7.
Angenommen, $\lim_{x \to 4^-} f(x) = 5$ , $\lim_{x \to 4^+} f(x) = 5$ und $f(4) = 1$ . Welche Aussage ist wahr?
1. a) $\lim_{x \to 4} f(x) = 6$
2. b) $\lim_{x \to 4} f(x)$ existiert nicht
3. c) $\lim_{x \to 4} f(x) = 5$
4. d) $\lim_{x \to 4} f(x) = 1$
8.
Es sei $g(x) = x^2 + 1$ für $x < 3$ und $g(x) = 2x + 5$ für $x \ge 3$ . Bestimme $\lim_{x \to 3^-} g(x)$ .
9.
Es sei $h(x) = x^2 - 1$ für $x < 3$ , $h(3) = 0$ und $h(x) = 2x + 2$ für $x > 3$ . Bestimme $\lim_{x \to 3} h(x)$ .
10.
Existiert $\lim_{x \to 5} \frac{|x - 5|}{x - 5}$ ?
11.
Bei welcher Funktion sind der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert an der Stelle $x = 0$ gleich?
1. a) $f(x) = \frac{|x|}{x}$
2. b) $f(x) = \frac{x}{|x|} + 1$
3. c) $f(x) = \frac{x^2}{|x|}$
4. d) $f(x) = \frac{2|x|}{x}$
12.
Es sei $p(x) = 4 - x$ für $x \le 2$ und $p(x) = x^2 + 1$ für $x > 2$ . Wie groß ist der Sprung bei $x = 2$ (rechtsseitiger minus linksseitiger Grenzwert)?
13.
Es sei $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ für $x < 1$ und $f(x) = 3x - 1$ für $x \ge 1$ . Bestimme $\lim_{x \to 1} f(x)$ .
14.
Es sei $f(x) = kx + 1$ für $x < 2$ und $f(x) = x^2 + 3$ für $x \ge 2$ . Bestimme $k$ so, dass $\lim_{x \to 2} f(x)$ existiert.
15.
Existiert $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{|x - 3|}$ ?
16.
Es sei $f(x) = cx$ für $x < 2$ und $f(x) = x^2 + c$ für $x \ge 2$ . Für welchen Wert von $c$ existiert $\lim_{x \to 2} f(x)$ ?
1. a)2
2. b)8
3. c)-4
4. d)4
17.
Bestimme $\lim_{x \to 4^-} \frac{x^2 - 16}{|x - 4|}$ .
18.
Es sei $f(x) = x^2$ für $x < 1$ , $f(x) = 2x - 1$ für $1 \le x < 3$ und $f(x) = 10 - x$ für $x \ge 3$ . Bestimme $\lim_{x \to 1} f(x)$ und dann den Sprung bei $x = 3$ (rechtsseitiger minus linksseitiger Grenzwert).