Eine Lücke durch einen kürzbaren Faktor

Bestimme die Art der Unstetigkeit von $f(x) = \frac{x^2 - x - 2}{x - 2}$ bei $x = 2$ und behebe sie.

Prüfe, wo $f$ nicht definiert ist: Der Nenner $x - 2$ ist bei $x = 2$ gleich $0$ = $f(2)$ ist nicht definiert

Faktorisiere den Zähler: $x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$ = $f(x) = \frac{(x - 2)(x + 1)}{x - 2}$

Kürze den gemeinsamen Faktor: $f(x) = x + 1$ für alle $x \neq 2$ = Der Faktor $(x - 2)$ kürzt sich vollständig

Bestimme den Grenzwert: $\lim_{x \to 2} f(x) = 2 + 1$ = $= 3$, ein endlicher Grenzwert

Einordnen und beheben: Der Grenzwert existiert, $f(2)$ nicht: Lücke bei $(2, 3)$. Lege $f(2) = 3$ fest. = Hebbare Unstetigkeit

Answer: Hebbare Unstetigkeit (Lücke) bei $(2, 3)$. Mit $f(2) = 3$ wird $f$ stetig.

Eine Lücke mit falschem Funktionswert

Sei $g(x) = x^2$ für $x \neq 1$ und $g(1) = 4$. Welche Art von Unstetigkeit liegt bei $x = 1$ vor?

Bestimme den Grenzwert: In der Nähe von $x = 1$ gilt die Vorschrift $x^2$, also $\lim_{x \to 1} g(x) = 1^2$ = $= 1$

Bestimme den Funktionswert: Laut Definition ist $g(1) = 4$ = $g(1) = 4$

Vergleiche: $\lim_{x \to 1} g(x) = 1 \neq 4 = g(1)$ = Der Grenzwert existiert, ist aber nicht $g(1)$

Einordnen und beheben: Der Punkt $(1, 4)$ liegt neben der Kurve; lege $g(1) = 1$ neu fest = Hebbare Unstetigkeit

Answer: Hebbare Unstetigkeit bei $x = 1$: ein Loch bei $(1, 1)$ und ein einzelner Punkt bei $(1, 4)$. Mit $g(1) = 1$ ist sie behoben.

Eine Sprunghöhe messen

Sei $h(x) = x + 2$ für $x < 1$ und $h(x) = x^2 + 5$ für $x \geq 1$. Bestimme die Art der Unstetigkeit bei $x = 1$ und die Sprunghöhe.

Linksseitiger Grenzwert (Vorschrift für $x < 1$): $\lim_{x \to 1^-} (x + 2) = 1 + 2$ = $= 3$

Rechtsseitiger Grenzwert (Vorschrift für $x \geq 1$): $\lim_{x \to 1^+} (x^2 + 5) = 1 + 5$ = $= 6$

Vergleiche die einseitigen Grenzwerte: Beide sind endlich, aber $3 \neq 6$ = Sprungstelle

Sprunghöhe: $|6 - 3|$ = $= 3$

Answer: Sprungstelle bei $x = 1$ mit der Sprunghöhe $3$. Der Wert $h(1) = 6$ spielt keine Rolle: Kein Wert von $h(1)$ kann den Sprung schließen.

Eine Polstelle

Bestimme die Art der Unstetigkeit von $k(x) = \frac{x + 3}{x - 4}$ bei $x = 4$.

Setze $x = 4$ ein: Zähler $4 + 3 = 7$, Nenner $4 - 4 = 0$ = $\frac{7}{0}$: eine Zahl ungleich null durch null

Annäherung von rechts: $k(4{,}01) = \frac{7{,}01}{0{,}01} = 701$ = $\lim_{x \to 4^+} k(x) = \infty$

Annäherung von links: $k(3{,}99) = \frac{6{,}99}{-0{,}01} = -699$ = $\lim_{x \to 4^-} k(x) = -\infty$

Einordnen: Die einseitigen Grenzwerte sind unendlich = Polstelle, senkrechte Asymptote $x = 4$

Answer: Polstelle bei $x = 4$: Der Graph hat die senkrechte Asymptote $x = 4$.

Lücke und Polstelle in einer Funktion

Bestimme alle Unstetigkeitsstellen von $r(x) = \frac{x^2 - 9}{x^2 - x - 6}$ und ihre Art.

Faktorisiere Zähler und Nenner: $r(x) = \frac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)(x + 2)}$ = Nicht definiert bei $x = 3$ und $x = -2$

Kürze den gemeinsamen Faktor: $r(x) = \frac{x + 3}{x + 2}$ für $x \neq 3$ = $(x - 3)$ kürzt sich, $(x + 2)$ bleibt

Untersuche $x = 3$: $\lim_{x \to 3} r(x) = \frac{3 + 3}{3 + 2}$ = $= \frac{6}{5}$: Lücke bei $\left(3, \frac{6}{5}\right)$

Untersuche $x = -2$: Gekürzter Zähler $-2 + 3 = 1 \neq 0$, Nenner $0$ = Senkrechte Asymptote $x = -2$

Answer: Hebbare Unstetigkeit (Lücke) bei $\left(3, \frac{6}{5}\right)$ und Polstelle bei $x = -2$.

Mistake: An jeder Nennernullstelle eine senkrechte Asymptote zeichnen

Why: Eine Nennernullstelle kann auch eine Lücke sein. In $\frac{x^2 - x - 2}{x - 2}$ kürzt sich $(x - 2)$, also gibt es bei $x = 2$ keine Asymptote.

Correct: Erst faktorisieren und kürzen. Nur Faktoren, die im Nenner bleiben, ergeben senkrechte Asymptoten; gekürzte Faktoren ergeben Lücken.

Mistake: Eine Sprungstelle hebbar nennen, weil beide einseitigen Grenzwerte existieren

Why: Hebbar verlangt den beidseitigen Grenzwert, und der existiert nur, wenn beide Seiten übereinstimmen. Bei einem Sprung sind es verschiedene Zahlen.

Correct: Gleiche einseitige Grenzwerte: hebbar (oder stetig). Verschiedene endliche einseitige Grenzwerte: Sprungstelle.

Mistake: $f(a)$ als Höhe der Lücke verwenden

Why: An einer Lücke fehlt $f(a)$ oder ist falsch. Die Lücke liegt auf der Höhe des Grenzwerts.

Correct: Die $y$-Koordinate einer Lücke erhältst du durch Einsetzen von $x = a$ in die gekürzte Funktion: Die Lücke von $\frac{x^2 - 9}{x^2 - x - 6}$ liegt bei $\left(3, \frac{6}{5}\right)$.

Mistake: Glauben, ein gekürzter Faktor bedeute immer eine Lücke, auch wenn er im Nenner doppelt vorkommt

Why: In $\frac{x - 1}{(x - 1)^2}$ kürzt sich nur ein Faktor; übrig bleibt $\frac{1}{x - 1}$, das bei $x = 1$ weiterhin über alle Grenzen wächst.

Correct: Kürze so weit wie möglich und prüfe dann: Steht $(x - a)$ noch im Nenner, ist es eine Polstelle.

Parkgebühren (Sprungstellen)

Parkhäuser berechnen jede angefangene Stunde. Die Preisfunktion ist innerhalb jeder Stunde konstant und springt zu jeder vollen Stunde.

Ein Parkhaus verlangt 4 € bis zu 1 Stunde und 7 € für mehr als 1 bis zu 2 Stunden. Bei $t = 1$ springt der Preis um 3 €.

Linsen und Bilder im Unendlichen

Bei einer Linse mit der Brennweite $10$ cm erzeugt ein Gegenstand im Abstand $u$ ein Bild im Abstand $v(u) = \frac{10u}{u - 10}$. Erreicht der Gegenstand den Brennpunkt, wandert das Bild ins Unendliche.

Bei $u = 15$ cm liegt das Bild bei $v = \frac{150}{5} = 30$ cm. Bei $u = 10{,}1$ cm liegt es schon bei $v = \frac{101}{0{,}1} = 1010$ cm.

Eine Division durch null in Software beheben

Programme berechnen oft eine mittlere Änderungsrate $\frac{f(t) - f(a)}{t - a}$. Bei $t = a$ liefert die Formel $\frac{0}{0}$ und das Programm stürzt ab, obwohl die Werte in der Nähe völlig glatt sind: eine hebbare Unstetigkeit.

Für $f(t) = t^2$ und $a = 3$ lässt sich $\frac{t^2 - 9}{t - 3}$ zu $t + 3$ kürzen, also speichert die Programmiererin für $t = 3$ den Wert $6$.

Q: Warum heißt eine Lücke hebbar?

A: Weil ein einziger Punkt reicht, um sie zu reparieren. Der Grenzwert $L$ existiert schon, also macht die (neue) Festlegung $f(a) = L$ die Gleichung $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ wahr, und die Funktion wird bei $a$ stetig.

Q: Kann man eine Sprungstelle jemals beheben?

A: Nein. Die linke Seite strebt gegen eine Höhe, die rechte gegen eine andere. Welchen Wert du $f(a)$ auch gibst, er passt höchstens zu einer Seite, und der beidseitige Grenzwert existiert weiterhin nicht.

Q: Ändert der Funktionswert bei $x = a$ die Art?

A: Nein. Die Art hängt nur von den Grenzwerten in der Nähe von $a$ ab. Ein Sprung bleibt ein Sprung, egal ob $f(a)$ der linke Wert, der rechte Wert oder nicht definiert ist, und eine Lücke bleibt hebbar, egal ob $f(a)$ fehlt oder falsch ist.

Q: Gibt es noch andere Arten von Unstetigkeit?

A: Ja, aber sie sind seltener. Zum Beispiel schwingt $\sin\left(\frac{1}{x}\right)$ in der Nähe von $x = 0$ immer schneller hin und her und hat dort gar keine einseitigen Grenzwerte (Oszillationsstelle). Sprungstellen, Polstellen und Oszillationsstellen sind alle nicht hebbar; als wesentliche Unstetigkeiten bezeichnet man meist nur Polstellen und Oszillationsstellen.