Arten von Unstetigkeitsstellen

Lerne, hebbare Unstetigkeiten (Lücken), Sprungstellen und Polstellen zu unterscheiden, am Graphen und am Funktionsterm.

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Definition

Eine Funktion ff ist an der Stelle x=ax = a stetig, wenn lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x \to a} f(x) = f(a) gilt. Ist das nicht erfüllt, hat ff bei x=ax = a eine Unstetigkeitsstelle. Woran es scheitert, bestimmt die Art:
1. Hebbare Unstetigkeit (Lücke) Der Grenzwert existiert und ist eine endliche Zahl LL, aber f(a)f(a) fehlt oder f(a)≠Lf(a) \neq L. Der Graph hat ein einzelnes Loch bei (a,L)(a, L). Du kannst es beheben, indem du f(a)=Lf(a) = L festlegst.
2. Sprungstelle Beide einseitigen Grenzwerte sind endlich, aber verschieden:
lim⁡x→a−f(x)≠lim⁡x→a+f(x)\lim_{x \to a^-} f(x) \neq \lim_{x \to a^+} f(x)
Der Graph springt von einer Höhe auf eine andere. Die Sprunghöhe ist ∣lim⁡x→a+f(x)−lim⁡x→a−f(x)∣\left| \lim_{x \to a^+} f(x) - \lim_{x \to a^-} f(x) \right|. Kein einzelner Wert f(a)f(a) kann das reparieren.
3. Polstelle (unendliche Unstetigkeit) Mindestens ein einseitiger Grenzwert ist ∞\infty oder −∞-\infty. Der Graph hat eine senkrechte Asymptote x=ax = a.
Am Funktionsterm (gebrochenrationale Funktionen): Faktorisiere Zähler und Nenner.
  • Ein Faktor (x−a)(x - a), der sich vollständig kürzt, ergibt eine Lücke bei x=ax = a.
  • Ein Faktor (x−a)(x - a), der im Nenner bleibt, ergibt eine senkrechte Asymptote bei x=ax = a.

Probier es gleich aus

Welche Art von Unstetigkeit hat f(x)=x2−16x−4f(x) = \frac{x^2 - 16}{x - 4} bei x=4x = 4?

Lösungsbeispiele

Bestimme die Art der Unstetigkeit von f(x)=x2−x−2x−2f(x) = \frac{x^2 - x - 2}{x - 2} bei x=2x = 2 und behebe sie.

1

Prüfe, wo ff nicht definiert ist

Der Nenner x−2x - 2 ist bei x=2x = 2 gleich 00 → f(2)f(2) ist nicht definiert

2

Faktorisiere den Zähler

x2−x−2=(x−2)(x+1)x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) → f(x)=(x−2)(x+1)x−2f(x) = \frac{(x - 2)(x + 1)}{x - 2}

3

Kürze den gemeinsamen Faktor

f(x)=x+1f(x) = x + 1 für alle x≠2x \neq 2 → Der Faktor (x−2)(x - 2) kürzt sich vollständig

4

Bestimme den Grenzwert

lim⁡x→2f(x)=2+1\lim_{x \to 2} f(x) = 2 + 1 → =3= 3, ein endlicher Grenzwert

5

Einordnen und beheben

Der Grenzwert existiert, f(2)f(2) nicht: Lücke bei (2,3)(2, 3). Lege f(2)=3f(2) = 3 fest. → Hebbare Unstetigkeit

Häufige Fehler

An jeder Nennernullstelle eine senkrechte Asymptote zeichnen

Warum es falsch ist: Eine Nennernullstelle kann auch eine Lücke sein. In x2−x−2x−2\frac{x^2 - x - 2}{x - 2} kürzt sich (x−2)(x - 2), also gibt es bei x=2x = 2 keine Asymptote.

Richtig: Erst faktorisieren und kürzen. Nur Faktoren, die im Nenner bleiben, ergeben senkrechte Asymptoten; gekürzte Faktoren ergeben Lücken.

Eine Sprungstelle hebbar nennen, weil beide einseitigen Grenzwerte existieren

Warum es falsch ist: Hebbar verlangt den beidseitigen Grenzwert, und der existiert nur, wenn beide Seiten übereinstimmen. Bei einem Sprung sind es verschiedene Zahlen.

Richtig: Gleiche einseitige Grenzwerte: hebbar (oder stetig). Verschiedene endliche einseitige Grenzwerte: Sprungstelle.

f(a)f(a) als Höhe der Lücke verwenden

Warum es falsch ist: An einer Lücke fehlt f(a)f(a) oder ist falsch. Die Lücke liegt auf der Höhe des Grenzwerts.

Richtig: Die yy-Koordinate einer Lücke erhältst du durch Einsetzen von x=ax = a in die gekürzte Funktion: Die Lücke von x2−9x2−x−6\frac{x^2 - 9}{x^2 - x - 6} liegt bei (3,65)\left(3, \frac{6}{5}\right).

Glauben, ein gekürzter Faktor bedeute immer eine Lücke, auch wenn er im Nenner doppelt vorkommt

Warum es falsch ist: In x−1(x−1)2\frac{x - 1}{(x - 1)^2} kürzt sich nur ein Faktor; übrig bleibt 1x−1\frac{1}{x - 1}, das bei x=1x = 1 weiterhin über alle Grenzen wächst.

Richtig: Kürze so weit wie möglich und prüfe dann: Steht (x−a)(x - a) noch im Nenner, ist es eine Polstelle.

Interaktive Visualisierung

Funktionsgraph

-3-2-1012345-20246xy(2 | 3)

Tippe auf den Graphen oder fahre mit der Maus darüber, um Werte abzulesen.

f(x) = (x² − x − 2)/(x − 2)

Wertetabelle

x1,91,9922,012,1
y2,92,99n. def.3,013,1

Funktionsgraph

-3-2-101230246xy

Tippe auf den Graphen oder fahre mit der Maus darüber, um Werte abzulesen.

g(x)
  • Bei x = 1: von links und von rechts g(x) → 1, also ist der Grenzwert 1. g(1) = 4.

Wertetabelle

x0,90,9911,011,1
y0,810,980141,02011,21

Funktionsgraph

-3-2-101230510xy

Tippe auf den Graphen oder fahre mit der Maus darüber, um Werte abzulesen.

h(x)
  • Bei x = 1: von links h(x) → 3, von rechts h(x) → 6. Die Werte sind verschieden, also gibt es keinen Grenzwert (Sprungstelle). h(1) = 6.

Wertetabelle

x0,90,9911,011,1
y2,92,9966,02016,21

Funktionsgraph

-8-6-4-202468-505xy(3 | 1,2)x = -2y = 1

Tippe auf den Graphen oder fahre mit der Maus darüber, um Werte abzulesen.

r(x) = (x² − 9)/(x² − x − 6)Asymptote

Wertetabelle

x-2,1-2,01-1,99-1,92,993,01
y-9-99101111,20041,1996

Interaktiver Sandkasten

Interaktiver Grapher

-10-50510-10-50510xy

Tippe auf den Graphen oder fahre mit der Maus darüber, um Werte abzulesen.

Probiere diese Beispiele:

y = 2x + 1

m=2, b=1

Ausdrucksrechner

Probiere diese:

Verlauf

Noch keine Berechnungen

Übungsaufgaben

18 Aufgaben
Aufgabe 1 von 18
Einfach

Welche Art von Unstetigkeit hat f(x)=x2−16x−4f(x) = \frac{x^2 - 16}{x - 4} bei x=4x = 4?

Warum es wichtig ist

Die Art der Unstetigkeit sagt dir, wie gravierend die Unterbrechung ist und was du dagegen tun kannst:
  • Lücken sind harmlose Löcher: Die Funktion verhält sich drumherum vorhersehbar, und ein einziger neu festgelegter Punkt macht sie stetig. Computerprogramme, die bei 00\frac{0}{0} abstürzen, werden oft genau so repariert.
  • Sprungstellen beschreiben plötzliche Änderungen: Parkgebühren, Portostufen, Steuerstufen und Schalter, die ein- oder ausschalten.
  • Polstellen warnen, dass eine Größe über alle Grenzen wächst: Bilder einer Linse, die ins Unendliche wandern, Resonanz bei Brücken oder eine Formel, die durch fast null teilt.
In der Analysis entscheidet die Art der Unstetigkeit, ob ein Grenzwert existiert, ob man über ein Intervall integrieren kann und wie ein Graph gezeichnet werden muss. Gebrochenrationale Funktionen richtig zu skizzieren (Lücken oder Polstellen) gehört zu den am häufigsten geprüften Fähigkeiten vor der Analysis.

Anwendungen im echten Leben

Parkgebühren (Sprungstellen)

Parkhäuser berechnen jede angefangene Stunde. Die Preisfunktion ist innerhalb jeder Stunde konstant und springt zu jeder vollen Stunde.

Beispiel:

Ein Parkhaus verlangt 4 € bis zu 1 Stunde und 7 € für mehr als 1 bis zu 2 Stunden. Bei t=1t = 1 springt der Preis um 3 €.

1Probiere es selbst

Dasselbe Parkhaus verlangt 7 € für mehr als 1 bis zu 2 Stunden und 10 € für mehr als 2 bis zu 3 Stunden. C(t)C(t) ist der Preis für tt Stunden.

Wie groß ist der Sprung im Preis bei t=2t = 2 Stunden (in €)?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Ziehe den linksseitigen vom rechtsseitigen Grenzwert ab:

Linsen und Bilder im Unendlichen

Bei einer Linse mit der Brennweite $10$ cm erzeugt ein Gegenstand im Abstand $u$ ein Bild im Abstand $v(u) = \frac{10u}{u - 10}$. Erreicht der Gegenstand den Brennpunkt, wandert das Bild ins Unendliche.

Beispiel:

Bei u=15u = 15 cm liegt das Bild bei v=1505=30v = \frac{150}{5} = 30 cm. Bei u=10,1u = 10{,}1 cm liegt es schon bei v=1010,1=1010v = \frac{101}{0{,}1} = 1010 cm.

2Probiere es selbst

Die Bildweite ist v(u)=10uu−10v(u) = \frac{10u}{u - 10} (in cm).

Bei welcher Gegenstandsweite uu (in cm) hat vv eine Polstelle?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Suche die Stelle, an der der Nenner null ist und der Zähler nicht:

Eine Division durch null in Software beheben

Programme berechnen oft eine mittlere Änderungsrate $\frac{f(t) - f(a)}{t - a}$. Bei $t = a$ liefert die Formel $\frac{0}{0}$ und das Programm stürzt ab, obwohl die Werte in der Nähe völlig glatt sind: eine hebbare Unstetigkeit.

Beispiel:

Für f(t)=t2f(t) = t^2 und a=3a = 3 lässt sich t2−9t−3\frac{t^2 - 9}{t - 3} zu t+3t + 3 kürzen, also speichert die Programmiererin für t=3t = 3 den Wert 66.

3Probiere es selbst

Ein Programm berechnet R(t)=t2−16t−4R(t) = \frac{t^2 - 16}{t - 4} und stürzt bei t=4t = 4 ab.

Welchen Wert sollte man R(4)R(4) zuweisen, damit RR stetig ist?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Kürze und setze dann t=4t = 4 ein:

Wichtige Erkenntnisse

  • 1Eine Unstetigkeitsstelle bei x=ax = a bedeutet: lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x \to a} f(x) = f(a) gilt nicht
  • 2Hebbar (Lücke): Der Grenzwert LL existiert, aber f(a)f(a) fehlt oder ist anders; mit f(a)=Lf(a) = L ist sie behoben
  • 3Sprungstelle: endliche einseitige Grenzwerte, die verschieden sind; Sprunghöhe =∣lim⁡x→a+f(x)−lim⁡x→a−f(x)∣= \left| \lim_{x \to a^+} f(x) - \lim_{x \to a^-} f(x) \right|
  • 4Polstelle: Ein einseitiger Grenzwert ist ±∞\pm\infty; der Graph hat die senkrechte Asymptote x=ax = a
  • 5Bei gebrochenrationalen Funktionen zuerst faktorisieren: Gekürzte Faktoren ergeben Lücken, Faktoren im Nenner ergeben Asymptoten
  • 6Die yy-Koordinate einer Lücke kommt aus der gekürzten Funktion, nie aus f(a)f(a)

Häufig gestellte Fragen

Weil ein einziger Punkt reicht, um sie zu reparieren. Der Grenzwert LL existiert schon, also macht die (neue) Festlegung f(a)=Lf(a) = L die Gleichung lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x \to a} f(x) = f(a) wahr, und die Funktion wird bei aa stetig.
Weil ein einziger Punkt reicht, um sie zu reparieren. Der Grenzwert LL existiert schon, also macht die (neue) Festlegung f(a)=Lf(a) = L die Gleichung lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x \to a} f(x) = f(a) wahr, und die Funktion wird bei aa stetig.
Nein. Die linke Seite strebt gegen eine Höhe, die rechte gegen eine andere. Welchen Wert du f(a)f(a) auch gibst, er passt höchstens zu einer Seite, und der beidseitige Grenzwert existiert weiterhin nicht.
Nein. Die Art hängt nur von den Grenzwerten in der Nähe von aa ab. Ein Sprung bleibt ein Sprung, egal ob f(a)f(a) der linke Wert, der rechte Wert oder nicht definiert ist, und eine Lücke bleibt hebbar, egal ob f(a)f(a) fehlt oder falsch ist.
Ja, aber sie sind seltener. Zum Beispiel schwingt sin⁡(1x)\sin\left(\frac{1}{x}\right) in der Nähe von x=0x = 0 immer schneller hin und her und hat dort gar keine einseitigen Grenzwerte (Oszillationsstelle). Sprungstellen, Polstellen und Oszillationsstellen sind alle nicht hebbar; als wesentliche Unstetigkeiten bezeichnet man meist nur Polstellen und Oszillationsstellen.

Glossar

Unstetigkeitsstelle
Eine Stelle x=ax = a, an der lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x \to a} f(x) = f(a) nicht gilt
Hebbare Unstetigkeit (Lücke)
Der Grenzwert existiert und ist endlich, aber f(a)f(a) ist nicht definiert oder ungleich; behebbar durch Neufestlegung eines Punktes
Sprungstelle
Beide einseitigen Grenzwerte sind endlich, aber nicht gleich
Sprunghöhe
Der Abstand der beiden einseitigen Grenzwerte: ∣lim⁡x→a+f(x)−lim⁡x→a−f(x)∣\left| \lim_{x \to a^+} f(x) - \lim_{x \to a^-} f(x) \right|
Polstelle (unendliche Unstetigkeit)
Mindestens ein einseitiger Grenzwert ist ∞\infty oder −∞-\infty; der Graph hat eine senkrechte Asymptote
Senkrechte Asymptote
Eine senkrechte Gerade x=ax = a, der sich der Graph nähert, während seine Werte über alle Grenzen wachsen

Formelkarte

Hebbar (Lücke)

lim⁡x→af(x)=L\lim_{x \to a} f(x) = L existiert, f(a)≠Lf(a) \neq L oder nicht definiert

Behebung mit $f(a) = L$

Sprungstelle

lim⁡x→a−f(x)≠lim⁡x→a+f(x)\lim_{x \to a^-} f(x) \neq \lim_{x \to a^+} f(x), beide endlich

Sprunghöhe $= \left| \lim_{x \to a^+} f(x) - \lim_{x \to a^-} f(x) \right|$

Polstelle

lim⁡x→a±f(x)=±∞\lim_{x \to a^\pm} f(x) = \pm\infty

Senkrechte Asymptote $x = a$

Test für gebrochenrationale Funktionen

(x−a) p(x)(x−a) q(x)=p(x)q(x)\frac{(x - a)\,p(x)}{(x - a)\,q(x)} = \frac{p(x)}{q(x)}

Ein gekürzter Faktor ergibt eine Lücke bei $\left(a, \frac{p(a)}{q(a)}\right)$, falls $q(a) \neq 0$; ein Faktor, der im Nenner bleibt, ergibt eine Asymptote

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