Logarithmen von Zehnerpotenzen

Bestimme $\log 100\,000$ und $\log 1$ ohne Taschenrechner.

Stelle die Frage für 100 000: 10 hoch wie viel ergibt $100\,000$? = $10^n = 100\,000$

Zähle die Nullen: $100\,000$ ist eine 1 mit 5 Nullen, also $100\,000 = 10^5$ = $\log 100\,000 = 5$

Stelle die Frage für 1: Jede Zahl ungleich null hoch 0 ergibt 1: $10^0 = 1$ = $\log 1 = 0$

Answer: $\log 100\,000 = 5$ und $\log 1 = 0$

Logarithmen kleiner Dezimalzahlen

Bestimme $\log 0{,}001$.

Schreibe die Dezimalzahl als Bruch: $0{,}001 = \dfrac{1}{1\,000}$ = $\dfrac{1}{10^3}$

Verwende einen negativen Exponenten: $\dfrac{1}{10^3} = 10^{-3}$ = $0{,}001 = 10^{-3}$

Lies den Exponenten ab: $\log(10^{-3}) = -3$ = $\log 0{,}001 = -3$

Answer: $\log 0{,}001 = -3$. Zahlen zwischen 0 und 1 haben negative Logarithmen.

log 50 abschätzen

Zwischen welchen zwei ganzen Zahlen liegt $\log 50$? Bestimme den Wert danach mit dem Taschenrechner.

Suche die Zehnerpotenzen um 50: $10 < 50 < 100$, also $10^1 < 50 < 10^2$ = Nachbarn: $10$ und $100$

Nimm die Logarithmen der Nachbarn: $\log 10 = 1$ und $\log 100 = 2$ = $1 < \log 50 < 2$

Benutze die Taste LOG: Tippe log(50) = $\log 50 \approx 1{,}699$

Prüfe die Größe: Die Mitte auf einer logarithmischen Skala ist $10^{1{,}5} \approx 31{,}6$, nicht 55. Wegen $50 > 31{,}6$ liegt $\log 50$ über $1{,}5$ = $1{,}699$ passt

Answer: $1 < \log 50 < 2$ und $\log 50 \approx 1{,}699$

Logarithmen und wissenschaftliche Schreibweise

Schreibe $3\,000$ in wissenschaftlicher Schreibweise, sage den ganzzahligen Teil von $\log 3\,000$ voraus und prüfe ihn mit dem Taschenrechner.

Schreibe die Zahl in wissenschaftlicher Schreibweise: $3\,000 = 3 \cdot 10^3$ = Exponent: $3$

Suche die Zehnerpotenzen um die Zahl: $10^3 = 1\,000 \le 3\,000 < 10\,000 = 10^4$ = $3 \le \log 3\,000 < 4$

Benutze die Taste LOG: Tippe log(3000) = $\log 3\,000 \approx 3{,}477$

Vergleiche: Der ganzzahlige Teil $3$ ist der Exponent aus der wissenschaftlichen Schreibweise = Die Größenordnung ist $3$

Answer: $\log 3\,000 \approx 3{,}477$: ganzzahliger Teil $3$, derselbe wie der Exponent in $3 \cdot 10^3$

Vom Logarithmus zurück zur Zahl

Eine positive Zahl $x$ hat $\log x = 2{,}5$. Zwischen welchen Zehnerpotenzen liegt $x$, und wie groß ist $x$ (auf 2 Nachkommastellen)?

Schreibe mit Zehnerpotenzen: $\log x = 2{,}5$ bedeutet $x = 10^{2{,}5}$ = $x = 10^{2{,}5}$

Ordne den Exponenten ein: $2 < 2{,}5 < 3$, also $10^2 < x < 10^3$ = $100 < x < 1\,000$

Benutze den Taschenrechner: Tippe 10^2,5 = $x \approx 316{,}23$

Answer: $x = 10^{2{,}5} \approx 316{,}23$, eine Zahl zwischen $100$ und $1\,000$ (3 Stellen)

Mistake: Zu denken, $\log 50 = 1{,}5$, weil 50 ungefähr in der Mitte zwischen 10 und 100 liegt

Why: Eine logarithmische Skala ist nicht gleichmäßig. Jeder Schritt um 1 im Logarithmus multipliziert die Zahl mit 10, deshalb liegt die Mitte zwischen 10 und 100 bei $10^{1{,}5} \approx 31{,}6$.

Correct: $\log 50 \approx 1{,}699$. Schätze zuerst die zwei ganzen Zahlen ab ($1 < \log 50 < 2$) und benutze dann den Taschenrechner.

Mistake: $\log 0{,}01 = 2$ schreiben oder sagen, dass es den Logarithmus einer Dezimalzahl nicht gibt

Why: $0{,}01 = 10^{-2}$, der Exponent ist also negativ. Logarithmen von Zahlen zwischen 0 und 1 gibt es, sie sind nur negativ.

Correct: $\log 0{,}01 = -2$, $\log 0{,}1 = -1$, $\log 0{,}001 = -3$.

Mistake: $\log 0 = 0$ oder $\log(-100) = -2$ schreiben

Why: $10^n$ ist für jeden Exponenten $n$ positiv. Keine Zehnerpotenz ist 0 oder eine negative Zahl.

Correct: $\log 0$ und $\log(-100)$ sind nicht definiert, der Taschenrechner zeigt einen Fehler. Merke: $\log 1 = 0$, nicht $\log 0$.

Mistake: Alle Ziffern zählen: $\log 1\,000 = 4$

Why: $1\,000$ hat 4 Ziffern, aber nur 3 Nullen. Der Logarithmus zählt die Faktoren 10, nicht die Ziffern.

Correct: $\log 1\,000 = 3$, weil $10^3 = 1\,000$. Eine ganze Zahl mit $d$ Stellen hat einen Logarithmus zwischen $d - 1$ und $d$.

Größenordnungen

In den Naturwissenschaften vergleicht man riesige und winzige Größen über ihre Größenordnung: den ganzzahligen Teil ihres dekadischen Logarithmus.

Ein menschliches Haar ist etwa $0{,}0001$ m dick, und $\log 0{,}0001 = -4$. Die Erde ist etwa $10\,000\,000$ m breit, und $\log 10\,000\,000 = 7$. Der Unterschied von 11 Größenordnungen bedeutet: Die Erde ist etwa $10^{11}$-mal breiter.

pH-Wert in der Chemie

Der pH-Wert einer Lösung ist $\text{pH} = -\log[H^+]$, wobei $[H^+]$ die Konzentration der Wasserstoffionen in mol/L ist. Ein kleinerer pH-Wert bedeutet: saurer.

Reines Wasser hat $[H^+] = 0{,}0000001 = 10^{-7}$, also $\text{pH} = -(-7) = 7$ (neutral).

Dezibel und Schall

Der Schallpegel in Dezibel ist $L = 10 \log\left(\dfrac{I}{I_0}\right)$, wobei $\dfrac{I}{I_0}$ angibt, wie viel stärker ein Geräusch ist als das leiseste, das wir hören können.

Flüstern ist etwa $100$-mal so stark wie die Hörschwelle: $L = 10 \log 100 = 10 \cdot 2 = 20$ dB.

Q: Warum heißt der Logarithmus zur Basis 10 dekadisch?

A: Dekadisch kommt vom griechischen Wort für zehn. Unser Zahlensystem beruht auf der 10, darum standen jahrhundertelang Logarithmen zur Basis 10 in den Logarithmentafeln, und heute hat jeder wissenschaftliche Taschenrechner die Taste LOG. Weil sie so oft gebraucht werden, lässt man die Basis weg: $\log x$ bedeutet $\log_{10} x$.

Q: Wie findet der Taschenrechner $\log 50$?

A: Er sucht mit einem schnellen Näherungsverfahren den Exponenten $n$ mit $10^n = 50$. Du kannst sein Ergebnis prüfen: $10^{1{,}699} \approx 50$. Die Abschätzung $1 < \log 50 < 2$ zeigt dir, ob du die richtigen Tasten gedrückt hast.

Q: Warum sind Logarithmen von Dezimalzahlen wie $0{,}01$ negativ?

A: Zahlen zwischen 0 und 1 erreichst du mit negativen Exponenten: $0{,}01 = \dfrac{1}{100} = 10^{-2}$. Also ist $\log 0{,}01 = -2$. Nur das Argument muss positiv sein, der Logarithmus selbst kann jede reelle Zahl sein.

Q: Ist $\log$ auf meinem Taschenrechner dasselbe wie $\ln$?

A: Nein. LOG rechnet zur Basis 10, LN zu einer anderen Basis, der Zahl $e \approx 2{,}718$. Zum Beispiel ist $\log 100 = 2$, aber $\ln 100 \approx 4{,}605$. Diese Taste behandelt die Lektion Natürlicher Logarithmus (ln).