Dekadischer Logarithmus (Basis 10)

Lerne den dekadischen Logarithmus log x zur Basis 10 kennen: exakte Werte für Zehnerpotenzen, Abschätzen zwischen ganzen Zahlen und Rechnen mit dem Taschenrechner.

Fortgeschritten25 MinLektion
Arbeitsblatt zum Drucken

Definition

Der dekadische Logarithmus (auch Zehnerlogarithmus) ist der Logarithmus zur Basis 10. Er wird so oft gebraucht, dass man die Basis weglässt:
log⁡x=log⁡10x\log x = \log_{10} x
(In manchen Büchern steht dafür auch lg⁡x\lg x; wir schreiben immer log⁡x\log x.)
log⁡x\log x beantwortet die Frage: **"10 hoch wie viel ergibt xx?"**
log⁡x=n  ⟺  10n=x\log x = n \iff 10^n = x
Zehnerpotenzen haben ganzzahlige Logarithmen:
xx0,0010{,}0010,010{,}010,10{,}11110101001001 0001\,0001 000 0001\,000\,000
log⁡x\log x−3-3−2-2−1-10011223366
Also gilt log⁡(10n)=n\log(10^n) = n für jeden Exponenten nn.
Zahlen zwischen zwei Zehnerpotenzen haben einen Logarithmus zwischen zwei ganzen Zahlen. Wegen 10<50<10010 < 50 < 100 wissen wir 1<log⁡50<21 < \log 50 < 2. Der Taschenrechner (Taste LOG) liefert log⁡50≈1,699\log 50 \approx 1{,}699.
Das Argument (der Numerus) muss positiv sein: log⁡0\log 0 und log⁡(−5)\log(-5) gibt es nicht.

Probier es gleich aus

Wie groß ist log⁡10 000\log 10\,000?

Lösungsbeispiele

Bestimme log⁡100 000\log 100\,000 und log⁡1\log 1 ohne Taschenrechner.

1

Stelle die Frage für 100 000

10 hoch wie viel ergibt 100 000100\,000? → 10n=100 00010^n = 100\,000

2

Zähle die Nullen

100 000100\,000 ist eine 1 mit 5 Nullen, also 100 000=105100\,000 = 10^5 → log⁡100 000=5\log 100\,000 = 5

3

Stelle die Frage für 1

Jede Zahl ungleich null hoch 0 ergibt 1: 100=110^0 = 1 → log⁡1=0\log 1 = 0

Häufige Fehler

Zu denken, log⁡50=1,5\log 50 = 1{,}5, weil 50 ungefähr in der Mitte zwischen 10 und 100 liegt

Warum es falsch ist: Eine logarithmische Skala ist nicht gleichmäßig. Jeder Schritt um 1 im Logarithmus multipliziert die Zahl mit 10, deshalb liegt die Mitte zwischen 10 und 100 bei 101,5≈31,610^{1{,}5} \approx 31{,}6.

Richtig: log⁡50≈1,699\log 50 \approx 1{,}699. Schätze zuerst die zwei ganzen Zahlen ab (1<log⁡50<21 < \log 50 < 2) und benutze dann den Taschenrechner.

log⁡0,01=2\log 0{,}01 = 2 schreiben oder sagen, dass es den Logarithmus einer Dezimalzahl nicht gibt

Warum es falsch ist: 0,01=10−20{,}01 = 10^{-2}, der Exponent ist also negativ. Logarithmen von Zahlen zwischen 0 und 1 gibt es, sie sind nur negativ.

Richtig: log⁡0,01=−2\log 0{,}01 = -2, log⁡0,1=−1\log 0{,}1 = -1, log⁡0,001=−3\log 0{,}001 = -3.

log⁡0=0\log 0 = 0 oder log⁡(−100)=−2\log(-100) = -2 schreiben

Warum es falsch ist: 10n10^n ist für jeden Exponenten nn positiv. Keine Zehnerpotenz ist 0 oder eine negative Zahl.

Richtig: log⁡0\log 0 und log⁡(−100)\log(-100) sind nicht definiert, der Taschenrechner zeigt einen Fehler. Merke: log⁡1=0\log 1 = 0, nicht log⁡0\log 0.

Alle Ziffern zählen: log⁡1 000=4\log 1\,000 = 4

Warum es falsch ist: 1 0001\,000 hat 4 Ziffern, aber nur 3 Nullen. Der Logarithmus zählt die Faktoren 10, nicht die Ziffern.

Richtig: log⁡1 000=3\log 1\,000 = 3, weil 103=1 00010^3 = 1\,000. Eine ganze Zahl mit dd Stellen hat einen Logarithmus zwischen d−1d - 1 und dd.

Interaktive Visualisierung

10³ = 1000
3

Sieh, wie Potenzen einer Zahl auf dem Zahlenstrahl wachsen. Ändere Basis und Exponent.

Balkendiagramm

Dekadischer Logarithmus von x

0,01(-2)
0,1(-1)
1(0)
5(0,7)
10(1)
50(1,7)
100(2)
1000(3)

Interaktiver Sandkasten

Ausdrucksrechner

Probiere diese:

Verlauf

Noch keine Berechnungen

Übungsaufgaben

18 Aufgaben
Aufgabe 1 von 18
Einfach

Wie groß ist log⁡10 000\log 10\,000?

Warum es wichtig ist

Unser Zahlensystem beruht auf der 10. Darum zeigt dir der dekadische Logarithmus auf einen Blick, wie groß eine Zahl ist:
  • Größenordnungen: Der ganzzahlige Teil von log⁡x\log x ist der Exponent von xx in wissenschaftlicher Schreibweise. log⁡(3 000)≈3,477\log(3\,000) \approx 3{,}477 und 3 000=3⋅1033\,000 = 3 \cdot 10^3.
  • Chemie: Der pH-Wert einer Lösung ist −log⁡-\log der Konzentration der Wasserstoffionen.
  • Schall: Dezibel verwenden 10log⁡10 \log eines Intensitätsverhältnisses.
  • Erdbeben und Sterne: Die Richterskala und die Helligkeitsskalen der Sterne beruhen auf Logarithmen zur Basis 10.
  • Diagramme in den Naturwissenschaften: Logarithmische Skalen bringen 11, 1010, 100100 und 1 000 0001\,000\,000 auf eine gut lesbare Achse.
Wenn du die Logarithmen der Zehnerpotenzen auswendig kennst, kannst du jedes Ergebnis des Taschenrechners in Sekunden überprüfen.

Anwendungen im echten Leben

Größenordnungen

In den Naturwissenschaften vergleicht man riesige und winzige Größen über ihre Größenordnung: den ganzzahligen Teil ihres dekadischen Logarithmus.

Beispiel:

Ein menschliches Haar ist etwa 0,00010{,}0001 m dick, und log⁡0,0001=−4\log 0{,}0001 = -4. Die Erde ist etwa 10 000 00010\,000\,000 m breit, und log⁡10 000 000=7\log 10\,000\,000 = 7. Der Unterschied von 11 Größenordnungen bedeutet: Die Erde ist etwa 101110^{11}-mal breiter.

1Probiere es selbst

Die Weltbevölkerung beträgt etwa 8 000 000 0008\,000\,000\,000 Menschen.

Welche Größenordnung hat sie, also welchen ganzzahligen Teil hat log⁡8 000 000 000\log 8\,000\,000\,000?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Schreibe den ganzzahligen Teil des Logarithmus:

pH-Wert in der Chemie

Der pH-Wert einer Lösung ist $\text{pH} = -\log[H^+]$, wobei $[H^+]$ die Konzentration der Wasserstoffionen in mol/L ist. Ein kleinerer pH-Wert bedeutet: saurer.

Beispiel:

Reines Wasser hat [H+]=0,0000001=10−7[H^+] = 0{,}0000001 = 10^{-7}, also pH=−(−7)=7\text{pH} = -(-7) = 7 (neutral).

2Probiere es selbst

Eine Probe Orangensaft hat [H+]=0,0001[H^+] = 0{,}0001 mol/L.

Welchen pH-Wert hat sie?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne −log⁡0,0001-\log 0{,}0001:

Dezibel und Schall

Der Schallpegel in Dezibel ist $L = 10 \log\left(\dfrac{I}{I_0}\right)$, wobei $\dfrac{I}{I_0}$ angibt, wie viel stärker ein Geräusch ist als das leiseste, das wir hören können.

Beispiel:

Flüstern ist etwa 100100-mal so stark wie die Hörschwelle: L=10log⁡100=10⋅2=20L = 10 \log 100 = 10 \cdot 2 = 20 dB.

3Probiere es selbst

Ein normales Gespräch ist etwa 1 000 0001\,000\,000-mal so intensiv wie die Hörschwelle.

Wie groß ist sein Schallpegel in Dezibel?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne 10log⁡1 000 00010 \log 1\,000\,000:

Wichtige Erkenntnisse

  • 1Der dekadische Logarithmus hat die Basis 10: log⁡x=log⁡10x\log x = \log_{10} x, und log⁡x=n\log x = n bedeutet 10n=x10^n = x
  • 2Zehnerpotenzen haben ganzzahlige Logarithmen: log⁡(10n)=n\log(10^n) = n, zum Beispiel log⁡1 000=3\log 1\,000 = 3 und log⁡0,01=−2\log 0{,}01 = -2
  • 3log⁡1=0\log 1 = 0 und log⁡10=1\log 10 = 1; Zahlen zwischen 0 und 1 haben negative Logarithmen
  • 4Zum Abschätzen von log⁡x\log x suchst du die Zehnerpotenzen um xx: aus 10<50<10010 < 50 < 100 folgt 1<log⁡50<21 < \log 50 < 2
  • 5Der ganzzahlige Teil von log⁡x\log x ist die Größenordnung, der Exponent von xx in wissenschaftlicher Schreibweise
  • 6Mit der Taste LOG erhältst du genaue Dezimalwerte (log⁡50≈1,699\log 50 \approx 1{,}699); log⁡0\log 0 und Logarithmen negativer Zahlen gibt es nicht

Häufig gestellte Fragen

Dekadisch kommt vom griechischen Wort für zehn. Unser Zahlensystem beruht auf der 10, darum standen jahrhundertelang Logarithmen zur Basis 10 in den Logarithmentafeln, und heute hat jeder wissenschaftliche Taschenrechner die Taste LOG. Weil sie so oft gebraucht werden, lässt man die Basis weg: log⁡x\log x bedeutet log⁡10x\log_{10} x.
Dekadisch kommt vom griechischen Wort für zehn. Unser Zahlensystem beruht auf der 10, darum standen jahrhundertelang Logarithmen zur Basis 10 in den Logarithmentafeln, und heute hat jeder wissenschaftliche Taschenrechner die Taste LOG. Weil sie so oft gebraucht werden, lässt man die Basis weg: log⁡x\log x bedeutet log⁡10x\log_{10} x.
Er sucht mit einem schnellen Näherungsverfahren den Exponenten nn mit 10n=5010^n = 50. Du kannst sein Ergebnis prüfen: 101,699≈5010^{1{,}699} \approx 50. Die Abschätzung 1<log⁡50<21 < \log 50 < 2 zeigt dir, ob du die richtigen Tasten gedrückt hast.
Zahlen zwischen 0 und 1 erreichst du mit negativen Exponenten: 0,01=1100=10−20{,}01 = \dfrac{1}{100} = 10^{-2}. Also ist log⁡0,01=−2\log 0{,}01 = -2. Nur das Argument muss positiv sein, der Logarithmus selbst kann jede reelle Zahl sein.
Nein. LOG rechnet zur Basis 10, LN zu einer anderen Basis, der Zahl e≈2,718e \approx 2{,}718. Zum Beispiel ist log⁡100=2\log 100 = 2, aber ln⁡100≈4,605\ln 100 \approx 4{,}605. Diese Taste behandelt die Lektion Natürlicher Logarithmus (ln).

Glossar

Dekadischer Logarithmus
Der Logarithmus zur Basis 10, geschrieben log⁡x\log x: der Exponent nn mit 10n=x10^n = x
Basis
Die Zahl, die potenziert wird; beim dekadischen Logarithmus ist sie 10
Argument (Numerus)
Die Zahl, deren Logarithmus du bestimmst, das xx in log⁡x\log x; sie muss positiv sein
Zehnerpotenz
Eine Zahl der Form 10n10^n, zum Beispiel 1 000=1031\,000 = 10^3 oder 0,01=10−20{,}01 = 10^{-2}
Größenordnung
Der ganzzahlige Teil von log⁡x\log x, also der Exponent von xx in wissenschaftlicher Schreibweise
Wissenschaftliche Schreibweise
Eine Zahl als a⋅10na \cdot 10^n mit 1≤a<101 \le a < 10 schreiben, zum Beispiel 3 000=3⋅1033\,000 = 3 \cdot 10^3

Formelkarte

Dekadischer Logarithmus

log⁡x=n  ⟺  10n=x\log x = n \iff 10^n = x

Die Basis 10 wird nicht geschrieben

Logarithmus einer Zehnerpotenz

log⁡(10n)=n\log(10^n) = n

Zum Beispiel $\log 1\,000 = 3$, $\log 0{,}01 = -2$

Besondere Werte

log⁡1=0,log⁡10=1\log 1 = 0, \quad \log 10 = 1

Weil $10^0 = 1$ und $10^1 = 10$

Abschätzen

10n≤x<10n+1⇒n≤log⁡x<n+110^n \le x < 10^{n+1} \Rightarrow n \le \log x < n + 1

Die Zehnerpotenzen um $x$ liefern den ganzzahligen Teil

Zurück zur Zahl

10log⁡x=x10^{\log x} = x

Zum Beispiel $10^{1{,}699} \approx 50$

Mehr zu diesem Thema

Einführung in Logarithmen

Fortgeschritten25 Min

Definition des Logarithmus

Fortgeschritten25 Min

Natürlicher Logarithmus (ln)

Fortgeschritten25 Min

Graphen von Logarithmusfunktionen

Fortgeschritten30 Min