Die Grundfunktion zeichnen

Zeichne $y = \log_2 x$ und gib Definitionsmenge, Wertemenge und Asymptote an.

Wähle x-Werte, die Zweierpotenzen sind: $x = \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, 1, 2, 4, 8$, weil $\log_2$ einer Zweierpotenz leicht zu bestimmen ist = Sechs bequeme x-Werte

Berechne jeden y-Wert: $\log_2 \frac{1}{4} = -2$, $\log_2 \frac{1}{2} = -1$, $\log_2 1 = 0$, $\log_2 2 = 1$, $\log_2 4 = 2$, $\log_2 8 = 3$ = $y = -2, -1, 0, 1, 2, 3$

Trage die Punkte ein und zeichne die Asymptote: Trage $\left(\frac{1}{4}, -2\right)$, $\left(\frac{1}{2}, -1\right)$, $(1, 0)$, $(2, 1)$, $(4, 2)$, $(8, 3)$ ein und zeichne die gestrichelte Gerade $x = 0$ = Punkte und Asymptote $x = 0$

Verbinde sie mit einer glatten Kurve: Die Kurve fällt nahe der $y$-Achse steil ab, ohne sie zu berühren, und steigt nach rechts langsam an = Steigende Kurve durch $(1, 0)$

Answer: Definitionsmenge $x > 0$, Wertemenge alle reellen Zahlen, senkrechte Asymptote $x = 0$, Nullstelle $(1, 0)$.

Eine Basis zwischen 0 und 1

Zeichne $y = \log_{1/2} x$ und vergleiche den Graphen mit $y = \log_2 x$.

Nutze die markanten Punkte: $\left(\frac{1}{b}, -1\right) = (2, -1)$, $(1, 0)$, $(b, 1) = \left(\frac{1}{2}, 1\right)$ = $(2, -1)$, $(1, 0)$, $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$

Bestimme einen weiteren Punkt: $\left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 4$, also $\log_{1/2} 4 = -2$ = $(4, -2)$

Beschreibe den Verlauf: Wenn $x$ wächst, wird $y$ kleiner: $1, 0, -1, -2$ = Der Graph ist fallend

Vergleiche mit der Basis 2: Bei $x = 2$: $\log_2 2 = 1$, aber $\log_{1/2} 2 = -1$. Jeder y-Wert hat das umgekehrte Vorzeichen = $\log_{1/2} x = -\log_2 x$

Answer: Der Graph von $y = \log_{1/2} x$ ist fallend, geht durch $(1, 0)$, hat die Asymptote $x = 0$ und ist das Spiegelbild von $y = \log_2 x$ an der $x$-Achse.

Einen Exponentialgraphen spiegeln

Bestimme mithilfe von Punkten von $y = 3^x$ Punkte von $y = \log_3 x$.

Notiere Punkte der Exponentialfunktion: $3^{-1} = \frac{1}{3}$, $3^0 = 1$, $3^1 = 3$, $3^2 = 9$ = $\left(-1, \frac{1}{3}\right)$, $(0, 1)$, $(1, 3)$, $(2, 9)$

Vertausche in jedem Punkt x und y: Die Spiegelung an $y = x$ macht aus $(p, q)$ den Punkt $(q, p)$ = $\left(\frac{1}{3}, -1\right)$, $(1, 0)$, $(3, 1)$, $(9, 2)$

Vertausche auch die Asymptoten: $y = 3^x$ hat die waagerechte Asymptote $y = 0$; nach dem Vertauschen wird daraus $x = 0$ = Senkrechte Asymptote $x = 0$

Vertausche Definitionsmenge und Wertemenge: $y = 3^x$: Definitionsmenge alle reellen Zahlen, Wertemenge $y > 0$. $y = \log_3 x$: Definitionsmenge $x > 0$, Wertemenge alle reellen Zahlen = Definitionsmenge $x > 0$

Answer: $y = \log_3 x$ geht durch $\left(\frac{1}{3}, -1\right)$, $(1, 0)$, $(3, 1)$, $(9, 2)$ und hat die Asymptote $x = 0$.

Den Graphen verschieben

Zeichne $y = \log_2(x - 3) + 1$. Gib Asymptote, Definitionsmenge, Wertemenge und Nullstelle an.

Lies h und k ab: Vergleiche mit $y = \log_b(x - h) + k$: $b = 2$, $h = 3$, $k = 1$ = 3 nach rechts, 1 nach oben

Verschiebe die Asymptote: $x = 0$ wandert 3 Einheiten nach rechts = Asymptote $x = 3$, Definitionsmenge $x > 3$

Verschiebe die markanten Punkte: $(1, 0) \to (1 + 3, 0 + 1)$ und $(2, 1) \to (2 + 3, 1 + 1)$ = $(4, 1)$ und $(5, 2)$

Bestimme die Nullstelle: $\log_2(x - 3) + 1 = 0 \Rightarrow \log_2(x - 3) = -1 \Rightarrow x - 3 = \frac{1}{2}$ = $x = 3{,}5$

Answer: Asymptote $x = 3$, Definitionsmenge $x > 3$, Wertemenge alle reellen Zahlen, Nullstelle $(3{,}5; 0)$, markante Punkte $(4, 1)$ und $(5, 2)$.

Die Gleichung aus dem Graphen bestimmen

Ein Graph der Form $y = \log_b(x - h) + k$ hat die senkrechte Asymptote $x = -1$ und geht durch $(0, 2)$ und $(1, 3)$. Bestimme $b$, $h$ und $k$.

Nutze die Asymptote: Die Asymptote ist $x = h$, also $h = -1$ = $h = -1$

Nutze den markanten Punkt (1 + h, k): $1 + h = 1 + (-1) = 0$, also liefert der Punkt $(0, 2)$ den Wert $k = 2$ = $k = 2$

Nutze den markanten Punkt (b + h, 1 + k): $1 + k = 3$ passt zum Punkt $(1, 3)$, also $b + h = 1$ und $b = 1 - (-1)$ = $b = 2$

Schreibe die Gleichung auf und prüfe sie: $y = \log_2(x + 1) + 2$. Probe: $x = 1$ ergibt $\log_2 2 + 2 = 3$ = $y = \log_2(x + 1) + 2$

Answer: $y = \log_2(x + 1) + 2$, also $b = 2$, $h = -1$, $k = 2$.

Mistake: $y = \log_2(x - 3)$ um drei Einheiten nach links verschieben

Why: Das Minuszeichen sieht nach einer Verschiebung nach links aus, aber das Argument $x - 3$ muss positiv sein, also $x > 3$: Der ganze Graph liegt rechts von $x = 3$.

Correct: $y = \log_b(x - h)$ verschiebt den Graphen um $h$ Einheiten nach rechts. $y = \log_2(x - 3)$ hat die Asymptote $x = 3$.

Mistake: Den Graphen die $y$-Achse berühren oder schneiden lassen

Why: $\log_b 0$ und der Logarithmus einer negativen Zahl existieren nicht, weil $b^y$ immer positiv ist.

Correct: Der Graph von $y = \log_b x$ kommt $x = 0$ immer näher, erreicht die Gerade aber nie. Die Definitionsmenge ist $x > 0$.

Mistake: Glauben, dass der Graph irgendwann auf einer festen Höhe bleibt

Why: Die Kurve steigt langsam und wirkt deshalb flach, hört aber nie auf zu steigen: $\log_2 1024 = 10$ und $\log_2 1048576 = 20$.

Correct: Ein Logarithmusgraph hat keine waagerechte Asymptote. Die Wertemenge sind alle reellen Zahlen.

Mistake: Nach einer waagerechten Verschiebung die Definitionsmenge $x > 0$ beibehalten

Why: Die Definitionsmenge ergibt sich aus dem Argument, nicht aus $x$ allein.

Correct: Bei $y = \log_3(x + 5)$ muss das Argument $x + 5$ positiv sein, also ist die Definitionsmenge $x > -5$.

Schallpegel in Dezibel

Ein Schallpegelmesser zeigt $L = 10 \log\left(\frac{I}{I_0}\right)$ Dezibel an, wobei $\frac{I}{I_0}$ angibt, wie viel Mal stärker der Schall ist als der leiseste hörbare Schall. Der Graph ist eine gestreckte Logarithmuskurve: bei großen Intensitäten sehr flach.

Ein Schall, der $100$-mal stärker ist als $I_0$, ergibt $L = 10 \log 100 = 20$ dB. Ein nochmals $10$-mal stärkerer Schall ergibt nur $30$ dB.

Binäre Suche in der Informatik

Die binäre Suche findet einen Namen in einer sortierten Liste, indem sie die Liste immer wieder halbiert. Bei $n$ Namen braucht sie etwa $\log_2 n$ Halbierungen, also ist der Graph der Schrittzahl der Graph von $y = \log_2 x$.

Eine Liste mit $8$ Namen braucht $\log_2 8 = 3$ Halbierungen: $8 \to 4 \to 2 \to 1$.

Der pH-Wert in der Chemie

Den Säuregrad misst man mit $\text{pH} = -\log[H^+]$, wobei $[H^+]$ die Konzentration der Wasserstoffionen ist. Das Minuszeichen spiegelt den Logarithmusgraphen an der $x$-Achse, deshalb sinkt der pH-Wert, wenn die Konzentration steigt.

Zitronensaft hat $[H^+] = 0{,}01 = 10^{-2}$, also $\text{pH} = -\log(10^{-2}) = 2$.

Q: Warum berührt der Graph nie die $y$-Achse?

A: Auf der $y$-Achse gilt $x = 0$, und $\log_b 0$ würde $b^y = 0$ verlangen. Eine positive Basis hoch irgendeine Zahl ist immer positiv, also passt kein $y$. Nahe $x = 0$ werden die Werte (für $b > 1$) sehr große negative Zahlen, deshalb taucht die Kurve entlang der Asymptote nach unten ab.

Q: Hat der Logarithmusgraph wie der Exponentialgraph eine waagerechte Asymptote?

A: Nein. Der Exponentialgraph hat die waagerechte Asymptote $y = 0$; nach der Spiegelung an $y = x$ wird daraus die senkrechte Asymptote $x = 0$. Der Logarithmusgraph steigt (für $b > 1$) immer weiter, nur sehr langsam.

Q: Wie sehen die Graphen von $\log x$ und $\ln x$ aus?

A: Beide haben eine Basis größer als 1 ($10$ und $e \approx 2{,}718$), also sind beide steigend, gehen durch $(1, 0)$ und haben die Asymptote $x = 0$. $\ln x$ geht durch $(e, 1)$ und $\log x$ durch $(10, 1)$, deshalb steigt $\ln x$ schneller.

Q: Wie erkenne ich, ob ein Logarithmusgraph steigt oder fällt?

A: Schau auf die Basis. Ist $b > 1$, steigt der Graph; ist $0 < b < 1$, fällt er. Auch ein Minuszeichen davor, wie bei $y = -\log_2 x$, macht aus einem steigenden einen fallenden Graphen.