Hat der Logarithmusgraph wie der Exponentialgraph eine waagerechte Asymptote?

Nein. Der Exponentialgraph hat die waagerechte Asymptote $y = 0$; nach der Spiegelung an $y = x$ wird daraus die senkrechte Asymptote $x = 0$. Der Logarithmusgraph steigt (für $b > 1$) immer weiter, nur sehr langsam.

Wie sehen die Graphen von $\log x$ und $\ln x$ aus?

Beide haben eine Basis größer als 1 ($10$ und $e \approx 2{,}718$), also sind beide steigend, gehen durch $(1, 0)$ und haben die Asymptote $x = 0$. $\ln x$ geht durch $(e, 1)$ und $\log x$ durch $(10, 1)$, deshalb steigt $\ln x$ schneller.

Wie erkenne ich, ob ein Logarithmusgraph steigt oder fällt?

Schau auf die Basis. Ist $b > 1$, steigt der Graph; ist $0 < b < 1$, fällt er. Auch ein Minuszeichen davor, wie bei $y = -\log_2 x$, macht aus einem steigenden einen fallenden Graphen.

Lehrermaterialien

Graphen von Logarithmusfunktionen

Q: Warum berührt der Graph nie die $y$-Achse?

Auf der $y$-Achse gilt $x = 0$, und $\log_b 0$ würde $b^y = 0$ verlangen. Eine positive Basis hoch irgendeine Zahl ist immer positiv, also passt kein $y$. Nahe $x = 0$ werden die Werte (für $b > 1$) sehr große negative Zahlen, deshalb taucht die Kurve entlang der Asymptote nach unten ab.

Lerne, Logarithmusfunktionen zu zeichnen: markante Punkte, Definitionsmenge, Wertemenge, senkrechte Asymptote, Spiegelbild der Exponentialfunktion und Verschiebungen.

Fortgeschritten30 MinLektion

Arbeitsblatt zum Drucken

Definition

Eine Logarithmusfunktion hat die Form

f(x) = \log_b x

mit der Basis

b > 0

und

b \neq 1

. Sie ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion

y = b^x

y = \log_b x

bedeutet

b^y = x

Markante Punkte (sie folgen direkt aus der Definition):

$\left(\frac{1}{b}, -1\right)$ , weil $b^{-1} = \frac{1}{b}$
$(1, 0)$ , weil $b^0 = 1$
$(b, 1)$ , weil $b^1 = b$

**Eigenschaften des Graphen von

y = \log_b x

:**

Definitionsmenge: $x > 0$ (man kann nur von einer positiven Zahl den Logarithmus bilden)
Wertemenge: alle reellen Zahlen
Senkrechte Asymptote: die Gerade $x = 0$ (die $y$ -Achse); der Graph kommt ihr immer näher, berührt sie aber nie
Nullstelle: $(1, 0)$ ; es gibt keinen Schnittpunkt mit der $y$ -Achse
Für $b > 1$ ist der Graph steigend, für $0 < b < 1$ ist er fallend

Der Graph von

y = \log_b x

ist das Spiegelbild des Graphen von

y = b^x

an der Geraden

y = x

: Jeder Punkt

(p, q)

von

y = b^x

wird zum Punkt

(q, p)

Transformationen:

y = \log_b(x - h) + k

verschiebt den Graphen um $h$ Einheiten nach rechts (nach links, wenn $h < 0$ ) und um $k$ Einheiten nach oben (nach unten, wenn $k < 0$ )
senkrechte Asymptote $x = h$ , Definitionsmenge $x > h$ , markante Punkte $(1 + h, k)$ und $(b + h, 1 + k)$
$y = -\log_b x$ spiegelt den Graphen an der $x$ -Achse; $y = \log_b(-x)$ spiegelt ihn an der $y$ -Achse (Definitionsmenge $x < 0$ )

Bewege im interaktiven Graphen die Schieberegler

b

h

und

k

und beobachte, wie sich die Asymptote und die beiden markanten Punkte verschieben.

Probier es gleich aus

Was ist die Definitionsmenge von

y = \log_3 x

Lösungsbeispiele

Zeichne $y = \log_2 x$ und gib Definitionsmenge, Wertemenge und Asymptote an.

Wähle x-Werte, die Zweierpotenzen sind

$x = \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, 1, 2, 4, 8$ , weil $\log_2$ einer Zweierpotenz leicht zu bestimmen ist → Sechs bequeme x-Werte

Berechne jeden y-Wert

$\log_2 \frac{1}{4} = -2$ , $\log_2 \frac{1}{2} = -1$ , $\log_2 1 = 0$ , $\log_2 2 = 1$ , $\log_2 4 = 2$ , $\log_2 8 = 3$ → $y = -2, -1, 0, 1, 2, 3$

Trage die Punkte ein und zeichne die Asymptote

Trage $\left(\frac{1}{4}, -2\right)$ , $\left(\frac{1}{2}, -1\right)$ , $(1, 0)$ , $(2, 1)$ , $(4, 2)$ , $(8, 3)$ ein und zeichne die gestrichelte Gerade $x = 0$ → Punkte und Asymptote $x = 0$

Verbinde sie mit einer glatten Kurve

Die Kurve fällt nahe der $y$ -Achse steil ab, ohne sie zu berühren, und steigt nach rechts langsam an → Steigende Kurve durch $(1, 0)$

Antwort: Definitionsmenge $x > 0$ , Wertemenge alle reellen Zahlen, senkrechte Asymptote $x = 0$ , Nullstelle $(1, 0)$ .

Häufige Fehler

$y = \log_2(x - 3)$ um drei Einheiten nach links verschieben

Warum es falsch ist: Das Minuszeichen sieht nach einer Verschiebung nach links aus, aber das Argument $x - 3$ muss positiv sein, also $x > 3$ : Der ganze Graph liegt rechts von $x = 3$ .

Richtig: $y = \log_b(x - h)$ verschiebt den Graphen um $h$ Einheiten nach rechts. $y = \log_2(x - 3)$ hat die Asymptote $x = 3$ .

Den Graphen die $y$ -Achse berühren oder schneiden lassen

Warum es falsch ist: $\log_b 0$ und der Logarithmus einer negativen Zahl existieren nicht, weil $b^y$ immer positiv ist.

Richtig: Der Graph von $y = \log_b x$ kommt $x = 0$ immer näher, erreicht die Gerade aber nie. Die Definitionsmenge ist $x > 0$ .

Glauben, dass der Graph irgendwann auf einer festen Höhe bleibt

Warum es falsch ist: Die Kurve steigt langsam und wirkt deshalb flach, hört aber nie auf zu steigen: $\log_2 1024 = 10$ und $\log_2 1048576 = 20$ .

Richtig: Ein Logarithmusgraph hat keine waagerechte Asymptote. Die Wertemenge sind alle reellen Zahlen.

Nach einer waagerechten Verschiebung die Definitionsmenge $x > 0$ beibehalten

Warum es falsch ist: Die Definitionsmenge ergibt sich aus dem Argument, nicht aus $x$ allein.

Richtig: Bei $y = \log_3(x + 5)$ muss das Argument $x + 5$ positiv sein, also ist die Definitionsmenge $x > -5$ .

Interaktive Visualisierung

Funktionsgraph

b = 2h = 0k = 0

Tippe auf den Graphen oder fahre mit der Maus darüber, um Werte abzulesen.

y = log_b(x - h) + kAsymptote

Wertetabelle

x	0,5	1	2	4	8
y	-1	0	1	2	3

Funktionsgraph

Tippe auf den Graphen oder fahre mit der Maus darüber, um Werte abzulesen.

Tippe auf einen Namen, um den Graphen ein- oder auszublenden.

y = xAsymptote

Funktionsgraph

Tippe auf den Graphen oder fahre mit der Maus darüber, um Werte abzulesen.

Tippe auf einen Namen, um den Graphen ein- oder auszublenden.

Asymptote

Wertetabelle

x	0,25	0,5	1	2	4	8
log_2(x)	-2	-1	0	1	2	3
log_0.5(x)	2	1	0	-1	-2	-3

Interaktiver Sandkasten

Interaktiver Grapher

Tippe auf den Graphen oder fahre mit der Maus darüber, um Werte abzulesen.

Probiere diese Beispiele:

y = log_2(x)

Ausdrucksrechner

Probiere diese:

Verlauf

Noch keine Berechnungen

Übungsaufgaben

18 Aufgaben

Aufgabe 1 von 18

Einfach

Was ist die Definitionsmenge von $y = \log_3 x$ ?

Warum es wichtig ist

Graphen von Logarithmusfunktionen zeigen, wie eine Größe wächst, wenn jeder neue Schritt ein Vielfaches an Eingabe braucht:

Schall: Ein Schallpegelmesser zeigt $L = 10 \log\left(\frac{I}{I_0}\right)$ Dezibel; verzehnfacht sich die Intensität, kommen nur $10$ dB dazu, deshalb ist die Kurve so flach.
Chemie: $\text{pH} = -\log[H^+]$ ist ein gespiegelter Logarithmusgraph: Mehr Wasserstoffionen ergeben einen kleineren pH-Wert.
Informatik: Die binäre Suche braucht für $n$ Einträge etwa $\log_2 n$ Schritte; verdoppelt man die Liste, kommt nur ein Schritt dazu.
Erdbeben: Der Wert auf der Richterskala steigt um $1$ , wenn sich die Amplitude verzehnfacht.

Wer solche Graphen lesen will, muss drei Dinge auf einen Blick erkennen: wo die Asymptote liegt, welche Werte erlaubt sind (Definitionsmenge) und wie schnell die Kurve steigt. Diese Lektion baut auf „Definition des Logarithmus“ auf und bereitet dich auf „Logarithmusgleichungen lösen“ vor.

Anwendungen im echten Leben

Schallpegel in Dezibel

Ein Schallpegelmesser zeigt $L = 10 \log\left(\frac{I}{I_0}\right)$ Dezibel an, wobei $\frac{I}{I_0}$ angibt, wie viel Mal stärker der Schall ist als der leiseste hörbare Schall. Der Graph ist eine gestreckte Logarithmuskurve: bei großen Intensitäten sehr flach.

Beispiel:

Ein Schall, der $100$ -mal stärker ist als $I_0$ , ergibt $L = 10 \log 100 = 20$ dB. Ein nochmals $10$ -mal stärkerer Schall ergibt nur $30$ dB.

1Probiere es selbst

In einer ruhigen Bibliothek ist der Schall $1000$ -mal stärker als der leiseste hörbare Schall, also $\frac{I}{I_0} = 1000$ .

Wie groß ist der Schallpegel $L$ in Dezibel?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne $L = 10 \log(1000)$ :

Binäre Suche in der Informatik

Die binäre Suche findet einen Namen in einer sortierten Liste, indem sie die Liste immer wieder halbiert. Bei $n$ Namen braucht sie etwa $\log_2 n$ Halbierungen, also ist der Graph der Schrittzahl der Graph von $y = \log_2 x$.

Beispiel:

Eine Liste mit $8$ Namen braucht $\log_2 8 = 3$ Halbierungen: $8 \to 4 \to 2 \to 1$ .

2Probiere es selbst

Eine sortierte Kontaktliste hat $1024$ Namen. Jeder Schritt der binären Suche halbiert die Liste.

Wie viele Halbierungen braucht man, bis nur noch ein Name übrig ist?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne $\log_2(1024)$ :

Der pH-Wert in der Chemie

Den Säuregrad misst man mit $\text{pH} = -\log[H^+]$, wobei $[H^+]$ die Konzentration der Wasserstoffionen ist. Das Minuszeichen spiegelt den Logarithmusgraphen an der $x$-Achse, deshalb sinkt der pH-Wert, wenn die Konzentration steigt.

Beispiel:

Zitronensaft hat $[H^+] = 0{,}01 = 10^{-2}$ , also $\text{pH} = -\log(10^{-2}) = 2$ .

3Probiere es selbst

Eine Regenwasserprobe hat $[H^+] = 0{,}0001$ .

Welchen pH-Wert hat sie?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne $\text{pH} = -\log(0{,}0001)$ :

Wichtige Erkenntnisse

1 $y = \log_b x$ ist die Umkehrfunktion von $y = b^x$ : Ihr Graph ist das Spiegelbild von $y = b^x$ an der Geraden $y = x$
2Markante Punkte von $y = \log_b x$ : $\left(\frac{1}{b}, -1\right)$ , $(1, 0)$ und $(b, 1)$
3Definitionsmenge $x > 0$ , Wertemenge alle reellen Zahlen, senkrechte Asymptote $x = 0$ , kein Schnittpunkt mit der $y$ -Achse
4Für $b > 1$ ist der Graph steigend, für $0 < b < 1$ fallend
5 $y = \log_b(x - h) + k$ verschiebt den Graphen um $h$ nach rechts und $k$ nach oben: Asymptote $x = h$ , Definitionsmenge $x > h$
6Ein Minuszeichen vor dem Logarithmus spiegelt den Graphen an der $x$ -Achse; $\log_b(-x)$ spiegelt ihn an der $y$ -Achse

Häufig gestellte Fragen

Auf der

y

-Achse gilt

x = 0

, und

\log_b 0

würde

b^y = 0

verlangen. Eine positive Basis hoch irgendeine Zahl ist immer positiv, also passt kein

y

. Nahe

x = 0

werden die Werte (für

b > 1

) sehr große negative Zahlen, deshalb taucht die Kurve entlang der Asymptote nach unten ab.

Glossar

Logarithmusfunktion: Eine Funktion $f(x) = \log_b x$ mit $b > 0$ , $b \neq 1$ ; sie liefert den Exponenten, mit dem man $b$ potenzieren muss, um $x$ zu erhalten
Senkrechte Asymptote: Eine senkrechte Gerade $x = h$ , der sich der Graph immer weiter nähert, ohne sie zu berühren; bei $y = \log_b x$ ist es $x = 0$
Definitionsmenge: Alle x-Werte, für die die Funktion definiert ist; bei $y = \log_b(x - h)$ ist es $x > h$
Wertemenge: Alle y-Werte, die die Funktion annimmt; bei jeder Logarithmusfunktion sind es alle reellen Zahlen
Umkehrfunktion: Eine Funktion, die eine andere rückgängig macht; ihr Graph ist das Spiegelbild an $y = x$ , so wie $y = \log_b x$ für $y = b^x$
Markante Punkte: Bequem einzutragende Punkte: $\left(\frac{1}{b}, -1\right)$ , $(1, 0)$ und $(b, 1)$ bei $y = \log_b x$

Formelkarte

Grundfunktion

y = \log_b x \iff b^y = x

Basis $b > 0$, $b \neq 1$; Definitionsmenge $x > 0$, Wertemenge alle reellen Zahlen

Markante Punkte

\left(\tfrac{1}{b}, -1\right),\ (1, 0),\ (b, 1)

Trage diese drei Punkte zuerst ein

Verschobene Funktion

y = \log_b(x - h) + k

Asymptote $x = h$, Definitionsmenge $x > h$, markante Punkte $(1 + h, k)$ und $(b + h, 1 + k)$

Spiegelungen

y = -\log_b x,\quad y = \log_b(-x)

An der $x$-Achse und an der $y$-Achse (Definitionsmenge $x < 0$)

Umkehrfunktion der Exponentialfunktion

(p, q) \text{ auf } y = b^x \iff (q, p) \text{ auf } y = \log_b x

Spiegelung an der Geraden $y = x$

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Wertetabelle

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Funktionsgraph

Wertetabelle

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Interaktiver Grapher

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Verlauf

Übungsaufgaben

Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Schallpegel in Dezibel

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Der pH-Wert in der Chemie

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

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