Logarithmus von 1 und Logarithmus der Basis

Berechne $\log_9 1 + \log_9 9$.

Berechne $\log_9 1$: Welche Potenz von $9$ ergibt $1$? $9^0 = 1$ = $\log_9 1 = 0$

Berechne $\log_9 9$: Welche Potenz von $9$ ergibt $9$? $9^1 = 9$ = $\log_9 9 = 1$

Addiere die Ergebnisse: $0 + 1$ = $1$

Answer: $\log_9 1 + \log_9 9 = 1$

Logarithmus einer Potenz der Basis

Berechne $\log_4 64$ ohne Taschenrechner.

Schreibe das Argument als Potenz der Basis: $4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$ = $64 = 4^3$

Schreibe den Logarithmus um: $\log_4 64 = \log_4(4^3)$ = $\log_4(4^3)$

Wende $\log_b(b^x) = x$ an: Logarithmus und Potenz heben sich auf, der Exponent bleibt übrig = $3$

Answer: $\log_4 64 = 3$

Basis hoch Logarithmus

Vereinfache $3^{\log_3 7} + 2^{\log_2 5}$.

Prüfe die Basen: In $3^{\log_3 7}$ sind beide Basen $3$, in $2^{\log_2 5}$ sind beide Basen $2$ = Die Basen stimmen überein

Wende $b^{\log_b x} = x$ auf den ersten Term an: $\log_3 7$ ist der Exponent, der $3$ zu $7$ macht = $3^{\log_3 7} = 7$

Wende dieselbe Eigenschaft auf den zweiten Term an: $\log_2 5$ ist der Exponent, der $2$ zu $5$ macht = $2^{\log_2 5} = 5$

Addiere: $7 + 5$ = $12$

Answer: $3^{\log_3 7} + 2^{\log_2 5} = 12$

Die Eindeutigkeit anwenden

Löse $\log_3(2x + 1) = \log_3(x + 6)$.

Gleiche Basis auf beiden Seiten, also Argumente gleichsetzen: Aus $\log_3 M = \log_3 N$ folgt $M = N$ = $2x + 1 = x + 6$

Löse die lineare Gleichung: $2x - x = 6 - 1$ = $x = 5$

Prüfe, ob beide Argumente positiv sind: $2 \cdot 5 + 1 = 11 > 0$ und $5 + 6 = 11 > 0$ = Beide Argumente sind $11$

Answer: $x = 5$

Eindeutigkeit mit Prüfung der Definitionsmenge

Löse $\log_4(x^2 - 4) = \log_4(3x)$.

Setze die Argumente gleich: Eindeutigkeit mit der Basis $4$ = $x^2 - 4 = 3x$

Bringe die quadratische Gleichung in Normalform: $x^2 - 3x - 4 = 0$ = $(x - 4)(x + 1) = 0$

Bestimme beide Kandidaten: $x - 4 = 0$ oder $x + 1 = 0$ = $x = 4$ oder $x = -1$

Prüfe $x = -1$: $3x = -3$, und $\log_4(-3)$ ist nicht definiert = $x = -1$ ist eine Scheinlösung

Prüfe $x = 4$: $4^2 - 4 = 12 > 0$ und $3 \cdot 4 = 12 > 0$ = $x = 4$ passt

Answer: $x = 4$ (der Kandidat $x = -1$ fällt weg)

Mistake: $\log_b 1 = 1$ oder $\log_b 1 = b$ schreiben

Why: Der Logarithmus ist der Exponent, nicht das Ergebnis. Die Frage lautet: Welche Potenz von $b$ ergibt $1$?

Correct: $b^0 = 1$, also gilt $\log_b 1 = 0$ für jede erlaubte Basis. Zum Beispiel $\log_7 1 = 0$.

Mistake: Glauben, dass $\log_b 0 = 0$ ist oder dass der Logarithmus einer negativen Zahl negativ ist

Why: Eine positive Basis hoch irgendeinen Exponenten ist immer positiv, also ergibt kein Exponent $0$ oder eine negative Zahl.

Correct: $\log_b 0$ und $\log_b(-4)$ sind nicht definiert. Das Argument muss größer als $0$ sein, der Wert eines Logarithmus darf aber negativ sein: $\log_2 \frac{1}{8} = -3$.

Mistake: Potenz und Logarithmus mit verschiedenen Basen kürzen: $2^{\log_3 9} = 9$

Why: $b^{\log_b x} = x$ gilt nur, wenn die Basis der Potenz und die Basis des Logarithmus dieselbe Zahl sind.

Correct: Hier sind die Basen verschieden: $\log_3 9 = 2$, also $2^{\log_3 9} = 2^2 = 4$, nicht $9$.

Mistake: Die Eindeutigkeit anwenden und die Argumente nicht prüfen

Why: Beim Gleichsetzen der Argumente kann ein Wert entstehen, der ein Argument null oder negativ macht. Dort existiert der ursprüngliche Logarithmus nicht.

Correct: Setze jeden Kandidaten immer in alle Argumente ein. Behalte ihn nur, wenn alle Argumente positiv sind.

Schallpegel in Dezibel

Die Lautstärke eines Geräuschs ist $L = 10 \log \frac{I}{I_0}$ Dezibel, wobei $I_0$ das leiseste Geräusch ist, das ein Mensch hören kann. Mit den Grundeigenschaften geht die Rechnung schnell.

An der Hörschwelle ist $I = I_0$, also $L = 10 \log 1 = 10 \cdot 0 = 0$ Dezibel.

Säuregehalt und pH-Wert

In der Chemie misst man den Säuregehalt mit $\text{pH} = -\log[H^+]$, wobei $[H^+]$ die Konzentration der Wasserstoffionen in Mol pro Liter ist. Die Umkehreigenschaft macht aus einem pH-Wert wieder eine Konzentration.

Reines Wasser hat $[H^+] = 10^{-7}$, also $\text{pH} = -\log(10^{-7}) = -(-7) = 7$.

Runden in einem K.-o.-Turnier

In einem K.-o.-Turnier scheidet in jeder Runde die Hälfte der Teilnehmer aus. Bei $2^n$ Teilnehmern gibt es $\log_2(2^n) = n$ Runden, bis ein Sieger übrig bleibt.

Bei $16 = 2^4$ Mannschaften gibt es $\log_2 16 = \log_2(2^4) = 4$ Runden.

Q: Warum ist $\log_b 1$ immer $0$?

A: Jede erlaubte Basis hoch $0$ ergibt $1$: $2^0 = 1$, $10^0 = 1$, $e^0 = 1$. Der Logarithmus fragt nach diesem Exponenten, also ist die Antwort immer $0$.

Q: Kann der Wert eines Logarithmus negativ sein?

A: Ja. Nur das Argument muss positiv sein. Zum Beispiel ist $\log_{10} 0{,}01 = -2$, weil $10^{-2} = 0{,}01$. Das Argument $0{,}01$ ist positiv, der Wert $-2$ ist negativ.

Q: Warum braucht $b^{\log_b x} = x$ die Bedingung $x > 0$, während $\log_b(b^x) = x$ für jedes $x$ gilt?

A: In $\log_b(b^x)$ ist das Argument $b^x$ immer positiv, also ist jedes reelle $x$ erlaubt. In $b^{\log_b x}$ muss zuerst $\log_b x$ existieren, und dafür braucht man $x > 0$.

Q: Wo finde ich Produkt-, Quotienten- und Potenzregel?

A: Jede hat ihre eigene Lektion: Produktregel für Logarithmen, Quotientenregel für Logarithmen und Potenzregel für Logarithmen. Sie benutzen die Eigenschaften aus dieser Lektion, deshalb lohnt es sich, diese zuerst sicher zu beherrschen.