pH-Wert eines Erfrischungsgetränks

Ein Erfrischungsgetränk hat eine Wasserstoffionenkonzentration von $[H^+] = 3{,}2 \times 10^{-4}$ mol/L. Berechne seinen pH-Wert, gerundet auf zwei Nachkommastellen.

Formel aufschreiben: $\text{pH} = -\log[H^+] = -\log(0{,}00032)$ = $\text{pH} = -\log(0{,}00032)$

Den Zehnerlogarithmus berechnen: $\log(0{,}00032) \approx -3{,}49485$ = $\log(0{,}00032) \approx -3{,}49485$

Das Minuszeichen anwenden: $\text{pH} = -(-3{,}49485) = 3{,}49485$ = $3{,}49485$

Auf zwei Nachkommastellen runden: Die dritte Nachkommastelle ist $4$, also wird abgerundet = $\text{pH} \approx 3{,}49$

Answer: $\text{pH} \approx 3{,}49$ (sauer, weil der Wert unter 7 liegt)

Schallpegel eines Staubsaugers

Ein Staubsauger erzeugt einen Schall, der $5\,000\,000$-mal so intensiv ist wie die Hörschwelle, also $\frac{I}{I_0} = 5\,000\,000$. Berechne den Schallpegel in Dezibel, gerundet auf eine Nachkommastelle.

Formel aufschreiben: $L = 10 \log\left(\frac{I}{I_0}\right) = 10 \log(5\,000\,000)$ = $L = 10 \log(5\,000\,000)$

Den Logarithmus berechnen: $5\,000\,000 = 5 \times 10^6$, also $\log(5\,000\,000) = \log 5 + 6 \approx 6{,}69897$ = $\approx 6{,}69897$

Mit 10 multiplizieren: $L \approx 10 \times 6{,}69897 = 66{,}9897$ = $66{,}9897$

Auf eine Nachkommastelle runden: Die zweite Nachkommastelle ist $8$, also wird aufgerundet = $L \approx 67{,}0$ dB

Answer: $L \approx 67{,}0$ dB

Zwei Erdbeben vergleichen

Ein Erdbeben hat auf der Richterskala die Stärke $7{,}3$, ein anderes die Stärke $5{,}1$. Wie viel Mal größer ist die Amplitude des stärkeren Bebens? Runde auf eine ganze Zahl.

Den Unterschied der Magnituden bestimmen: $d = 7{,}3 - 5{,}1 = 2{,}2$ = $d = 2{,}2$

Den Unterschied in ein Verhältnis umwandeln: Jede ganze Stufe auf der Skala multipliziert die Amplitude mit $10$, das Verhältnis ist also $10^{d} = 10^{2{,}2}$ = $10^{2{,}2}$

Die Potenz berechnen: $10^{2{,}2} = 10^2 \times 10^{0{,}2} \approx 100 \times 1{,}58489 = 158{,}489$ = $\approx 158{,}489$

Auf eine ganze Zahl runden: $158{,}489 \approx 158$ = $158$

Answer: Die Amplitude ist etwa $158$-mal größer (nicht $2{,}2$-mal!)

Wann verdoppelt sich das Ersparte?

Du legst 1000 € zu $5\,\%$ Zinsen an, die einmal pro Jahr gutgeschrieben werden. Wie lange dauert es, bis der Kontostand 2000 € erreicht? Gib $t$ auf zwei Nachkommastellen gerundet an und dann die Anzahl der nötigen vollen Jahre.

Die Wachstumsgleichung aufschreiben: $1000 \cdot 1{,}05^t = 2000$ = $1000 \cdot 1{,}05^t = 2000$

Die Potenz isolieren: Beide Seiten durch $1000$ teilen = $1{,}05^t = 2$

Auf beiden Seiten ln anwenden und die Potenzregel nutzen: $\ln(1{,}05^t) = \ln 2 \Rightarrow t \cdot \ln 1{,}05 = \ln 2$ = $t = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}05}$

Berechnen und auf zwei Nachkommastellen runden: $t \approx \frac{0{,}693147}{0{,}048790} \approx 14{,}2067$ = $t \approx 14{,}21$ Jahre

Deuten: Zinsen gibt es einmal pro Jahr: Nach 14 Jahren: $1000 \cdot 1{,}05^{14} \approx 1979{,}93$ (noch nicht). Nach 15 Jahren: $1000 \cdot 1{,}05^{15} \approx 2078{,}93$ = $15$ volle Jahre

Answer: $t \approx 14{,}21$ Jahre, der Kontostand erreicht 2000 € also erstmals nach $15$ vollen Jahren

Halbwertszeit eines Medikaments

Eine Patientin nimmt $400$ mg eines Medikaments mit einer Halbwertszeit von $6$ Stunden ein. Nach wie vielen Stunden sind nur noch $30$ mg übrig? Runde auf eine Nachkommastelle.

Das Halbwertszeit-Modell aufschreiben: $400 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/6} = 30$ = $400 \cdot 0{,}5^{t/6} = 30$

Die Potenz isolieren: $0{,}5^{t/6} = \frac{30}{400} = 0{,}075$ = $0{,}5^{t/6} = 0{,}075$

Auf beiden Seiten ln anwenden: $\frac{t}{6} \cdot \ln 0{,}5 = \ln 0{,}075$ = $\frac{t}{6} = \frac{\ln 0{,}075}{\ln 0{,}5} \approx 3{,}73697$

Mit 6 multiplizieren und runden: $t \approx 6 \times 3{,}73697 \approx 22{,}4218$ = $t \approx 22{,}4$ Stunden

Answer: Etwa $22{,}4$ Stunden (etwas weniger als 4 Halbwertszeiten, denn nach 4 Halbwertszeiten wären noch $25$ mg übrig)

Mistake: Zu sagen, ein Erdbeben der Stärke 8 sei "2-mal" oder "doppelt" so stark wie eines der Stärke 6

Why: Die Richterskala ist logarithmisch: Jede ganze Stufe multipliziert die Amplitude mit 10. Unterschiede der Magnitude sind Exponenten, keine Faktoren.

Correct: Verhältnis der Amplituden $= 10^{8 - 6} = 10^2 = 100$-mal.

Mistake: Das Minuszeichen in $\text{pH} = -\log[H^+]$ vergessen und einen negativen pH-Wert wie $-3{,}49$ erhalten

Why: Konzentrationen wie $0{,}00032$ sind kleiner als 1, ihr Logarithmus ist also negativ. Das Minuszeichen in der Formel macht den pH-Wert positiv.

Correct: $\text{pH} = -\log(0{,}00032) = -(-3{,}49485) \approx 3{,}49$

Mistake: Den Zinssatz statt des Wachstumsfaktors verwenden: $t = \frac{\ln 2}{\ln 0{,}05}$

Why: Der Kontostand wird jedes Jahr mit $1 + r = 1{,}05$ multipliziert, nicht mit $0{,}05$. Außerdem ist $\ln 0{,}05$ negativ, was eine negative Zeit ergäbe.

Correct: $t = \frac{\ln 2}{\ln(1{,}05)} \approx 14{,}21$ Jahre. Bei Abnahme verwendest du $1 - r$, zum Beispiel $0{,}85$ bei $15\,\%$ Verlust.

Mistake: Zu früh runden, zum Beispiel $\ln 1{,}05 \approx 0{,}05$ schreiben

Why: Kleine Rundungen in einem Quotienten wachsen: $\frac{0{,}6931}{0{,}05} \approx 13{,}86$ statt $14{,}21$, das ist etwa 4 Monate daneben.

Correct: Rechne mit voller Taschenrechnergenauigkeit (oder mindestens 5 gültigen Ziffern) und runde nur das Endergebnis, so wie es die Aufgabe verlangt.

Saurer Regen

Umweltwissenschaftler vergleichen den Säuregrad von Regen mit dem pH-Wert. Weil der pH-Wert ein Logarithmus ist, bedeutet ein kleiner pH-Unterschied einen großen Unterschied bei den Wasserstoffionen.

Normaler Regen hat einen pH-Wert von etwa $5{,}6$. Regen mit pH-Wert $4{,}6$ hat $10^{1} = 10$-mal so viele Wasserstoffionen.

Gehörschutz bei Konzerten

Tontechniker und Hörakustiker arbeiten in Dezibel. Ohrstöpsel werden danach bewertet, wie stark sie die Schallintensität verringern.

Teilt man die Intensität durch $10$, sinkt der Pegel um $10$ dB, teilt man durch $100$, sinkt er um $20$ dB.

Ein Sparziel planen

Finanzberater berechnen mit Logarithmen, wie viele Jahre eine Geldanlage braucht, um ein Ziel zu erreichen.

Bei $4\,\%$ pro Jahr wächst das Geld jedes Jahr mit dem Faktor $1{,}04$, die Anzahl der Jahre ist also $t = \frac{\ln(\text{Ziel}/\text{Start})}{\ln 1{,}04}$.

Q: Soll ich log oder ln verwenden, um die Zeit zu berechnen?

A: Beides funktioniert, solange du oben und unten denselben Logarithmus nimmst: $\frac{\log 2}{\log 1{,}05} = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}05} \approx 14{,}21$. Die Formeln für pH-Wert und Dezibel sind mit dem Zehnerlogarithmus $\log$ (Basis 10) definiert, dort verwendest du also $\log$. (Manche Bücher schreiben dafür auch $\lg$.)

Q: Warum ist die Antwort 15 Jahre, wenn der Taschenrechner 14,21 anzeigt?

A: Die Gleichung behandelt die Zeit als stetig, aber eine Bank schreibt die Zinsen nur einmal im Jahr gut. Nach 14 Jahren liegt der Kontostand noch unter dem Ziel, du brauchst also die 15. Zinszahlung. Frag dich immer, ob die Situation Bruchteile eines Jahres erlaubt.

Q: Kann ein pH-Wert negativ oder größer als 14 sein?

A: Mathematisch ja: $[H^+] = 2$ mol/L ergibt $\text{pH} = -\log 2 \approx -0{,}30$. In der alltäglichen Chemie liegen aber fast alle Lösungen zwischen 0 und 14.

Q: Gibt es eine schnelle Schätzung für die Verdopplungszeit?

A: Die "72er-Regel" sagt: Verdopplungszeit ungefähr $72 \div (\text{Zinssatz in }\%)$. Bei $5\,\%$: $72 \div 5 = 14{,}4$ Jahre, nah am genauen Wert $14{,}21$. Verwende Logarithmen, wenn die Aufgabe ein genaues Ergebnis verlangt.