Sachaufgaben mit Logarithmen

Löse echte Probleme mit Logarithmen: pH-Wert, Dezibel, Erdbebenstärken, Verdopplungszeit, Halbwertszeit und wie lange Geld zum Wachsen braucht.

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Definition

Eine Sachaufgabe mit Logarithmen beschreibt eine echte Situation, in der die Unbekannte ein Exponent ist: eine Zeit, eine Stärke oder ein Pegel. Du löst sie in drei Schritten: Formel aufschreiben, die Potenz isolieren, dann auf beiden Seiten den Logarithmus anwenden.
Zwei Arten von Aufgaben kommen immer wieder vor:
1. Logarithmische Skalen (die Formel enthält schon einen Logarithmus):
  • pH-Wert einer Lösung: pH=−log⁡[H+]\text{pH} = -\log[H^+], wobei [H+][H^+] die Wasserstoffionenkonzentration in mol/L ist
  • Schallpegel in Dezibel: L=10log⁡(II0)L = 10 \log\left(\frac{I}{I_0}\right), wobei I0I_0 die Hörschwelle ist
  • Richterskala: Bei zwei Erdbeben, deren Magnituden sich um dd unterscheiden, stehen die Amplituden im Verhältnis 10d10^{d}
2. Wachstum und Zerfall über die Zeit (die Unbekannte tt steht im Exponenten):
A=P(1+r)t⇒t=ln⁡(AP)ln⁡(1+r)A = P(1 + r)^t \quad\Rightarrow\quad t = \frac{\ln\left(\frac{A}{P}\right)}{\ln(1 + r)}
Bei stetigem Wachstum liefert A=PertA = Pe^{rt} die Zeit t=ln⁡(A/P)rt = \frac{\ln(A/P)}{r}, und bei einer Halbwertszeit hh liefert N=N0(12)t/hN = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/h} die Zeit t=h⋅ln⁡(N/N0)ln⁡(0,5)t = h \cdot \frac{\ln(N/N_0)}{\ln(0{,}5)}.
Dabei ist log⁡\log der dekadische Logarithmus (Zehnerlogarithmus, Basis 10) und ln⁡\ln der natürliche Logarithmus (Basis ee). Die meisten Ergebnisse sind Dezimalzahlen, deshalb steht in jeder Aufgabe, wie gerundet wird, und du rundest erst ganz am Ende.

Probier es gleich aus

Ein Erdbeben der Stärke 66 wird mit einem der Stärke 44 auf der Richterskala verglichen. Wie viel Mal größer ist die Amplitude des stärkeren Bebens?

Lösungsbeispiele

Ein Erfrischungsgetränk hat eine Wasserstoffionenkonzentration von [H+]=3,2×10−4[H^+] = 3{,}2 \times 10^{-4} mol/L. Berechne seinen pH-Wert, gerundet auf zwei Nachkommastellen.

1

Formel aufschreiben

pH=−log⁡[H+]=−log⁡(0,00032)\text{pH} = -\log[H^+] = -\log(0{,}00032) → pH=−log⁡(0,00032)\text{pH} = -\log(0{,}00032)

2

Den Zehnerlogarithmus berechnen

log⁡(0,00032)≈−3,49485\log(0{,}00032) \approx -3{,}49485

3

Das Minuszeichen anwenden

pH=−(−3,49485)=3,49485\text{pH} = -(-3{,}49485) = 3{,}49485

4

Auf zwei Nachkommastellen runden

Die dritte Nachkommastelle ist 44, also wird abgerundet → pH≈3,49\text{pH} \approx 3{,}49

Häufige Fehler

Zu sagen, ein Erdbeben der Stärke 8 sei "2-mal" oder "doppelt" so stark wie eines der Stärke 6

Warum es falsch ist: Die Richterskala ist logarithmisch: Jede ganze Stufe multipliziert die Amplitude mit 10. Unterschiede der Magnitude sind Exponenten, keine Faktoren.

Richtig: Verhältnis der Amplituden =108−6=102=100= 10^{8 - 6} = 10^2 = 100-mal.

Das Minuszeichen in pH=−log⁡[H+]\text{pH} = -\log[H^+] vergessen und einen negativen pH-Wert wie −3,49-3{,}49 erhalten

Warum es falsch ist: Konzentrationen wie 0,000320{,}00032 sind kleiner als 1, ihr Logarithmus ist also negativ. Das Minuszeichen in der Formel macht den pH-Wert positiv.

Richtig: pH=−log⁡(0,00032)=−(−3,49485)≈3,49\text{pH} = -\log(0{,}00032) = -(-3{,}49485) \approx 3{,}49

Den Zinssatz statt des Wachstumsfaktors verwenden: t=ln⁡2ln⁡0,05t = \frac{\ln 2}{\ln 0{,}05}

Warum es falsch ist: Der Kontostand wird jedes Jahr mit 1+r=1,051 + r = 1{,}05 multipliziert, nicht mit 0,050{,}05. Außerdem ist ln⁡0,05\ln 0{,}05 negativ, was eine negative Zeit ergäbe.

Richtig: t=ln⁡2ln⁡(1,05)≈14,21t = \frac{\ln 2}{\ln(1{,}05)} \approx 14{,}21 Jahre. Bei Abnahme verwendest du 1−r1 - r, zum Beispiel 0,850{,}85 bei 15 %15\,\% Verlust.

Zu früh runden, zum Beispiel ln⁡1,05≈0,05\ln 1{,}05 \approx 0{,}05 schreiben

Warum es falsch ist: Kleine Rundungen in einem Quotienten wachsen: 0,69310,05≈13,86\frac{0{,}6931}{0{,}05} \approx 13{,}86 statt 14,2114{,}21, das ist etwa 4 Monate daneben.

Richtig: Rechne mit voller Taschenrechnergenauigkeit (oder mindestens 5 gültigen Ziffern) und runde nur das Endergebnis, so wie es die Aufgabe verlangt.

Interaktive Visualisierung

Funktionsgraph

05101520253001000200030004000JahreEuro(14,21 | 2000)

Tippe auf den Graphen oder fahre mit der Maus darüber, um Werte abzulesen.

Tippe auf einen Namen, um den Graphen ein- oder auszublenden.

  • Schnittpunkt: (14,21 | 2000)
10³ = 1000
3

Sieh, wie Potenzen einer Zahl auf dem Zahlenstrahl wachsen. Ändere Basis und Exponent.

10³ = 1000
3

Sieh, wie Potenzen einer Zahl auf dem Zahlenstrahl wachsen. Ändere Basis und Exponent.

Zinsrechner

Formel
Zinseszins:A = P(1 + r/n)^(nt)A = 1000 · (1 + 0,05)^15 = 2.078,93 €

Zinseszins

Verdiente Zinsen:1.078,93 €
Gesamtbetrag:2.078,93 €

Wachstum über Zeit

JahreBetrag

Interaktiver Sandkasten

Interaktiver Grapher

051015202530-10-50510xy

Tippe auf den Graphen oder fahre mit der Maus darüber, um Werte abzulesen.

Probiere diese Beispiele:

y = 2x + 1

m=2, b=1

Ausdrucksrechner

Probiere diese:

Verlauf

Noch keine Berechnungen

Übungsaufgaben

18 Aufgaben
Aufgabe 1 von 18
Einfach

Ein Erdbeben der Stärke 66 wird mit einem der Stärke 44 auf der Richterskala verglichen. Wie viel Mal größer ist die Amplitude des stärkeren Bebens?

Warum es wichtig ist

Logarithmen machen aus riesigen Zahlenbereichen kleine, gut lesbare Zahlen, und sie sind das einzige Werkzeug, mit dem man eine Unbekannte aus dem Exponenten holt:
  • Chemie: Zitronensaft (pH-Wert etwa 2) hat 100 000100\,000-mal mehr Wasserstoffionen als reines Wasser (pH-Wert 7).
  • Gesundheit: Ein Konzert mit 110 dB ist 10001000-mal intensiver als eine Straße mit 80 dB, deshalb ist Gehörschutz wichtig.
  • Geologie: Ein Erdbeben der Stärke 7 hat die 100100-fache Amplitude eines Bebens der Stärke 5.
  • Geld: Banken, Sparer und Kreditberater fragen: "Nach wie vielen Jahren hat sich mein Geld verdoppelt?" und beantworten das mit ln⁡\ln.
  • Medizin: Ärzte entscheiden mit der Halbwertszeit, wann ein Medikament unter eine wirksame Menge gefallen ist.
Jede dieser Fragen ist eine Frage nach einem Exponenten, und ein Logarithmus beantwortet sie.

Anwendungen im echten Leben

Saurer Regen

Umweltwissenschaftler vergleichen den Säuregrad von Regen mit dem pH-Wert. Weil der pH-Wert ein Logarithmus ist, bedeutet ein kleiner pH-Unterschied einen großen Unterschied bei den Wasserstoffionen.

Beispiel:

Normaler Regen hat einen pH-Wert von etwa 5,65{,}6. Regen mit pH-Wert 4,64{,}6 hat 101=1010^{1} = 10-mal so viele Wasserstoffionen.

1Probiere es selbst

Normaler Regen hat einen pH-Wert von 5,65{,}6. Ein Unwetter bringt sauren Regen mit einem pH-Wert von 4,34{,}3.

Wie viel Mal mehr Wasserstoffionen enthält der saure Regen? Runde auf eine ganze Zahl.

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne 105,6−4,310^{5{,}6 - 4{,}3} und runde auf eine ganze Zahl:

Gehörschutz bei Konzerten

Tontechniker und Hörakustiker arbeiten in Dezibel. Ohrstöpsel werden danach bewertet, wie stark sie die Schallintensität verringern.

Beispiel:

Teilt man die Intensität durch 1010, sinkt der Pegel um 1010 dB, teilt man durch 100100, sinkt er um 2020 dB.

2Probiere es selbst

Ein Rockkonzert erreicht 110110 dB. Ohrstöpsel verringern die Schallintensität, die dein Ohr erreicht, auf 11000\frac{1}{1000} ihres Wertes.

Welcher Schallpegel in Dezibel erreicht dein Ohr? (Das Ergebnis ist eine ganze Zahl, Runden ist nicht nötig.)

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Schreibe den neuen Pegel als 10log⁡(10111000)10 \log\left(\frac{10^{11}}{1000}\right) und berechne ihn:

Ein Sparziel planen

Finanzberater berechnen mit Logarithmen, wie viele Jahre eine Geldanlage braucht, um ein Ziel zu erreichen.

Beispiel:

Bei 4 %4\,\% pro Jahr wächst das Geld jedes Jahr mit dem Faktor 1,041{,}04, die Anzahl der Jahre ist also t=ln⁡(Ziel/Start)ln⁡1,04t = \frac{\ln(\text{Ziel}/\text{Start})}{\ln 1{,}04}.

3Probiere es selbst

Du legst 5000 € zu 4 %4\,\% Zinsen an, die einmal pro Jahr gutgeschrieben werden. Dein Ziel sind 8000 €.

Wie viele volle Jahre musst du warten, bis der Kontostand das Ziel zum ersten Mal erreicht?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Löse 5000⋅1,04t=80005000 \cdot 1{,}04^t = 8000 und runde dann auf ganze Jahre auf:

Wichtige Erkenntnisse

  • 1In einer Sachaufgabe mit Logarithmen ist die Unbekannte ein Exponent: eine Zeit, eine Stärke oder ein Pegel
  • 2pH-Wert: pH=−log⁡[H+]\text{pH} = -\log[H^+]; zurück: [H+]=10−pH[H^+] = 10^{-\text{pH}}
  • 3Dezibel: L=10log⁡(II0)L = 10\log\left(\frac{I}{I_0}\right); je 1010 dB mehr bedeuten die 1010-fache Intensität
  • 4Richterskala: Magnituden, die sich um dd unterscheiden, bedeuten Amplituden im Verhältnis 10d10^{d}
  • 5Zeit bei Wachstum oder Zerfall: Potenz isolieren, auf beiden Seiten ln⁡\ln anwenden, dann t=ln⁡(A/P)ln⁡(1±r)t = \frac{\ln(A/P)}{\ln(1 \pm r)}; Verdopplungszeit ln⁡2ln⁡(1+r)\frac{\ln 2}{\ln(1+r)}
  • 6Runde erst am Ende, genau wie die Aufgabe es verlangt, und prüfe, ob die Situation ganze Jahre braucht

Häufig gestellte Fragen

Beides funktioniert, solange du oben und unten denselben Logarithmus nimmst: log⁡2log⁡1,05=ln⁡2ln⁡1,05≈14,21\frac{\log 2}{\log 1{,}05} = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}05} \approx 14{,}21. Die Formeln für pH-Wert und Dezibel sind mit dem Zehnerlogarithmus log⁡\log (Basis 10) definiert, dort verwendest du also log⁡\log. (Manche Bücher schreiben dafür auch lg⁡\lg.)
Beides funktioniert, solange du oben und unten denselben Logarithmus nimmst: log⁡2log⁡1,05=ln⁡2ln⁡1,05≈14,21\frac{\log 2}{\log 1{,}05} = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}05} \approx 14{,}21. Die Formeln für pH-Wert und Dezibel sind mit dem Zehnerlogarithmus log⁡\log (Basis 10) definiert, dort verwendest du also log⁡\log. (Manche Bücher schreiben dafür auch lg⁡\lg.)
Die Gleichung behandelt die Zeit als stetig, aber eine Bank schreibt die Zinsen nur einmal im Jahr gut. Nach 14 Jahren liegt der Kontostand noch unter dem Ziel, du brauchst also die 15. Zinszahlung. Frag dich immer, ob die Situation Bruchteile eines Jahres erlaubt.
Mathematisch ja: [H+]=2[H^+] = 2 mol/L ergibt pH=−log⁡2≈−0,30\text{pH} = -\log 2 \approx -0{,}30. In der alltäglichen Chemie liegen aber fast alle Lösungen zwischen 0 und 14.
Die "72er-Regel" sagt: Verdopplungszeit ungefähr 72÷(Zinssatz in %)72 \div (\text{Zinssatz in }\%). Bei 5 %5\,\%: 72÷5=14,472 \div 5 = 14{,}4 Jahre, nah am genauen Wert 14,2114{,}21. Verwende Logarithmen, wenn die Aufgabe ein genaues Ergebnis verlangt.

Glossar

pH-Wert
Ein Maß für den Säuregrad: pH=−log⁡[H+]\text{pH} = -\log[H^+]. Unter 7 sauer, 7 neutral, über 7 basisch.
Dezibel (dB)
Einheit des Schallpegels: L=10log⁡(II0)L = 10\log\left(\frac{I}{I_0}\right), wobei I0I_0 die Hörschwelle ist.
Richterskala
Eine logarithmische Skala für Erdbeben: Eine ganze Stufe bedeutet die 1010-fache Amplitude der Bodenbewegung.
Verdopplungszeit
Die Zeit, die eine wachsende Größe braucht, um sich zu verdoppeln: t=ln⁡2ln⁡(1+r)t = \frac{\ln 2}{\ln(1 + r)} bei Wachstum um rr pro Zeitraum.
Halbwertszeit
Die Zeit, in der eine abnehmende Größe auf die Hälfte ihres Wertes fällt.
Wachstumsfaktor
Die Zahl, mit der eine Größe in jedem Zeitraum multipliziert wird: 1+r1 + r bei Wachstum, 1−r1 - r bei Abnahme.

Formelkarte

pH-Wert

pH=−log⁡[H+]  ⟺  [H+]=10−pH\text{pH} = -\log[H^+] \iff [H^+] = 10^{-\text{pH}}

Säuregrad aus der Wasserstoffionenkonzentration

Schallpegel

L=10log⁡(II0)  ⟺  II0=10L/10L = 10\log\left(\frac{I}{I_0}\right) \iff \frac{I}{I_0} = 10^{L/10}

Dezibel aus dem Intensitätsverhältnis

Vergleich auf der Richterskala

A1A2=10M1−M2\frac{A_1}{A_2} = 10^{M_1 - M_2}

Verhältnis der Amplituden zweier Erdbeben

Zeit bis zum Ziel

t=ln⁡(A/P)ln⁡(1+r)t = \frac{\ln(A/P)}{\ln(1 + r)}

Aus $A = P(1 + r)^t$; bei Abnahme $1 - r$ verwenden

Stetiges Wachstum

t=ln⁡(A/P)rt = \frac{\ln(A/P)}{r}

Aus $A = Pe^{rt}$

Halbwertszeit

t=h⋅ln⁡(N/N0)ln⁡0,5t = h \cdot \frac{\ln(N/N_0)}{\ln 0{,}5}

Aus $N = N_0 \cdot 0{,}5^{t/h}$ mit Halbwertszeit $h$

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