Berechnen mit der Potenzregel

Berechne $\log_2(8^5)$ ohne Taschenrechner.

Ziehe den Exponenten nach vorne: $\log_2(8^5) = 5 \cdot \log_2 8$ = $5 \log_2 8$

Berechne den einfacheren Logarithmus: $2^3 = 8$, also ist $\log_2 8 = 3$ = $\log_2 8 = 3$

Multipliziere: $5 \cdot 3 = 15$ = $15$

Answer: $\log_2(8^5) = 15$. Probe: $8^5 = (2^3)^5 = 2^{15}$.

Logarithmus einer Wurzel

Berechne $\log_5 \sqrt{125}$.

Schreibe die Wurzel als Bruchpotenz: $\sqrt{125} = 125^{1/2}$ = $\log_5(125^{1/2})$

Wende die Potenzregel an: $\log_5(125^{1/2}) = \frac{1}{2} \log_5 125$ = $\frac{1}{2} \log_5 125$

Berechne den Logarithmus: $5^3 = 125$, also ist $\log_5 125 = 3$ = $\log_5 125 = 3$

Multipliziere: $\frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2}$ = $\frac{3}{2}$

Answer: $\log_5 \sqrt{125} = \frac{3}{2} = 1{,}5$

Zerlegen mit allen drei Gesetzen

Zerlege $\log \dfrac{x^3 y^2}{\sqrt{z}}$ (alle Variablen positiv).

Quotientenregel: Zähler minus Nenner: $\log(x^3 y^2) - \log \sqrt{z}$ = Zwei Logarithmen

Produktregel für den Zähler: $\log(x^3 y^2) = \log x^3 + \log y^2$ = $\log x^3 + \log y^2 - \log \sqrt{z}$

Schreibe die Wurzel als Potenz: $\sqrt{z} = z^{1/2}$ = $\log x^3 + \log y^2 - \log z^{1/2}$

Potenzregel für jeden Term: Ziehe jeden Exponenten nach vorne = $3 \log x + 2 \log y - \frac{1}{2} \log z$

Answer: $\log \dfrac{x^3 y^2}{\sqrt{z}} = 3 \log x + 2 \log y - \frac{1}{2} \log z$

Zu einem Logarithmus zusammenfassen

Schreibe $2 \ln x + 3 \ln y - 4 \ln z$ als einen einzigen Logarithmus.

Potenzregel rückwärts: Vorfaktoren werden Exponenten: $2 \ln x = \ln x^2$, $3 \ln y = \ln y^3$, $4 \ln z = \ln z^4$ = $\ln x^2 + \ln y^3 - \ln z^4$

Produktregel rückwärts für die Summe: $\ln x^2 + \ln y^3 = \ln(x^2 y^3)$ = $\ln(x^2 y^3) - \ln z^4$

Quotientenregel rückwärts für die Differenz: $\ln(x^2 y^3) - \ln z^4 = \ln \dfrac{x^2 y^3}{z^4}$ = $\ln \dfrac{x^2 y^3}{z^4}$

Answer: $2 \ln x + 3 \ln y - 4 \ln z = \ln \dfrac{x^2 y^3}{z^4}$

Näherungswerte aus bekannten Logarithmen

Bestimme mit $\log 2 \approx 0{,}301$ und $\log 3 \approx 0{,}477$ einen Näherungswert für $\log 72$.

Zerlege in Primzahlpotenzen: $72 = 8 \cdot 9 = 2^3 \cdot 3^2$ = $\log 72 = \log(2^3 \cdot 3^2)$

Produktregel: $\log(2^3 \cdot 3^2) = \log 2^3 + \log 3^2$ = $\log 2^3 + \log 3^2$

Potenzregel: $\log 2^3 + \log 3^2 = 3 \log 2 + 2 \log 3$ = $3 \log 2 + 2 \log 3$

Setze die Werte ein: $3 \cdot 0{,}301 + 2 \cdot 0{,}477 = 0{,}903 + 0{,}954$ = $1{,}857$

Answer: $\log 72 \approx 1{,}857$ (der Taschenrechner liefert $1{,}8573$)

Mistake: $(\log M)^p$ wie $p \log M$ behandeln

Why: Die Potenzregel gilt nur, wenn der Exponent am **Argument** steht, also im Logarithmus. Bei $(\log M)^p$ wird der ganze Logarithmus potenziert. Beispiel: $(\log 100)^3 = 2^3 = 8$, aber $3 \log 100 = 6$.

Correct: $\log(M^p) = p \log M$, während sich $(\log M)^p$ mit der Potenzregel nicht vereinfachen lässt. Schau nach, wo der Exponent steht, bevor du ihn verschiebst.

Mistake: Den Exponenten auf das ganze Argument anwenden: $\log(3x^2) = 2 \log(3x)$

Why: In $3x^2$ wird nur $x$ quadriert, nicht die $3$. Probe mit $x = 10$: $\log 300 \approx 2{,}48$, aber $2 \log 30 \approx 2{,}95$.

Correct: Zerlege zuerst das Produkt: $\log(3x^2) = \log 3 + \log x^2 = \log 3 + 2 \log x$.

Mistake: Aus der Quadratwurzel einen Faktor 2 machen: $\log \sqrt{x} = 2 \log x$

Why: Eine Quadratwurzel ist die Potenz $\frac{1}{2}$, nicht die Potenz $2$. Der Wurzelexponent kommt in den Nenner.

Correct: $\log \sqrt{x} = \log x^{1/2} = \frac{1}{2} \log x$ und $\log \sqrt[3]{x} = \frac{1}{3} \log x$.

Mistake: $3 \log x - \log y$ zu $\log \frac{3x}{y}$ zusammenfassen

Why: Ein Vorfaktor vor einem Logarithmus ist ein **Exponent** des Arguments, kein Faktor davon.

Correct: Mache den Vorfaktor zuerst zum Exponenten: $3 \log x = \log x^3$. Dann ist $3 \log x - \log y = \log \frac{x^3}{y}$.

Lautstärke in Dezibel

Die Änderung des Schallpegels beträgt $\Delta L = 10 \log \frac{I_2}{I_1}$ Dezibel, wobei $\frac{I_2}{I_1}$ angibt, wievielmal größer die Intensität wird. Die Potenzregel macht aus Zehnerpotenzen eine einfache Multiplikation.

Verdoppelst du deinen Abstand zum Lautsprecher, sinkt die Intensität auf ein Viertel ($2^2 = 4$), also $\Delta L = 10 \log(2^{-2}) = -20 \log 2 \approx -6$ dB.

Stellen riesiger Zahlen zählen

Eine natürliche Zahl $N$ hat $\lfloor \log N \rfloor + 1$ Stellen. Mit der Potenzregel zählst du die Stellen riesiger Potenzen, ohne sie auszurechnen.

$\log(2^{10}) = 10 \log 2 \approx 3{,}01$, also hat $2^{10} = 1024$ genau $3 + 1 = 4$ Stellen.

Bevölkerungswachstum

Eine Bevölkerung, die jedes Jahr um einen festen Prozentsatz wächst, ist eine Exponentialfunktion der Zeit. Um herauszufinden, wann sie eine Zielgröße erreicht, holt die Potenzregel die Zeit aus dem Exponenten.

Bei 10 % Wachstum pro Jahr verdoppelt sich eine Bevölkerung, wenn $1{,}1^t = 2$ ist: $t \log 1{,}1 = \log 2$, also $t = \frac{\log 2}{\log 1{,}1} \approx 7{,}3$ Jahre.

Q: Warum gilt die Potenzregel?

A: Ein Logarithmus ist ein Exponent. Wenn $\log_b M = x$ ist, dann gilt $M = b^x$ und $M^p = b^{px}$. Potenzieren mit $p$ multipliziert den Exponenten mit $p$, also wird auch der Logarithmus (der Exponent) mit $p$ multipliziert.

Q: Muss der Exponent eine ganze Zahl sein?

A: Nein. Die Potenzregel gilt für jeden reellen Exponenten: negative ($\log_b \frac{1}{M^2} = -2 \log_b M$), gebrochene ($\log_b \sqrt[3]{M} = \frac{1}{3} \log_b M$) und sogar irrationale.

Q: Sind $\log(x^2)$ und $2 \log x$ wirklich dieselbe Funktion?

A: Nur für $x > 0$. Die Funktion $\log(x^2)$ ist auch für negative $x$ definiert (zum Beispiel $\log((-10)^2) = \log 100 = 2$), $2 \log x$ dagegen nicht. Für alle $x \neq 0$ lautet die genaue Aussage $\log(x^2) = 2 \log |x|$. Der Graph oben zeigt beide Kurven.

Q: Wann zerlege ich und wann fasse ich zusammen?

A: Zerlege, wenn du einfache Bausteine brauchst, zum Beispiel um $\log 72$ aus $\log 2$ und $\log 3$ näherungsweise zu bestimmen. Fasse zusammen, wenn du einen einzigen Logarithmus brauchst, etwa um eine Gleichung wie $2 \log x - \log 4 = 2$ zu lösen (siehe Logarithmusgleichungen lösen).