Muss der Exponent eine ganze Zahl sein?

Nein. Die Potenzregel gilt für jeden reellen Exponenten: negative ($\log_b \frac{1}{M^2} = -2 \log_b M$), gebrochene ($\log_b \sqrt[3]{M} = \frac{1}{3} \log_b M$) und sogar irrationale.

Sind $\log(x^2)$ und $2 \log x$ wirklich dieselbe Funktion?

Nur für $x > 0$. Die Funktion $\log(x^2)$ ist auch für negative $x$ definiert (zum Beispiel $\log((-10)^2) = \log 100 = 2$), $2 \log x$ dagegen nicht. Für alle $x \neq 0$ lautet die genaue Aussage $\log(x^2) = 2 \log |x|$. Der Graph oben zeigt beide Kurven.

Wann zerlege ich und wann fasse ich zusammen?

Zerlege, wenn du einfache Bausteine brauchst, zum Beispiel um $\log 72$ aus $\log 2$ und $\log 3$ näherungsweise zu bestimmen. Fasse zusammen, wenn du einen einzigen Logarithmus brauchst, etwa um eine Gleichung wie $2 \log x - \log 4 = 2$ zu lösen (siehe Logarithmusgleichungen lösen).

Lehrermaterialien

Potenzregel für Logarithmen

Q: Warum gilt die Potenzregel?

Ein Logarithmus ist ein Exponent. Wenn $\log_b M = x$ ist, dann gilt $M = b^x$ und $M^p = b^{px}$. Potenzieren mit $p$ multipliziert den Exponenten mit $p$, also wird auch der Logarithmus (der Exponent) mit $p$ multipliziert.

Lerne, wie die Potenzregel einen Exponenten vor den Logarithmus zieht, wie Wurzeln zu Bruchpotenzen werden und wie du Logarithmen mit allen drei Gesetzen zerlegst und zusammenfasst.

Fortgeschritten25 MinLektion

Arbeitsblatt zum Drucken

Definition

Die Potenzregel für Logarithmen besagt, dass ein Exponent im Argument als Faktor vor den Logarithmus gezogen werden darf:

\log_b(M^p) = p \cdot \log_b M

Sie gilt für jeden reellen Exponenten

p

, solange

M > 0

b > 0

und

b \neq 1

ist.

Warum sie gilt: Setze

x = \log_b M

, also

M = b^x

. Dann ist

M^p = (b^x)^p = b^{px}

, und der Logarithmus von

b^{px}

ist einfach

px

. Also ist

\log_b(M^p) = p \cdot x = p \cdot \log_b M

Auch Wurzeln sind Potenzen. Wegen

\sqrt[n]{M} = M^{1/n}

gilt:

\log_b \sqrt[n]{M} = \frac{1}{n} \log_b M

Beispiel:

\log_2(8^5) = 5 \cdot \log_2 8 = 5 \cdot 3 = 15

und

\log \sqrt{1000} = \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2}

Zusammen mit der Produktregel (

\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N

) und der Quotientenregel (

\log_b \frac{M}{N} = \log_b M - \log_b N

) kannst du mit der Potenzregel einen Logarithmus in viele einfache zerlegen oder mehrere Logarithmen zu einem zusammenfassen.

Probier es gleich aus

Welcher Term ist für

x > 0

gleich

\log_3(x^5)

Lösungsbeispiele

Berechne $\log_2(8^5)$ ohne Taschenrechner.

Ziehe den Exponenten nach vorne

$\log_2(8^5) = 5 \cdot \log_2 8$ → $5 \log_2 8$

Berechne den einfacheren Logarithmus

$2^3 = 8$ , also ist $\log_2 8 = 3$

Multipliziere

$5 \cdot 3 = 15$

Antwort: $\log_2(8^5) = 15$ . Probe: $8^5 = (2^3)^5 = 2^{15}$ .

Häufige Fehler

$(\log M)^p$ wie $p \log M$ behandeln

Warum es falsch ist: Die Potenzregel gilt nur, wenn der Exponent am Argument steht, also im Logarithmus. Bei $(\log M)^p$ wird der ganze Logarithmus potenziert. Beispiel: $(\log 100)^3 = 2^3 = 8$ , aber $3 \log 100 = 6$ .

Richtig: $\log(M^p) = p \log M$ , während sich $(\log M)^p$ mit der Potenzregel nicht vereinfachen lässt. Schau nach, wo der Exponent steht, bevor du ihn verschiebst.

Den Exponenten auf das ganze Argument anwenden: $\log(3x^2) = 2 \log(3x)$

Warum es falsch ist: In $3x^2$ wird nur $x$ quadriert, nicht die $3$ . Probe mit $x = 10$ : $\log 300 \approx 2{,}48$ , aber $2 \log 30 \approx 2{,}95$ .

Richtig: Zerlege zuerst das Produkt: $\log(3x^2) = \log 3 + \log x^2 = \log 3 + 2 \log x$ .

Aus der Quadratwurzel einen Faktor 2 machen: $\log \sqrt{x} = 2 \log x$

Warum es falsch ist: Eine Quadratwurzel ist die Potenz $\frac{1}{2}$ , nicht die Potenz $2$ . Der Wurzelexponent kommt in den Nenner.

Richtig: $\log \sqrt{x} = \log x^{1/2} = \frac{1}{2} \log x$ und $\log \sqrt[3]{x} = \frac{1}{3} \log x$ .

$3 \log x - \log y$ zu $\log \frac{3x}{y}$ zusammenfassen

Warum es falsch ist: Ein Vorfaktor vor einem Logarithmus ist ein Exponent des Arguments, kein Faktor davon.

Richtig: Mache den Vorfaktor zuerst zum Exponenten: $3 \log x = \log x^3$ . Dann ist $3 \log x - \log y = \log \frac{x^3}{y}$ .

Interaktive Visualisierung

Funktionsgraph

Tippe auf den Graphen oder fahre mit der Maus darüber, um Werte abzulesen.

Tippe auf einen Namen, um den Graphen ein- oder auszublenden.

Asymptote

Wertetabelle

x	-10	0,1	1	10	1000
log(x²)	2	-2	0	2	6
2 log(x)	n. def.	-2	0	2	6
(log x)²	n. def.	1	0	1	9

Interaktiver Sandkasten

Ausdrucksrechner

Probiere diese:

Verlauf

Noch keine Berechnungen

Übungsaufgaben

18 Aufgaben

Aufgabe 1 von 18

Einfach

Welcher Term ist für $x > 0$ gleich $\log_3(x^5)$ ?

Warum es wichtig ist

Die Potenzregel macht Logarithmen erst richtig nützlich:

Exponentialgleichungen lösen: In $1{,}05^t = 2$ steht die Unbekannte im Exponenten. Logarithmieren und die Potenzregel liefern $t \cdot \log 1{,}05 = \log 2$ , der Exponent wird also zu einem normalen Faktor.
Riesige Zahlen: $\log(2^{64}) = 64 \log 2 \approx 19{,}3$ verrät dir sofort, dass $2^{64}$ 20 Stellen hat, ohne dass du die Zahl ausrechnest.
Skalen in den Naturwissenschaften: Dezibel, pH-Wert und Richterskala beruhen auf Logarithmen; die Potenzregel erklärt, warum sich die Dezibeländerung verdoppelt, wenn man das Intensitätsverhältnis quadriert.
Analysis: Bevor du ein kompliziertes Produkt von Potenzen ableitest, zerlegst du seinen Logarithmus mit der Potenzregel.

Sie ist das letzte der drei wichtigen Logarithmengesetze, und ab jetzt brauchst du alle drei zusammen in fast jeder Aufgabe mit Logarithmen.

Anwendungen im echten Leben

Lautstärke in Dezibel

Die Änderung des Schallpegels beträgt $\Delta L = 10 \log \frac{I_2}{I_1}$ Dezibel, wobei $\frac{I_2}{I_1}$ angibt, wievielmal größer die Intensität wird. Die Potenzregel macht aus Zehnerpotenzen eine einfache Multiplikation.

Beispiel:

Verdoppelst du deinen Abstand zum Lautsprecher, sinkt die Intensität auf ein Viertel ( $2^2 = 4$ ), also $\Delta L = 10 \log(2^{-2}) = -20 \log 2 \approx -6$ dB.

1Probiere es selbst

Du stehst 2 m von einem Lautsprecher entfernt und gehst auf 20 m zurück. Die Schallintensität nimmt mit dem Quadrat des Abstands ab, sie wird also durch $\left(\frac{20}{2}\right)^2$ geteilt. Der Pegel sinkt um $10 \log\left(\left(\frac{20}{2}\right)^2\right)$ Dezibel.

Um wie viele Dezibel sinkt der Schallpegel?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne $10 \log(10^2)$ :

Stellen riesiger Zahlen zählen

Eine natürliche Zahl $N$ hat $\lfloor \log N \rfloor + 1$ Stellen. Mit der Potenzregel zählst du die Stellen riesiger Potenzen, ohne sie auszurechnen.

Beispiel:

$\log(2^{10}) = 10 \log 2 \approx 3{,}01$ , also hat $2^{10} = 1024$ genau $3 + 1 = 4$ Stellen.

2Probiere es selbst

Computer verwenden oft $64$ -Bit-Zahlen, und $2^{64}$ ist die Anzahl der verschiedenen Werte, die sie speichern können. Verwende $\log 2 \approx 0{,}301$ .

Wie viele Stellen hat $2^{64}$ ?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Anzahl der Stellen: $\lfloor 64 \log 2 \rfloor + 1$

Bevölkerungswachstum

Eine Bevölkerung, die jedes Jahr um einen festen Prozentsatz wächst, ist eine Exponentialfunktion der Zeit. Um herauszufinden, wann sie eine Zielgröße erreicht, holt die Potenzregel die Zeit aus dem Exponenten.

Beispiel:

Bei 10 % Wachstum pro Jahr verdoppelt sich eine Bevölkerung, wenn $1{,}1^t = 2$ ist: $t \log 1{,}1 = \log 2$ , also $t = \frac{\log 2}{\log 1{,}1} \approx 7{,}3$ Jahre.

3Probiere es selbst

Eine Stadt hat 20000 Einwohner und wächst um 3 % pro Jahr. Nach $t$ Jahren hat sie $20000 \cdot 1{,}03^t$ Einwohner.

Nach wie vielen vollen Jahren hat die Stadt mindestens 30000 Einwohner?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Runde $t = \frac{\log 1{,}5}{\log 1{,}03}$ auf ganze Jahre auf:

Wichtige Erkenntnisse

1Potenzregel: $\log_b(M^p) = p \log_b M$ für $M > 0$ und jeden reellen Exponenten $p$
2Wurzeln sind Bruchpotenzen: $\log_b \sqrt[n]{M} = \frac{1}{n} \log_b M$
3Ein Kehrwert ist die Potenz $-1$ : $\log_b \frac{1}{M} = -\log_b M$
4Zerlegen: zuerst Produkte und Quotienten aufteilen, dann jeden Exponenten nach vorne ziehen
5Zusammenfassen: zuerst jeden Vorfaktor zum Exponenten machen, dann Summen zu Produkten und Differenzen zu Quotienten verbinden
6 $(\log M)^p$ ist nicht $p \log M$ : Der Exponent muss im Logarithmus stehen

Häufig gestellte Fragen

Ein Logarithmus ist ein Exponent. Wenn

\log_b M = x

ist, dann gilt

M = b^x

und

M^p = b^{px}

. Potenzieren mit

p

multipliziert den Exponenten mit

p

, also wird auch der Logarithmus (der Exponent) mit

p

multipliziert.

Glossar

Potenzregel: Das Logarithmengesetz $\log_b(M^p) = p \log_b M$
Exponent: Die Hochzahl, die angibt, wie oft die Basis als Faktor vorkommt, wie in $M^p$
Bruchpotenz: Eine Potenz mit einem Bruch als Exponent; $M^{1/n}$ ist die $n$ -te Wurzel aus $M$
Zerlegen: Einen Logarithmus als Summe und Differenz einfacherer Logarithmen schreiben
Zusammenfassen: Mehrere Logarithmen als einen einzigen Logarithmus schreiben
Vorfaktor: Eine Zahl, die einen Logarithmus multipliziert, wie die $3$ in $3 \log x$ ; die Potenzregel macht daraus einen Exponenten

Formelkarte

Potenzregel

\log_b(M^p) = p \log_b M

Der Exponent des Arguments wandert nach vorne

Wurzelregel

\log_b \sqrt[n]{M} = \frac{1}{n} \log_b M

Weil $\sqrt[n]{M} = M^{1/n}$ ist

Kehrwert

\log_b \frac{1}{M} = -\log_b M

Weil $\frac{1}{M} = M^{-1}$ ist

Produktregel

\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N

Zur Erinnerung: Produkte werden zu Summen

Quotientenregel

\log_b \frac{M}{N} = \log_b M - \log_b N

Zur Erinnerung: Quotienten werden zu Differenzen

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Glossar

Formelkarte

Potenzregel

Wurzelregel

Kehrwert

Produktregel

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