Quotientenregel für Logarithmen

Die **Quotientenregel für Logarithmen** besagt: Der Logarithmus eines Quotienten ist der Logarithmus des Zählers **minus** der Logarithmus des Nenners. $$\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b M - \log_b N$$ Die Regel gilt für $M > 0$, $N > 0$ und eine Basis $b > 0$ mit $b \neq 1$. **Warum sie gilt:** Ein Logarithmus ist ein Exponent. Setze $\log_b M = x$ und $\log_b N = y$, also $M = b^x$ und $N = b^y$. Beim Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis werden die Exponenten subtrahiert: $$\dfrac{M}{N} = \dfrac{b^x}{b^y} = b^{x-y} \quad\Rightarrow\quad \log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = x - y = \log_b M - \log_b N$$ Sie ist die Zwillingsregel der Produktregel ($\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N$): Multiplizieren im Logarithmus wird zu Addieren außerhalb, Dividieren im Logarithmus wird zu Subtrahieren außerhalb. **Beispiel:** $\log_2\left(\dfrac{32}{4}\right) = \log_2 32 - \log_2 4 = 5 - 2 = 3$, und tatsächlich ist $\log_2 8 = 3$. Du kannst die Regel in zwei Richtungen verwenden: - **Zerlegen:** einen Logarithmus eines Quotienten in eine Differenz aufteilen, $\log_3\left(\dfrac{x}{7}\right) = \log_3 x - \log_3 7$ - **Zusammenfassen:** eine Differenz zu einem Logarithmus vereinen, $\log 500 - \log 5 = \log 100 = 2$

Die Regel mit Zahlen prüfen

Zeige, dass $\log_2\left(\dfrac{32}{4}\right) = \log_2 32 - \log_2 4$ gilt.

Linke Seite direkt berechnen: $\dfrac{32}{4} = 8$ und $2^3 = 8$ = $\log_2 8 = 3$

Jeden Logarithmus auf der rechten Seite berechnen: $2^5 = 32$ und $2^2 = 4$ = $\log_2 32 = 5$, $\log_2 4 = 2$

Subtrahieren: $5 - 2 = 3$ = $3$

Beide Seiten vergleichen: Linke Seite $3$, rechte Seite $3$ = Beide Seiten sind gleich

Answer: Beide Seiten ergeben $3$, also gilt $\log_2\left(\dfrac{32}{4}\right) = \log_2 32 - \log_2 4$.

Eine Differenz zusammenfassen

Schreibe $\log_3 54 - \log_3 2$ als einen einzigen Logarithmus und berechne ihn.

Prüfen, ob die Basen gleich sind: Beide Logarithmen haben die Basis $3$ = Die Quotientenregel ist anwendbar

Zu einem Logarithmus zusammenfassen (Zähler: der erste Term): $\log_3 54 - \log_3 2 = \log_3\left(\dfrac{54}{2}\right)$ = $\log_3 27$

Berechnen: $3^3 = 27$ = $\log_3 27 = 3$

Answer: $\log_3 54 - \log_3 2 = \log_3 27 = 3$

Einen Quotienten mit Variable zerlegen

Zerlege $\log_5\left(\dfrac{x}{25}\right)$ für $x > 0$ und vereinfache so weit wie möglich.

Quotientenregel anwenden: Zähler minus Nenner: $\log_5\left(\dfrac{x}{25}\right) = \log_5 x - \log_5 25$ = $\log_5 x - \log_5 25$

Den Zahlenteil berechnen: $5^2 = 25$ = $\log_5 25 = 2$

Die vereinfachte Form aufschreiben: $\log_5 x$ lässt sich nicht weiter vereinfachen = $\log_5 x - 2$

Answer: $\log_5\left(\dfrac{x}{25}\right) = \log_5 x - 2$

Quotientenregel und Produktregel zusammen

Zerlege $\log\left(\dfrac{ab}{c}\right)$ für $a, b, c > 0$.

Zuerst den Quotienten aufteilen: $\log\left(\dfrac{ab}{c}\right) = \log(ab) - \log c$ = $\log(ab) - \log c$

Das Produkt mit der Produktregel aufteilen: $\log(ab) = \log a + \log b$ = $\log a + \log b - \log c$

Mit Zahlen prüfen ($a = 20$, $b = 5$, $c = 10$): $\log\left(\dfrac{100}{10}\right) = \log 10 = 1$ und $\log 20 + \log 5 - \log 10 = \log 100 - 1 = 1$ = Beide ergeben $1$

Answer: $\log\left(\dfrac{ab}{c}\right) = \log a + \log b - \log c$

Drei Logarithmen zusammenfassen

Berechne $\log 40 + \log 50 - \log 2$ ohne Taschenrechner ($\log$ ist der dekadische Logarithmus, Basis 10; manchmal auch $\lg$ geschrieben).

Die Summe mit der Produktregel zusammenfassen: $\log 40 + \log 50 = \log(40 \cdot 50)$ = $\log 2000$

Die Differenz mit der Quotientenregel zusammenfassen: $\log 2000 - \log 2 = \log\left(\dfrac{2000}{2}\right)$ = $\log 1000$

$1000$ als Zehnerpotenz schreiben: $1000 = 10^3$ = $\log 1000 = 3$

Answer: $\log 40 + \log 50 - \log 2 = \log 1000 = 3$

Die Quotientenregel macht aus einer Division eine Subtraktion, und genau das brauchen viele Formeln: - **Zwei Messwerte vergleichen**: Dezibel, pH-Wert und Richterskala vergleichen eine Größe mit einem Bezugswert über $\log\left(\dfrac{I}{I_0}\right)$. Die Quotientenregel zeigt, dass der Unterschied zweier Werte nur vom Verhältnis der beiden Größen abhängt. - **Schall**: Zwei Geräusche, deren Intensitäten im Verhältnis $1000$ stehen, unterscheiden sich um $10 \log 1000 = 30$ Dezibel, egal wie laut sie sind. - **Chemie**: Zwei Lösungen, deren Wasserstoffionen-Konzentrationen sich um den Faktor $100$ unterscheiden, liegen auf der pH-Skala genau $2$ auseinander. - **Terme vereinfachen**: $\log\left(\dfrac{ab}{c}\right)$ in $\log a + \log b - \log c$ zu zerlegen, macht spätere Algebra (und Analysis) viel einfacher. - **Gleichungen lösen**: $\log_3 x - \log_3 4$ zu $\log_3\left(\dfrac{x}{4}\right)$ zusammenzufassen, ist oft der erste Schritt beim Lösen einer Logarithmusgleichung. Zusammen mit der Produktregel und der Potenzregel kannst du mit der Quotientenregel fast jeden Logarithmusterm in die Form bringen, die du brauchst.

Mistake: $\dfrac{\log M}{\log N} = \log\left(\dfrac{M}{N}\right)$ schreiben

Why: Ein Quotient zweier Logarithmen ist nicht der Logarithmus eines Quotienten. Probiere es aus: $\dfrac{\log 100}{\log 10} = \dfrac{2}{1} = 2$, aber $\log\left(\dfrac{100}{10}\right) = \log 10 = 1$.

Correct: Die Regel macht aus einer Division IM Logarithmus eine Subtraktion: $\log\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log M - \log N$. Für den Bruch $\dfrac{\log M}{\log N}$ gibt es keine solche Abkürzung.

Mistake: $\log(M - N) = \log M - \log N$ schreiben

Why: Die Regel handelt von einem Quotienten im Logarithmus, nicht von einer Differenz. Probiere es aus: $\log(100 - 10) = \log 90 \approx 1{,}954$, aber $\log 100 - \log 10 = 1$.

Correct: Es gibt keine Regel, die $\log(M - N)$ aufteilt. Nur $\log\left(\dfrac{M}{N}\right)$ wird zu $\log M - \log N$.

Mistake: In falscher Reihenfolge subtrahieren: $\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b N - \log_b M$

Why: Die Subtraktion ist nicht kommutativ, die Reihenfolge zählt. $\log_2\left(\dfrac{8}{2}\right) = \log_2 4 = 2$, aber $\log_2 2 - \log_2 8 = 1 - 3 = -2$.

Correct: Zuerst der Zähler, minus der Nenner: $\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b M - \log_b N$.

Mistake: $\log\left(\dfrac{M}{NP}\right) = \log M - \log N + \log P$ schreiben

Why: Sowohl $N$ als auch $P$ stehen im Nenner, also werden beide Logarithmen subtrahiert. Das $+$ behandelt $P$, als stünde es im Zähler.

Correct: $\log\left(\dfrac{M}{NP}\right) = \log M - \log(NP) = \log M - \log N - \log P$. Setze Klammern: $\log M - (\log N + \log P)$.

Schallpegel in Dezibel vergleichen

Der Schallpegel ist $L = 10 \log\left(\dfrac{I}{I_0}\right)$ Dezibel, wobei $I$ die Intensität und $I_0$ ein fester Bezugswert ist. Nach der Quotientenregel ist die Differenz zweier Pegel $10(\log I_A - \log I_B) = 10 \log\left(\dfrac{I_A}{I_B}\right)$: Der Bezugswert $I_0$ fällt weg.

Ein Geräusch mit 100-facher Intensität eines anderen ist $10 \log 100 = 20$ Dezibel lauter.

Säuregrad mit dem pH-Wert vergleichen

In der Chemie gilt $\text{pH} = -\log[H^+]$, wobei $[H^+]$ die Wasserstoffionen-Konzentration ist. Nach der Quotientenregel ist der pH-Unterschied zweier Lösungen der Logarithmus des Verhältnisses ihrer Konzentrationen.

Kaffee hat $[H^+] = 10^{-5}$, reines Wasser $10^{-7}$. Der pH-Unterschied ist $\log\left(\dfrac{10^{-5}}{10^{-7}}\right) = \log 100 = 2$ (pH 5 gegenüber pH 7).

Erdbeben auf der Richterskala vergleichen

Die Richter-Magnitude ist $M = \log\left(\dfrac{A}{A_0}\right)$, wobei $A$ die Amplitude der Bodenbewegung und $A_0$ eine Bezugsamplitude ist. Für zwei Erdbeben, die in gleicher Entfernung gemessen werden, liefert die Quotientenregel $M_1 - M_2 = \log\left(\dfrac{A_1}{A_2}\right)$.

Hat ein Erdbeben die 10-fache Amplitude eines anderen, ist seine Magnitude um $\log 10 = 1$ höher.

Quotientenregel: $\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b M - \log_b N$ für $M, N > 0$

Sie folgt aus dem Potenzgesetz $\dfrac{b^x}{b^y} = b^{x-y}$: Beim Dividieren von Potenzen werden Exponenten subtrahiert

Zerlegen teilt den Logarithmus eines Quotienten in eine Differenz auf; Zusammenfassen vereint eine Differenz zu einem Logarithmus

Zuerst der Zähler: Abgezogen wird immer der Logarithmus des Nenners

Mit der Produktregel: $\log\left(\dfrac{ab}{c}\right) = \log a + \log b - \log c$ und $\log\left(\dfrac{a}{bc}\right) = \log a - \log b - \log c$

$\dfrac{\log M}{\log N}$ und $\log(M - N)$ sind NICHT gleich $\log\left(\dfrac{M}{N}\right)$

Q: Müssen beide Logarithmen dieselbe Basis haben?

A: Ja. $\log_b M - \log_b N = \log_b\left(\dfrac{M}{N}\right)$ gilt nur, wenn beide Terme dieselbe Basis $b$ haben. Eine Differenz wie $\log_2 8 - \log_3 9$ lässt sich mit dieser Regel nicht zu einem Logarithmus zusammenfassen.

Q: Was passiert, wenn der Quotient kleiner als 1 ist?

A: Dann ist der Logarithmus negativ (bei einer Basis größer als 1), und die Regel zeigt, warum: $\log_2\left(\dfrac{1}{8}\right) = \log_2 1 - \log_2 8 = 0 - 3 = -3$. Allgemein gilt $\log_b\left(\dfrac{1}{N}\right) = -\log_b N$.

Q: Kann ich $\log\left(\dfrac{x}{x - 2}\right)$ zerlegen?

A: Ja, für $x > 2$: $\log x - \log(x - 2)$. Aber $\log(x - 2)$ bleibt so stehen, denn für den Logarithmus einer Differenz gibt es keine Regel.

Q: Warum heißt sie Zwillingsregel der Produktregel?

A: Durch $N$ dividieren heißt mit $\dfrac{1}{N}$ multiplizieren, also $\log\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log M + \log\left(\dfrac{1}{N}\right) = \log M - \log N$. Jeder Schritt mit der Quotientenregel ist ein versteckter Schritt mit der Produktregel.

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Quotientenregel für Logarithmen

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Analysis-Vorbereitung / Logarithmen

Quotientenregel für Logarithmen

Lerne, warum der Logarithmus eines Quotienten eine Differenz von Logarithmen ist, und nutze die Regel zum Zerlegen und Zusammenfassen.

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