Was passiert, wenn der Quotient kleiner als 1 ist?

Dann ist der Logarithmus negativ (bei einer Basis größer als 1), und die Regel zeigt, warum: $\log_2\left(\dfrac{1}{8}\right) = \log_2 1 - \log_2 8 = 0 - 3 = -3$. Allgemein gilt $\log_b\left(\dfrac{1}{N}\right) = -\log_b N$.

Kann ich $\log\left(\dfrac{x}{x - 2}\right)$ zerlegen?

Ja, für $x > 2$: $\log x - \log(x - 2)$. Aber $\log(x - 2)$ bleibt so stehen, denn für den Logarithmus einer Differenz gibt es keine Regel.

Warum heißt sie Zwillingsregel der Produktregel?

Durch $N$ dividieren heißt mit $\dfrac{1}{N}$ multiplizieren, also $\log\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log M + \log\left(\dfrac{1}{N}\right) = \log M - \log N$. Jeder Schritt mit der Quotientenregel ist ein versteckter Schritt mit der Produktregel.

Lehrermaterialien

Quotientenregel für Logarithmen

Q: Müssen beide Logarithmen dieselbe Basis haben?

Ja. $\log_b M - \log_b N = \log_b\left(\dfrac{M}{N}\right)$ gilt nur, wenn beide Terme dieselbe Basis $b$ haben. Eine Differenz wie $\log_2 8 - \log_3 9$ lässt sich mit dieser Regel nicht zu einem Logarithmus zusammenfassen.

Lerne, warum der Logarithmus eines Quotienten eine Differenz von Logarithmen ist, und nutze die Regel zum Zerlegen und Zusammenfassen.

Fortgeschritten25 MinLektion

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Definition

Die Quotientenregel für Logarithmen besagt: Der Logarithmus eines Quotienten ist der Logarithmus des Zählers minus der Logarithmus des Nenners.

\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b M - \log_b N

Die Regel gilt für

M > 0

N > 0

und eine Basis

b > 0

mit

b \neq 1

Warum sie gilt: Ein Logarithmus ist ein Exponent. Setze

\log_b M = x

und

\log_b N = y

, also

M = b^x

und

N = b^y

. Beim Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis werden die Exponenten subtrahiert:

\dfrac{M}{N} = \dfrac{b^x}{b^y} = b^{x-y} \quad\Rightarrow\quad \log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = x - y = \log_b M - \log_b N

Sie ist die Zwillingsregel der Produktregel (

\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N

): Multiplizieren im Logarithmus wird zu Addieren außerhalb, Dividieren im Logarithmus wird zu Subtrahieren außerhalb.

Beispiel:

\log_2\left(\dfrac{32}{4}\right) = \log_2 32 - \log_2 4 = 5 - 2 = 3

, und tatsächlich ist

\log_2 8 = 3

Du kannst die Regel in zwei Richtungen verwenden:

Zerlegen: einen Logarithmus eines Quotienten in eine Differenz aufteilen, $\log_3\left(\dfrac{x}{7}\right) = \log_3 x - \log_3 7$
Zusammenfassen: eine Differenz zu einem Logarithmus vereinen, $\log 500 - \log 5 = \log 100 = 2$

Probier es gleich aus

Welcher Term ist gleich

\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right)

(für

M, N > 0

Lösungsbeispiele

Zeige, dass $\log_2\left(\dfrac{32}{4}\right) = \log_2 32 - \log_2 4$ gilt.

Linke Seite direkt berechnen

$\dfrac{32}{4} = 8$ und $2^3 = 8$ → $\log_2 8 = 3$

Jeden Logarithmus auf der rechten Seite berechnen

$2^5 = 32$ und $2^2 = 4$ → $\log_2 32 = 5$ , $\log_2 4 = 2$

Subtrahieren

$5 - 2 = 3$

Beide Seiten vergleichen

Linke Seite $3$ , rechte Seite $3$ → Beide Seiten sind gleich

Antwort: Beide Seiten ergeben $3$ , also gilt $\log_2\left(\dfrac{32}{4}\right) = \log_2 32 - \log_2 4$ .

Häufige Fehler

$\dfrac{\log M}{\log N} = \log\left(\dfrac{M}{N}\right)$ schreiben

Warum es falsch ist: Ein Quotient zweier Logarithmen ist nicht der Logarithmus eines Quotienten. Probiere es aus: $\dfrac{\log 100}{\log 10} = \dfrac{2}{1} = 2$ , aber $\log\left(\dfrac{100}{10}\right) = \log 10 = 1$ .

Richtig: Die Regel macht aus einer Division IM Logarithmus eine Subtraktion: $\log\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log M - \log N$ . Für den Bruch $\dfrac{\log M}{\log N}$ gibt es keine solche Abkürzung.

$\log(M - N) = \log M - \log N$ schreiben

Warum es falsch ist: Die Regel handelt von einem Quotienten im Logarithmus, nicht von einer Differenz. Probiere es aus: $\log(100 - 10) = \log 90 \approx 1{,}954$ , aber $\log 100 - \log 10 = 1$ .

Richtig: Es gibt keine Regel, die $\log(M - N)$ aufteilt. Nur $\log\left(\dfrac{M}{N}\right)$ wird zu $\log M - \log N$ .

In falscher Reihenfolge subtrahieren: $\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b N - \log_b M$

Warum es falsch ist: Die Subtraktion ist nicht kommutativ, die Reihenfolge zählt. $\log_2\left(\dfrac{8}{2}\right) = \log_2 4 = 2$ , aber $\log_2 2 - \log_2 8 = 1 - 3 = -2$ .

Richtig: Zuerst der Zähler, minus der Nenner: $\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b M - \log_b N$ .

$\log\left(\dfrac{M}{NP}\right) = \log M - \log N + \log P$ schreiben

Warum es falsch ist: Sowohl $N$ als auch $P$ stehen im Nenner, also werden beide Logarithmen subtrahiert. Das $+$ behandelt $P$ , als stünde es im Zähler.

Richtig: $\log\left(\dfrac{M}{NP}\right) = \log M - \log(NP) = \log M - \log N - \log P$ . Setze Klammern: $\log M - (\log N + \log P)$ .

Interaktive Visualisierung

Funktionsgraph

a = 2

Tippe auf den Graphen oder fahre mit der Maus darüber, um Werte abzulesen.

Tippe auf einen Namen, um den Graphen ein- oder auszublenden.

Asymptote

Wertetabelle

x	1	2	4	5	10	20
log(x/a)	-0,30103	0	0,30103	0,39794	0,69897	1
log(x) - log(a)	-0,30103	0	0,30103	0,39794	0,69897	1
log(x) / log(a) (FALSCH: nicht gleich log(x/a))	0	1	2	2,32193	3,32193	4,32193

Interaktiver Sandkasten

Interaktiver Grapher

Tippe auf den Graphen oder fahre mit der Maus darüber, um Werte abzulesen.

Probiere diese Beispiele:

y = log(x/2)

Ausdrucksrechner

Probiere diese:

Verlauf

Noch keine Berechnungen

Übungsaufgaben

18 Aufgaben

Aufgabe 1 von 18

Einfach

Welcher Term ist gleich $\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right)$ (für $M, N > 0$ )?

Warum es wichtig ist

Die Quotientenregel macht aus einer Division eine Subtraktion, und genau das brauchen viele Formeln:

Zwei Messwerte vergleichen: Dezibel, pH-Wert und Richterskala vergleichen eine Größe mit einem Bezugswert über $\log\left(\dfrac{I}{I_0}\right)$ . Die Quotientenregel zeigt, dass der Unterschied zweier Werte nur vom Verhältnis der beiden Größen abhängt.
Schall: Zwei Geräusche, deren Intensitäten im Verhältnis $1000$ stehen, unterscheiden sich um $10 \log 1000 = 30$ Dezibel, egal wie laut sie sind.
Chemie: Zwei Lösungen, deren Wasserstoffionen-Konzentrationen sich um den Faktor $100$ unterscheiden, liegen auf der pH-Skala genau $2$ auseinander.
Terme vereinfachen: $\log\left(\dfrac{ab}{c}\right)$ in $\log a + \log b - \log c$ zu zerlegen, macht spätere Algebra (und Analysis) viel einfacher.
Gleichungen lösen: $\log_3 x - \log_3 4$ zu $\log_3\left(\dfrac{x}{4}\right)$ zusammenzufassen, ist oft der erste Schritt beim Lösen einer Logarithmusgleichung.

Zusammen mit der Produktregel und der Potenzregel kannst du mit der Quotientenregel fast jeden Logarithmusterm in die Form bringen, die du brauchst.

Anwendungen im echten Leben

Schallpegel in Dezibel vergleichen

Der Schallpegel ist $L = 10 \log\left(\dfrac{I}{I_0}\right)$ Dezibel, wobei $I$ die Intensität und $I_0$ ein fester Bezugswert ist. Nach der Quotientenregel ist die Differenz zweier Pegel $10(\log I_A - \log I_B) = 10 \log\left(\dfrac{I_A}{I_B}\right)$: Der Bezugswert $I_0$ fällt weg.

Beispiel:

Ein Geräusch mit 100-facher Intensität eines anderen ist $10 \log 100 = 20$ Dezibel lauter.

1Probiere es selbst

Ein Lautsprecher erzeugt eine Intensität von $I_A = 0{,}01$ W/m², eine ruhige Straße $I_B = 0{,}00001$ W/m².

Um wie viele Dezibel ist der Lautsprecher lauter als die Straße?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne $10 \log\left(\dfrac{I_A}{I_B}\right)$ :

Säuregrad mit dem pH-Wert vergleichen

In der Chemie gilt $\text{pH} = -\log[H^+]$, wobei $[H^+]$ die Wasserstoffionen-Konzentration ist. Nach der Quotientenregel ist der pH-Unterschied zweier Lösungen der Logarithmus des Verhältnisses ihrer Konzentrationen.

Beispiel:

Kaffee hat $[H^+] = 10^{-5}$ , reines Wasser $10^{-7}$ . Der pH-Unterschied ist $\log\left(\dfrac{10^{-5}}{10^{-7}}\right) = \log 100 = 2$ (pH 5 gegenüber pH 7).

2Probiere es selbst

Tomatensaft hat $[H^+] = 10^{-4}$ , reines Wasser hat $[H^+] = 10^{-7}$ .

Um wie viel ist der pH-Wert von Tomatensaft niedriger als der von Wasser?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne $\log\left(\dfrac{10^{-4}}{10^{-7}}\right)$ :

Erdbeben auf der Richterskala vergleichen

Die Richter-Magnitude ist $M = \log\left(\dfrac{A}{A_0}\right)$, wobei $A$ die Amplitude der Bodenbewegung und $A_0$ eine Bezugsamplitude ist. Für zwei Erdbeben, die in gleicher Entfernung gemessen werden, liefert die Quotientenregel $M_1 - M_2 = \log\left(\dfrac{A_1}{A_2}\right)$.

Beispiel:

Hat ein Erdbeben die 10-fache Amplitude eines anderen, ist seine Magnitude um $\log 10 = 1$ höher.

3Probiere es selbst

Zwei Erdbeben werden in gleicher Entfernung aufgezeichnet. Das erste hat die Amplitude $A_1 = 50000$ Mikrometer, das zweite $A_2 = 500$ Mikrometer. Das zweite Erdbeben hat die Magnitude $4$ .

Welche Magnitude hat das erste Erdbeben?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne $4 + \log\left(\dfrac{A_1}{A_2}\right)$ :

Wichtige Erkenntnisse

1Quotientenregel: $\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b M - \log_b N$ für $M, N > 0$
2Sie folgt aus dem Potenzgesetz $\dfrac{b^x}{b^y} = b^{x-y}$ : Beim Dividieren von Potenzen werden Exponenten subtrahiert
3Zerlegen teilt den Logarithmus eines Quotienten in eine Differenz auf; Zusammenfassen vereint eine Differenz zu einem Logarithmus
4Zuerst der Zähler: Abgezogen wird immer der Logarithmus des Nenners
5Mit der Produktregel: $\log\left(\dfrac{ab}{c}\right) = \log a + \log b - \log c$ und $\log\left(\dfrac{a}{bc}\right) = \log a - \log b - \log c$
6 $\dfrac{\log M}{\log N}$ und $\log(M - N)$ sind NICHT gleich $\log\left(\dfrac{M}{N}\right)$

Häufig gestellte Fragen

Ja.

\log_b M - \log_b N = \log_b\left(\dfrac{M}{N}\right)

gilt nur, wenn beide Terme dieselbe Basis

b

haben. Eine Differenz wie

\log_2 8 - \log_3 9

lässt sich mit dieser Regel nicht zu einem Logarithmus zusammenfassen.

Glossar

Quotientenregel: Das Logarithmengesetz $\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b M - \log_b N$ für $M, N > 0$
Quotient: Das Ergebnis einer Division; in $\dfrac{M}{N}$ ist $M$ der Zähler und $N$ der Nenner
Zerlegen: Einen Logarithmus eines Produkts oder Quotienten als Summe oder Differenz einfacherer Logarithmen schreiben
Zusammenfassen: Eine Summe oder Differenz von Logarithmen mit gleicher Basis zu einem einzigen Logarithmus vereinen
Argument (Numerus): Die Zahl im Logarithmus, etwa $M$ in $\log_b M$ ; sie muss positiv sein

Formelkarte

Quotientenregel

\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right) = \log_b M - \log_b N

Für $M > 0$, $N > 0$, $b > 0$, $b \neq 1$

Kehrwert

\log_b\left(\dfrac{1}{N}\right) = -\log_b N

Sonderfall mit $M = 1$, weil $\log_b 1 = 0$

Mit der Produktregel

\log_b\left(\dfrac{MN}{P}\right) = \log_b M + \log_b N - \log_b P

Faktoren im Zähler werden addiert, Faktoren im Nenner subtrahiert

Keine Regel

\dfrac{\log_b M}{\log_b N} \neq \log_b\left(\dfrac{M}{N}\right)

Ein Quotient von Logarithmen ist nicht der Logarithmus eines Quotienten

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Formelkarte

Quotientenregel

Kehrwert

Mit der Produktregel

Keine Regel

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