In Exponentialform umschreiben

Löse $\log_2 x = 3$.

Die Teile benennen: Basis $2$, Argument $x$, Wert des Logarithmus $3$ = $\log_2 x = 3$

In Exponentialform umschreiben: $\log_b A = c \iff A = b^c$ = $x = 2^3$

Die Potenz berechnen: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2$ = $x = 8$

Probe: $\log_2 8 = 3$, weil $2^3 = 8$ ✓, und das Argument $8$ ist positiv = Die Lösung ist gültig

Answer: $x = 8$

Ein Term im Logarithmus

Löse $\log_3(2x + 1) = 2$.

In Exponentialform umschreiben: Die Basis $3$ wird mit dem Wert $2$ potenziert: $2x + 1 = 3^2$ = $2x + 1 = 9$

Die lineare Gleichung lösen: $2x = 9 - 1 = 8$ = $x = 4$

Definitionsmenge prüfen: Argument: $2 \cdot 4 + 1 = 9 > 0$ = Das Argument ist positiv

Probe in der Gleichung: $\log_3 9 = 2$, weil $3^2 = 9$ ✓ = Die Lösung ist gültig

Answer: $x = 4$

Logarithmen auf beiden Seiten

Löse $\log_5(3x - 2) = \log_5(x + 6)$.

Die Eindeutigkeit des Logarithmus nutzen: Beide Seiten sind einzelne Logarithmen zur Basis $5$, also sind die Argumente gleich = $3x - 2 = x + 6$

Die lineare Gleichung lösen: $3x - x = 6 + 2$, also $2x = 8$ = $x = 4$

Beide Argumente prüfen: $3 \cdot 4 - 2 = 10 > 0$ und $4 + 6 = 10 > 0$ = Beide Argumente sind positiv ✓

Answer: $x = 4$

Erst zusammenfassen: zwei Kandidaten, einer fällt weg

Löse $\log_2 x + \log_2(x - 2) = 3$.

Mit der Produktregel zusammenfassen: $\log_2 x + \log_2(x - 2) = \log_2\big(x(x - 2)\big)$ = $\log_2\big(x(x - 2)\big) = 3$

In Exponentialform umschreiben: $x(x - 2) = 2^3$ = $x^2 - 2x = 8$

Die quadratische Gleichung lösen: $x^2 - 2x - 8 = 0$, also $(x - 4)(x + 2) = 0$ = Kandidaten: $x = 4$ oder $x = -2$

Jeden Kandidaten in der ursprünglichen Gleichung prüfen: $x = 4$: Die Argumente $4$ und $2$ sind positiv ✓. $x = -2$: $\log_2(-2)$ ist nicht definiert ✗ = $x = -2$ ist eine Scheinlösung

Answer: $x = 4$ (der Kandidat $x = -2$ wird verworfen). Der zweite Graph zeigt den Grund: Die zusammengefasste Kurve $y = \log_2\big(x(x-2)\big)$ existiert auch für negative $x$ und schneidet $y = 3$ zweimal, die ursprüngliche Kurve aber nur bei $x = 4$. Für $x > 2$ liegen die beiden Kurven genau übereinander; blende sie in der Legende ein und aus, um sie zu vergleichen.

Verschiedene Basen: beide Seiten logarithmieren

Löse $3^x = 20$. Runde auf zwei Nachkommastellen.

Eine gemeinsame Basis suchen: $3^2 = 9$ und $3^3 = 27$, also ist $20$ keine Potenz von $3$ = Gleiche Basis klappt nicht, aber $2 < x < 3$

Beide Seiten mit dem dekadischen Logarithmus logarithmieren: $\log(3^x) = \log 20$, dann die Potenzregel = $x \log 3 = \log 20$

Durch $\log 3$ teilen: $\log 3$ ist eine Zahl, etwa $0{,}4771$ = $x = \frac{\log 20}{\log 3}$ (exakt)

Den Taschenrechner benutzen: $\frac{1{,}3010}{0{,}4771} \approx 2{,}727$ = $x \approx 2{,}73$

Probe: $3^{2{,}73} \approx 20{,}07 \approx 20$ ✓, und $2{,}73$ liegt zwischen $2$ und $3$ = Die Lösung ist gültig

Answer: $x = \frac{\log 20}{\log 3} \approx 2{,}73$

Mistake: Beide Kandidaten behalten: $\log_2 x + \log_2(x - 2) = 3 \implies x = 4$ oder $x = -2$

Why: Nach dem Zusammenfassen zu $\log_2\big(x(x - 2)\big)$ scheinen negative $x$ erlaubt, weil das Produkt zweier negativer Zahlen positiv ist. Die ursprüngliche Gleichung enthält aber $\log_2 x$, und das ist für $x = -2$ nicht definiert.

Correct: Prüfe jeden Kandidaten in der URSPRÜNGLICHEN Gleichung. Nur $x = 4$ passt, $x = -2$ ist eine Scheinlösung.

Mistake: Die Logarithmen einfach weglassen: $\log_2 x + \log_2(x - 2) = 3 \implies x + (x - 2) = 3$

Why: Logarithmen dürfen nur wegfallen, wenn jede Seite ein einzelner Logarithmus zur selben Basis ist (Eindeutigkeit). Hier steht links eine Summe von Logarithmen und rechts eine Zahl.

Correct: Erst zusammenfassen, $\log_2\big(x(x - 2)\big) = 3$, dann in Exponentialform: $x(x - 2) = 2^3 = 8$.

Mistake: Basis und Exponent vertauschen: $\log_3(2x + 1) = 2 \implies 2x + 1 = 2^3$

Why: In $\log_b A = c$ wird die Basis $b$ mit $c$ potenziert. Die Basis des Logarithmus bleibt die Basis der Potenz.

Correct: $2x + 1 = 3^2 = 9$, also $x = 4$. Probe: $\log_3 9 = 2$ ✓

Mistake: Dividieren statt logarithmieren: $3^x = 20 \implies x = \frac{20}{3} \approx 6{,}67$

Why: $3^x$ ist eine Potenz, nicht das Produkt $3 \cdot x$. Eine schnelle Probe zeigt den Fehler: $3^{6{,}67}$ ist etwa $1500$, viel mehr als $20$.

Correct: $x = \frac{\log 20}{\log 3} \approx 2{,}73$. Achtung: $\frac{\log 20}{\log 3}$ ist NICHT dasselbe wie $\log \frac{20}{3}$.

Das Ersparte verdoppeln

Geld, das jedes Jahr um einen festen Prozentsatz wächst, folgt $A = P \cdot (1 + r)^t$. Löst du mit Logarithmen nach dem Exponenten $t$ auf, weißt du, wann ein Sparziel erreicht ist.

Bei 6 % Zinsen pro Jahr verdoppelt sich Geld, wenn $1{,}06^t = 2$ ist, also nach $t = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}06} \approx 11{,}9$ Jahren.

Lautstärke in Dezibel

Der Schallpegel in Dezibel ist $L = 10 \log r$, wobei $r = \frac{I}{I_0}$ die Intensität eines Geräuschs mit dem leisesten hörbaren Geräusch vergleicht.

Ein normales Gespräch hat etwa 60 dB: $10 \log r = 60$ ergibt $\log r = 6$, also $r = 10^6$, eine Million Mal die Hörschwelle.

Wachsende Bakterien

Eine Kolonie, die sich jede Stunde verdoppelt, folgt $N = N_0 \cdot 2^t$. Ist die Zielgröße keine Zweierpotenz, liefern Logarithmen die genaue Zeit.

Eine Kolonie mit 200 Zellen erreicht 1000 Zellen, wenn $2^t = 5$ ist, also nach $t = \frac{\ln 5}{\ln 2} \approx 2{,}32$ Stunden.

Q: Warum entstehen überhaupt Scheinlösungen?

A: Das Zusammenfassen verändert die Definitionsmenge. $\log_2 x + \log_2(x - 2)$ braucht $x > 2$, aber $\log_2\big(x(x - 2)\big)$ braucht nur $x(x - 2) > 0$, und das gilt auch für $x < 0$. Die zusammengefasste Gleichung kann also Lösungen haben, die die ursprüngliche nicht hat. Deshalb machst du die Probe immer in der ursprünglichen Gleichung.

Q: Ist eine negative Lösung immer eine Scheinlösung?

A: Nein. Entscheidend ist das Vorzeichen jedes Arguments, nicht das von $x$. Bei $\log_2(x + 5) = 1$ erhältst du $x + 5 = 2$, also $x = -3$, und das Argument $-3 + 5 = 2$ ist positiv. Die Lösung $x = -3$ ist gültig.

Q: Soll ich log oder ln benutzen, um $3^x = 20$ zu lösen?

A: Beides geht. $\frac{\log 20}{\log 3}$ und $\frac{\ln 20}{\ln 3}$ ergeben dieselbe Zahl, etwa $2{,}73$. Das ist genau die Basiswechselformel: Beide sind gleich $\log_3 20$.

Q: Kann eine Logarithmusgleichung keine Lösung haben?

A: Ja. Bei $\log_2(x - 4) = \log_2(2x - 1)$ liefern die Argumente $x - 4 = 2x - 1$, also $x = -3$. Dann sind aber beide Argumente $-7$, und das ist nicht erlaubt. Der einzige Kandidat fällt weg, die Gleichung hat also keine Lösung.