Ist eine negative Lösung immer eine Scheinlösung?

Nein. Entscheidend ist das Vorzeichen jedes Arguments, nicht das von $x$. Bei $\log_2(x + 5) = 1$ erhältst du $x + 5 = 2$, also $x = -3$, und das Argument $-3 + 5 = 2$ ist positiv. Die Lösung $x = -3$ ist gültig.

Soll ich log oder ln benutzen, um $3^x = 20$ zu lösen?

Beides geht. $\frac{\log 20}{\log 3}$ und $\frac{\ln 20}{\ln 3}$ ergeben dieselbe Zahl, etwa $2{,}73$. Das ist genau die Basiswechselformel: Beide sind gleich $\log_3 20$.

Kann eine Logarithmusgleichung keine Lösung haben?

Ja. Bei $\log_2(x - 4) = \log_2(2x - 1)$ liefern die Argumente $x - 4 = 2x - 1$, also $x = -3$. Dann sind aber beide Argumente $-7$, und das ist nicht erlaubt. Der einzige Kandidat fällt weg, die Gleichung hat also keine Lösung.

Lehrermaterialien

Logarithmusgleichungen lösen

Q: Warum entstehen überhaupt Scheinlösungen?

Das Zusammenfassen verändert die Definitionsmenge. $\log_2 x + \log_2(x - 2)$ braucht $x > 2$, aber $\log_2\big(x(x - 2)\big)$ braucht nur $x(x - 2) > 0$, und das gilt auch für $x < 0$. Die zusammengefasste Gleichung kann also Lösungen haben, die die ursprüngliche nicht hat. Deshalb machst du die Probe immer in der ursprünglichen Gleichung.

Löse Gleichungen, bei denen die Unbekannte im Logarithmus steht, erkenne Scheinlösungen und löse Exponentialgleichungen wie 3^x = 20 mit Logarithmen.

Fortgeschritten30 MinLektion

Arbeitsblatt zum Drucken

Definition

Eine Logarithmusgleichung ist eine Gleichung, bei der die Unbekannte im Argument eines Logarithmus steht, zum Beispiel

\log_2 x = 3

oder

\log_3(2x + 1) = 2

Zwei Werkzeuge lösen fast jede Logarithmusgleichung:

1. In Exponentialform umschreiben. Ein Logarithmus ist ein Exponent, also gilt

\log_b A = c \iff A = b^c

Zum Beispiel bedeutet

\log_2 x = 3

, dass

x = 2^3 = 8

ist. Im Graphen trifft die Gerade

y = 3

die Kurve

y = \log_2 x

genau bei

x = 8

2. Die Eindeutigkeit des Logarithmus nutzen. Sind zwei Logarithmen mit derselben Basis gleich, dann sind auch ihre Argumente gleich:

\log_b M = \log_b N \implies M = N

Das Verfahren:

1.Zusammenfassen: Fasse jede Seite mit der Produkt-, Quotienten- und Potenzregel zu einem einzigen Logarithmus zusammen.
2.Umschreiben: in Exponentialform, oder die Argumente gleichsetzen.
3.Lösen: die entstehende Gleichung (meist linear oder quadratisch).
4.Definitionsmenge prüfen: Jedes Argument in der URSPRÜNGLICHEN Gleichung muss positiv sein. Ein Kandidat, der ein Argument null oder negativ macht, ist eine Scheinlösung und wird verworfen.

Exponentialgleichungen mit verschiedenen Basen. Wenn sich die beiden Seiten einer Exponentialgleichung nicht mit derselben Basis schreiben lassen, logarithmierst du beide Seiten und wendest die Potenzregel an:

3^x = 20 \implies x \log 3 = \log 20 \implies x = \frac{\log 20}{\log 3} \approx 2{,}73

Dabei ist

\log

der dekadische Logarithmus (Zehnerlogarithmus, manchmal auch

\lg

geschrieben). Der natürliche Logarithmus

\ln

liefert dasselbe Ergebnis.

Probier es gleich aus

Welche Gleichung ist die Exponentialform von

\log_4 x = 3

Lösungsbeispiele

Löse $\log_2 x = 3$ .

Die Teile benennen

Basis $2$ , Argument $x$ , Wert des Logarithmus $3$ → $\log_2 x = 3$

In Exponentialform umschreiben

$\log_b A = c \iff A = b^c$ → $x = 2^3$

Die Potenz berechnen

$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2$ → $x = 8$

Probe

$\log_2 8 = 3$ , weil $2^3 = 8$ ✓, und das Argument $8$ ist positiv → Die Lösung ist gültig

Antwort: $x = 8$

Häufige Fehler

Beide Kandidaten behalten: $\log_2 x + \log_2(x - 2) = 3 \implies x = 4$ oder $x = -2$

Warum es falsch ist: Nach dem Zusammenfassen zu $\log_2\big(x(x - 2)\big)$ scheinen negative $x$ erlaubt, weil das Produkt zweier negativer Zahlen positiv ist. Die ursprüngliche Gleichung enthält aber $\log_2 x$ , und das ist für $x = -2$ nicht definiert.

Richtig: Prüfe jeden Kandidaten in der URSPRÜNGLICHEN Gleichung. Nur $x = 4$ passt, $x = -2$ ist eine Scheinlösung.

Die Logarithmen einfach weglassen: $\log_2 x + \log_2(x - 2) = 3 \implies x + (x - 2) = 3$

Warum es falsch ist: Logarithmen dürfen nur wegfallen, wenn jede Seite ein einzelner Logarithmus zur selben Basis ist (Eindeutigkeit). Hier steht links eine Summe von Logarithmen und rechts eine Zahl.

Richtig: Erst zusammenfassen, $\log_2\big(x(x - 2)\big) = 3$ , dann in Exponentialform: $x(x - 2) = 2^3 = 8$ .

Basis und Exponent vertauschen: $\log_3(2x + 1) = 2 \implies 2x + 1 = 2^3$

Warum es falsch ist: In $\log_b A = c$ wird die Basis $b$ mit $c$ potenziert. Die Basis des Logarithmus bleibt die Basis der Potenz.

Richtig: $2x + 1 = 3^2 = 9$ , also $x = 4$ . Probe: $\log_3 9 = 2$ ✓

Dividieren statt logarithmieren: $3^x = 20 \implies x = \frac{20}{3} \approx 6{,}67$

Warum es falsch ist: $3^x$ ist eine Potenz, nicht das Produkt $3 \cdot x$ . Eine schnelle Probe zeigt den Fehler: $3^{6{,}67}$ ist etwa $1500$ , viel mehr als $20$ .

Richtig: $x = \frac{\log 20}{\log 3} \approx 2{,}73$ . Achtung: $\frac{\log 20}{\log 3}$ ist NICHT dasselbe wie $\log \frac{20}{3}$ .

Interaktive Visualisierung

Funktionsgraph

Tippe auf den Graphen oder fahre mit der Maus darüber, um Werte abzulesen.

y = log₂(x)y = 3Asymptote

Schnittpunkt: (8 | 3)

Wertetabelle

x	1	2	4	8	16
log₂(x)	0	1	2	3	4
3	3	3	3	3	3

Funktionsgraph

Tippe auf den Graphen oder fahre mit der Maus darüber, um Werte abzulesen.

Tippe auf einen Namen, um den Graphen ein- oder auszublenden.

Asymptote

Schnittpunkt: (-2 | 3)
Schnittpunkt: (4 | 3)
Die Graphen liegen aufeinander: unendlich viele gemeinsame Punkte.

Interaktiver Sandkasten

Interaktiver Grapher

Tippe auf den Graphen oder fahre mit der Maus darüber, um Werte abzulesen.

Probiere diese Beispiele:

y = 2x + 1

m=2, b=1

Ausdrucksrechner

Probiere diese:

Verlauf

Noch keine Berechnungen

Übungsaufgaben

18 Aufgaben

Aufgabe 1 von 18

Einfach

Welche Gleichung ist die Exponentialform von $\log_4 x = 3$ ?

Warum es wichtig ist

Logarithmusgleichungen beantworten Fragen nach dem Wie lange? und dem Wie stark?, immer wenn etwas um einen festen Faktor wächst oder schrumpft:

Finanzen: Nach wie vielen Jahren hat sich ein Guthaben bei 8 % Zinsen verdoppelt? Löse $1{,}08^t = 2$ .
Biologie: Wann erreicht eine Bakterienkultur eine Zielgröße, die keine Zweierpotenz ist?
Akustik: Wie viel stärker ist ein Rasenmäher mit 90 dB als das leiseste Geräusch, das du hören kannst?
Chemie und Geologie: pH-Wert und Richterskala sind Logarithmen. Wer die Konzentration oder Energie dahinter bestimmen will, muss eine Logarithmusgleichung lösen.

In der Lektion Exponentialgleichungen lösen konntest du nur sagen, dass die Lösung von

2^x = 20

zwischen

4

und

5

liegt. Mit Logarithmen bekommst du den genauen Wert

x = \frac{\log 20}{\log 2} \approx 4{,}32

. Und die Probe mit der Definitionsmenge brauchst du bei jeder Gleichung mit Wurzeln, Brüchen oder Logarithmen wieder.

Anwendungen im echten Leben

Das Ersparte verdoppeln

Geld, das jedes Jahr um einen festen Prozentsatz wächst, folgt $A = P \cdot (1 + r)^t$. Löst du mit Logarithmen nach dem Exponenten $t$ auf, weißt du, wann ein Sparziel erreicht ist.

Beispiel:

Bei 6 % Zinsen pro Jahr verdoppelt sich Geld, wenn $1{,}06^t = 2$ ist, also nach $t = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}06} \approx 11{,}9$ Jahren.

1Probiere es selbst

Du legst 1000 € auf ein Sparkonto mit 8 % Zinsen pro Jahr. Nach $t$ Jahren hast du $1000 \cdot 1{,}08^t$ Euro.

Nach wie vielen Jahren hat sich das Geld auf 2000 € verdoppelt?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Löse $1000 \cdot 1{,}08^t = 2000$ und schreibe den exakten Wert von $t$ als Quotienten zweier Logarithmen, in der Form ln(a)/ln(b) (noch nicht runden):

Lautstärke in Dezibel

Der Schallpegel in Dezibel ist $L = 10 \log r$, wobei $r = \frac{I}{I_0}$ die Intensität eines Geräuschs mit dem leisesten hörbaren Geräusch vergleicht.

Beispiel:

Ein normales Gespräch hat etwa 60 dB: $10 \log r = 60$ ergibt $\log r = 6$ , also $r = 10^6$ , eine Million Mal die Hörschwelle.

2Probiere es selbst

Ein Rasenmäher erreicht 90 dB. Sein Intensitätsverhältnis $r$ erfüllt $10 \log r = 90$ .

Wie groß ist das Intensitätsverhältnis $r$ ?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Schreibe $r$ als Zehnerpotenz:

Wachsende Bakterien

Eine Kolonie, die sich jede Stunde verdoppelt, folgt $N = N_0 \cdot 2^t$. Ist die Zielgröße keine Zweierpotenz, liefern Logarithmen die genaue Zeit.

Beispiel:

Eine Kolonie mit 200 Zellen erreicht 1000 Zellen, wenn $2^t = 5$ ist, also nach $t = \frac{\ln 5}{\ln 2} \approx 2{,}32$ Stunden.

3Probiere es selbst

Eine Kultur beginnt mit 500 Bakterien und verdoppelt sich jede Stunde.

Nach wie vielen Stunden sind es 6000 Bakterien?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Löse $500 \cdot 2^t = 6000$ und schreibe den exakten Wert von $t$ als Quotienten zweier Logarithmen, in der Form ln(a)/ln(b) (noch nicht runden):

Wichtige Erkenntnisse

1Bei einer Logarithmusgleichung steht die Unbekannte im Logarithmus, zum Beispiel $\log_2 x = 3$
2In Exponentialform umschreiben: $\log_b A = c \iff A = b^c$
3Eindeutigkeit des Logarithmus: Aus $\log_b M = \log_b N$ folgt $M = N$
4Fasse Summen und Differenzen von Logarithmen vor dem Lösen zu einem einzigen Logarithmus zusammen
5Prüfe jeden Kandidaten in der URSPRÜNGLICHEN Gleichung: Alle Argumente müssen positiv sein, sonst ist der Kandidat eine Scheinlösung
6Bei Exponentialgleichungen mit verschiedenen Basen logarithmierst du: $3^x = 20 \implies x = \frac{\log 20}{\log 3} \approx 2{,}73$

Häufig gestellte Fragen

Das Zusammenfassen verändert die Definitionsmenge.

\log_2 x + \log_2(x - 2)

braucht

x > 2

, aber

\log_2\big(x(x - 2)\big)

braucht nur

x(x - 2) > 0

, und das gilt auch für

x < 0

. Die zusammengefasste Gleichung kann also Lösungen haben, die die ursprüngliche nicht hat. Deshalb machst du die Probe immer in der ursprünglichen Gleichung.

Glossar

Logarithmusgleichung: Eine Gleichung, bei der die Unbekannte im Argument eines Logarithmus steht, zum Beispiel $\log_3(2x + 1) = 2$
Exponentialform: Die Potenzschreibweise eines Logarithmus: $\log_b A = c$ wird zu $A = b^c$
Eindeutigkeit des Logarithmus: Aus $\log_b M = \log_b N$ folgt $M = N$ (für $M, N > 0$ )
Kandidat: Ein Wert, den du beim Lösen findest und der noch in der ursprünglichen Gleichung geprüft werden muss
Scheinlösung: Ein Kandidat, der ein Argument der ursprünglichen Gleichung null oder negativ macht und deshalb verworfen wird
Definitionsmenge eines Logarithmus: Die Werte, für die $\log_b A$ definiert ist: Das Argument muss positiv sein, $A > 0$

Formelkarte

Exponentialform

\log_b A = c \iff A = b^c

Gilt für $b > 0$, $b \neq 1$. Verwende sie, wenn auf einer Seite ein einzelner Logarithmus und auf der anderen eine Zahl steht.

Eindeutigkeit des Logarithmus

\log_b M = \log_b N \implies M = N

Verwende sie, wenn auf beiden Seiten ein einzelner Logarithmus zur selben Basis steht.

Probe der Definitionsmenge

A > 0

Jedes Argument $A$ eines Logarithmus in der ursprünglichen Gleichung muss positiv sein. Sonst ist der Kandidat eine Scheinlösung.

Beide Seiten logarithmieren

b^x = c \implies x = \frac{\log c}{\log b} = \frac{\ln c}{\ln b}

Löst Exponentialgleichungen, deren Seiten sich nicht mit derselben Basis schreiben lassen, zum Beispiel $3^x = 20$.

Mehr zu diesem Thema

Definition

Lösungsbeispiele

Häufige Fehler

Interaktive Visualisierung

Funktionsgraph

Wertetabelle

Funktionsgraph

Interaktiver Sandkasten

Interaktiver Grapher

Ausdrucksrechner

Verlauf

Übungsaufgaben

Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Das Ersparte verdoppeln

Lautstärke in Dezibel

Wachsende Bakterien

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

Exponentialform

Eindeutigkeit des Logarithmus

Probe der Definitionsmenge

Beide Seiten logarithmieren

Mehr zu diesem Thema

Einführung in Logarithmen

Definition des Logarithmus

Dekadischer Logarithmus (Basis 10)

Natürlicher Logarithmus (ln)