Fibonacci-Folge

Die **Fibonacci-Folge** ist die Zahlenfolge $$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, \ldots$$ in der jedes Glied nach den ersten beiden die **Summe der beiden vorherigen Glieder** ist: $1 + 1 = 2$, $1 + 2 = 3$, $2 + 3 = 5$, $3 + 5 = 8$ und so weiter. ### Die rekursive Vorschrift Wir nennen die Glieder $F_1, F_2, F_3, \ldots$ und schreiben: $$F_1 = 1, \quad F_2 = 1, \quad F_n = F_{n-1} + F_{n-2} \text{ für } n \geq 3$$ Du siehst auch die Schreibweise $F(n) = F(n-1) + F(n-2)$. Das ist eine **rekursive Vorschrift**: Um ein Glied zu berechnen, brauchst du die Glieder direkt davor. Bei einer arithmetischen Folge addierst du immer dasselbe $d$, bei einer geometrischen Folge multiplizierst du immer mit demselben $q$, aber hier wird der Summand immer größer. ### Fibonaccis Kaninchen Im Jahr 1202 stellte Leonardo von Pisa, genannt **Fibonacci**, in seinem Buch *Liber Abaci* eine Kaninchenaufgabe. Heute erzählt man sie meist so: Ein neugeborenes Kaninchenpaar wird auf ein Feld gesetzt. Ein Paar ist nach einem Monat erwachsen, und ab dann bekommt jedes erwachsene Paar jeden Monat ein neues Paar. Kein Kaninchen stirbt. Zählt man die Paare Monat für Monat, erhält man $1, 1, 2, 3, 5, 8, \ldots$ (Bei Fibonacci selbst bekam das erste Paar schon im ersten Monat Junge, darum begann seine Zählung mit $1, 2, 3, 5, \ldots$, also mit denselben Zahlen. Gelehrte in Indien hatten sie schon Jahrhunderte früher gefunden, als sie Rhythmen aus langen und kurzen Silben in Gedichten zählten.) ### Versteckte Muster - **Jedes dritte Glied ist gerade**: $F_3 = 2$, $F_6 = 8$, $F_9 = 34$, $F_{12} = 144$, alle anderen Glieder sind ungerade. - **Summe der ersten $n$ Glieder**: $F_1 + F_2 + \cdots + F_n = F_{n+2} - 1$. Zum Beispiel $1 + 1 + 2 + 3 + 5 = 12 = 13 - 1$. - **Quotient benachbarter Glieder**: $\frac{F_{n+1}}{F_n}$ kommt dem **goldenen Schnitt** immer näher: $$\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618$$

Die Folge fortsetzen

Die Fibonacci-Folge beginnt mit $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, \ldots$ Berechne $F_{10}$, $F_{11}$ und $F_{12}$.

Finde die letzten beiden bekannten Glieder: $F_8 = 21$ und $F_9 = 34$ = $F_8 = 21$, $F_9 = 34$

Addiere sie, um $F_{10}$ zu erhalten: $F_{10} = F_9 + F_8 = 34 + 21$ = $F_{10} = 55$

Addiere die beiden neuesten Glieder für $F_{11}$: $F_{11} = F_{10} + F_9 = 55 + 34$ = $F_{11} = 89$

Wiederhole das für $F_{12}$: $F_{12} = F_{11} + F_{10} = 89 + 55$ = $F_{12} = 144$

Answer: $F_{10} = 55$, $F_{11} = 89$ und $F_{12} = 144$. Addiere immer die beiden zuletzt berechneten Glieder.

Fibonaccis Kaninchenaufgabe

Im Monat 1 lebt ein neugeborenes Kaninchenpaar auf einem Feld. Ein Paar ist nach einem Monat erwachsen, und jedes erwachsene Paar bekommt jeden Monat ein neues Paar. Kein Kaninchen stirbt. Wie viele Paare gibt es im Monat 8?

Zähle die ersten Monate: Monat 1: ein Babypaar. Monat 2: Das Paar ist erwachsen, hat aber noch keine Jungen. Monat 3: Es bekommt sein erstes Babypaar. = $1, 1, 2$

Finde die Regel: Paare in diesem Monat = Paare im letzten Monat (keines stirbt) + ein Babypaar für jedes Paar, das vor zwei Monaten schon lebte (diese sind jetzt erwachsen) = $R_n = R_{n-1} + R_{n-2}$

Rechne bis Monat 8 weiter: $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21$ = Monat 8: $21$ Paare

Teile in erwachsene Paare und Babypaare auf: Erwachsene Paare im Monat 8 = alle Paare aus Monat 7 = 13; Babys = Erwachsene aus Monat 7 = alle Paare aus Monat 6 = 8 = $13 + 8 = 21$

Answer: Im Monat 8 gibt es $21$ Paare: $13$ erwachsene Paare und $8$ Babypaare. Die Kaninchenzahlen sind genau die Fibonacci-Zahlen.

Die Quotienten gehen gegen den goldenen Schnitt

Teile jede Fibonacci-Zahl durch die vorherige, von $\frac{5}{3}$ bis $\frac{34}{21}$. Welcher Zahl kommen die Quotienten näher?

Berechne die ersten beiden Quotienten: $\frac{5}{3} \approx 1{,}667$ und $\frac{8}{5} = 1{,}600$ = $1{,}667$, $1{,}600$

Berechne die nächsten beiden: $\frac{13}{8} = 1{,}625$ und $\frac{21}{13} \approx 1{,}615$ = $1{,}625$, $1{,}615$

Noch ein Quotient: $\frac{34}{21} \approx 1{,}619$ = $1{,}619$

Vergleiche mit $\varphi$: $\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618$. Die Quotienten liegen abwechselnd über und unter $\varphi$, und der Abstand wird jedes Mal kleiner = Quotienten gehen gegen $1{,}618$

Answer: Die Quotienten springen über und unter $\varphi \approx 1{,}618$ und kommen jedes Mal näher. Bei $\frac{89}{55} \approx 1{,}6182$ stimmen sie schon auf drei Nachkommastellen mit $\varphi$ überein.

Die Abkürzung für die Summe

Berechne $1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21$, ohne alle Glieder einzeln zu addieren.

Zähle die Glieder: Das sind $F_1$ bis $F_8$ = $n = 8$

Verwende die Summenregel: $F_1 + \cdots + F_n = F_{n+2} - 1$, also ist die Summe $F_{10} - 1$ = Summe $= F_{10} - 1$

Bestimme $F_{10}$: $F_9 = 34$, also $F_{10} = 21 + 34 = 55$ = Summe $= 55 - 1 = 54$

Prüfe durch Addieren: $1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 = 54$ = Bestätigt: $54$

Answer: Die Summe ist $54$, also $F_{10} - 1$. Die Summe der ersten $n$ Fibonacci-Zahlen ist immer um eins kleiner als das Glied zwei Plätze weiter.

Neue Startwerte: die Lucas-Zahlen

Verwende dieselbe Regel (addiere die beiden vorherigen Glieder), aber starte mit $2$ und $1$. Bestimme die ersten 10 Glieder und den Quotienten aus dem 10. und dem 9. Glied.

Berechne die Glieder 3 bis 6: $2 + 1 = 3$, $1 + 3 = 4$, $3 + 4 = 7$, $4 + 7 = 11$ = $2, 1, 3, 4, 7, 11$

Berechne die Glieder 7 bis 10: $7 + 11 = 18$, $11 + 18 = 29$, $18 + 29 = 47$, $29 + 47 = 76$ = $18, 29, 47, 76$

Teile das 10. Glied durch das 9.: $\frac{76}{47} \approx 1{,}617$ = $\approx 1{,}617$

Vergleiche mit dem Fibonacci-Quotienten: Fibonacci: $\frac{55}{34} \approx 1{,}618$. Beide liegen nahe bei $\varphi \approx 1{,}618$ = Gleicher Grenzwert $\varphi$

Answer: Die Lucas-Zahlen sind $2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, \ldots$ und $\frac{76}{47} \approx 1{,}617$. Mit zwei beliebigen positiven Startzahlen geht der Quotient benachbarter Glieder trotzdem gegen $\varphi$.

Die Fibonacci-Folge ist eines der bekanntesten Muster der Mathematik und taucht an überraschenden Stellen auf: - **Pflanzen**: Viele Sonnenblumen zeigen 34 Spiralen in die eine und 55 in die andere Richtung, Kiefernzapfen oft 8 und 13, Ananas ebenfalls 8 und 13. Werden Samen immer im gleichen Drehwinkel (etwa $137{,}5°$, verbunden mit $\varphi$) angeordnet, liegen sie gleichmäßig und fast ohne Lücken, und daraus ergeben sich die Fibonacci-Spiralzahlen. - **Abzählen**: Die Anzahl der Möglichkeiten, eine Treppe mit Schritten von 1 oder 2 Stufen hinaufzugehen, ist eine Fibonacci-Zahl. - **Einheiten**: Weil $\varphi \approx 1{,}618$ nahe bei $1{,}609$ (Kilometer pro Meile) liegt, rechnen benachbarte Fibonacci-Zahlen Meilen in Kilometer um: 5 Meilen sind etwa 8 km, 8 Meilen etwa 13 km. - **Rekursives Denken**: Jeden Schritt aus den vorherigen aufzubauen, so arbeiten viele Computerprogramme und Wachstumsmodelle. Ehrlich gesagt: Nicht jede Spirale in der Natur ist eine Fibonacci-Spirale, die Zahlen bei Pflanzen liegen manchmal um eins daneben, und viele Behauptungen über den goldenen Schnitt in berühmten Gemälden und Bauwerken sind übertrieben. Gute Mathematiker prüfen die Zahlen, bevor sie der Geschichte glauben.

Mistake: Das letzte Glied verdoppeln: $1, 1, 2, 4, 8, 16, \ldots$

Why: Verdoppeln ergibt eine geometrische Folge. Die Fibonacci-Regel addiert die letzten ZWEI Glieder, und die sind (außer ganz am Anfang) nicht gleich.

Correct: Nach $2$ kommt $1 + 2 = 3$, dann $2 + 3 = 5$: $1, 1, 2, 3, 5, 8, \ldots$

Mistake: Sich bei den Positionen verzählen, zum Beispiel $F_{10} = 89$ sagen

Why: Die ersten beiden Glieder sind beide $1$, da überspringt man leicht eines. Manche Bücher setzen außerdem eine $0$ an den Anfang ($0, 1, 1, 2, \ldots$); zählt man diese $0$ als erstes Glied, verschiebt sich jede Position um eins.

Correct: Schreibe die Positionen über die Glieder: $F_1 = 1$, $F_2 = 1$, $F_3 = 2$, ..., $F_{10} = 55$, $F_{11} = 89$. Prüfe, mit welchem Start ein Buch arbeitet.

Mistake: Glauben, die Quotienten steigen gleichmäßig bis $1{,}618$ oder ein Quotient ist genau $\varphi$

Why: Die Quotienten springen über und unter $\varphi$: $1{,}6$, $1{,}625$, $1{,}615$, $1{,}619$, ... Jeder Quotient ist ein Bruch, und $\varphi$ ist irrational, also ist kein Quotient jemals gleich $\varphi$.

Correct: Sag: Die Quotienten nähern sich $\varphi$ von beiden Seiten und kommen beliebig nah heran, erreichen es aber nie.

Mistake: Glauben, jede Spirale und jedes schöne Rechteck sei Fibonacci oder golden

Why: Ein Nautilus-Gehäuse ist eine Spirale, aber sein Wachstumsfaktor ist nicht $\varphi$. Viele Behauptungen zum goldenen Schnitt im Parthenon oder in der Mona Lisa hängen davon ab, wo man die Linien einzeichnet.

Correct: Erst zählen oder messen. Die Spiralzahlen bei Sonnenblumen und Kiefernzapfen sind oft Fibonacci-Zahlen, aber nicht immer, und Behauptungen über Kunst brauchen echte Messungen.

Spiralen der Sonnenblume

Die Kerne einer Sonnenblume bilden zwei Scharen von Spiralen, eine im Uhrzeigersinn und eine gegen den Uhrzeigersinn. Ihre Anzahlen sind sehr oft zwei benachbarte Fibonacci-Zahlen.

Eine typische Sonnenblume zeigt 34 Spiralen in die eine und 55 in die andere Richtung. Kleinere Blüten zeigen manchmal 21 und 34, sehr große 89 und 144. Manche Blüten halten sich nicht an das Muster, also immer nachzählen.

Treppen steigen

Wenn du eine Treppe hinaufgehst und dabei immer 1 oder 2 Stufen auf einmal nimmst, folgt die Anzahl der verschiedenen Wege nach oben der Fibonacci-Regel.

1 Stufe: 1 Weg. 2 Stufen: 2 Wege (1 + 1 oder 2). 3 Stufen: 3 Wege. Auf Stufe $n$ kommst du entweder mit einem 1er-Schritt von Stufe $n - 1$ oder mit einem 2er-Schritt von Stufe $n - 2$, also gilt Wege($n$) = Wege($n - 1$) + Wege($n - 2$).

Meilen in Kilometer

Eine Meile sind etwa $1{,}609$ km, sehr nahe an $\varphi \approx 1{,}618$. Eine Fibonacci-Zahl in Meilen ist deshalb ungefähr die nächste Fibonacci-Zahl in Kilometern.

5 Meilen $\approx$ 8 km (genau $8{,}05$ km), 8 Meilen $\approx$ 13 km (genau $12{,}87$ km), 13 Meilen $\approx$ 21 km (genau $20{,}92$ km).

Die Fibonacci-Folge $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots$ folgt der rekursiven Vorschrift $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ mit $F_1 = F_2 = 1$

Fibonaccis Kaninchenaufgabe (1202) liefert Monat für Monat genau diese Zahlen

Jedes dritte Glied ist gerade ($F_3, F_6, F_9, \ldots$), alle anderen sind ungerade

Die Summe der ersten $n$ Glieder ist $F_{n+2} - 1$

Der Quotient $\frac{F_{n+1}}{F_n}$ geht gegen den goldenen Schnitt $\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618$ und liegt abwechselnd darüber und darunter

Andere Startwerte wie die Lucas-Zahlen $2, 1, 3, 4, 7, \ldots$ haben denselben Grenzwert $\varphi$; Fibonacci-Zahlen kommen bei Pflanzen oft vor, aber nicht in jeder Spirale

Q: Warum gehen die Quotienten gegen $1{,}618$ und nicht gegen eine andere Zahl?

A: Wenn sich der Quotient bei einer Zahl $r$ einpendelt, wird aus $\frac{F_{n+1}}{F_n} = 1 + \frac{F_{n-1}}{F_n}$ die Gleichung $r = 1 + \frac{1}{r}$, also $r^2 = r + 1$. Die positive Lösung ist $r = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618$, der goldene Schnitt. Probe: $1{,}618^2 \approx 2{,}618 = 1{,}618 + 1$.

Q: Gibt es eine Formel für $F_n$, ohne alle Glieder aufzuschreiben?

A: Ja, die Formel von Binet: $F_n = \frac{\varphi^n - (1 - \varphi)^n}{\sqrt{5}}$. Obwohl $\sqrt{5}$ darin vorkommt, liefert sie immer eine ganze Zahl. Ihren Beweis lernst du später in der Algebra; im Moment ist das Addieren der Glieder der sichere Weg.

Q: Beginnt die Folge mit 0 oder mit 1?

A: Beide Varianten sind üblich. Viele Bücher setzen $F_0 = 0$ davor: $0, 1, 1, 2, 3, 5, \ldots$ Mit $F_0 = 0$ und $F_1 = 1$ behält jedes Glied seine Nummer ($F_{10} = 55$ in beiden Fällen); die Positionen verschieben sich nur, wenn jemand die $0$ als erstes Glied zählt. In dieser Lektion gilt $F_1 = F_2 = 1$.

Q: Steckt der goldene Schnitt wirklich im Parthenon und in der Mona Lisa?

A: Wahrscheinlich viel weniger, als oft behauptet wird. Wenn man die Linien frei wählen darf, findet man fast immer zwei Längen mit einem Verhältnis nahe $1{,}6$, und es gibt kaum historische Belege, dass diese Künstler das geplant haben. Die Spiralen bei Pflanzen sind viel besser belegt, und selbst dort sind die Anzahlen nicht immer Fibonacci-Zahlen.

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Fibonacci-Folge

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Analysis-Vorbereitung / Folgen

Fibonacci-Folge

Lerne die Fibonacci-Folge kennen, in der jedes Glied die Summe der beiden vorherigen ist, ihre versteckten Muster und warum der Quotient benachbarter Glieder gegen den goldenen Schnitt geht.

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