Gibt es eine Formel für $F_n$, ohne alle Glieder aufzuschreiben?

Ja, die Formel von Binet: $F_n = \frac{\varphi^n - (1 - \varphi)^n}{\sqrt{5}}$. Obwohl $\sqrt{5}$ darin vorkommt, liefert sie immer eine ganze Zahl. Ihren Beweis lernst du später in der Algebra; im Moment ist das Addieren der Glieder der sichere Weg.

Beginnt die Folge mit 0 oder mit 1?

Beide Varianten sind üblich. Viele Bücher setzen $F_0 = 0$ davor: $0, 1, 1, 2, 3, 5, \ldots$ Mit $F_0 = 0$ und $F_1 = 1$ behält jedes Glied seine Nummer ($F_{10} = 55$ in beiden Fällen); die Positionen verschieben sich nur, wenn jemand die $0$ als erstes Glied zählt. In dieser Lektion gilt $F_1 = F_2 = 1$.

Steckt der goldene Schnitt wirklich im Parthenon und in der Mona Lisa?

Wahrscheinlich viel weniger, als oft behauptet wird. Wenn man die Linien frei wählen darf, findet man fast immer zwei Längen mit einem Verhältnis nahe $1{,}6$, und es gibt kaum historische Belege, dass diese Künstler das geplant haben. Die Spiralen bei Pflanzen sind viel besser belegt, und selbst dort sind die Anzahlen nicht immer Fibonacci-Zahlen.

Lehrermaterialien

Fibonacci-Folge

Q: Warum gehen die Quotienten gegen $1{,}618$ und nicht gegen eine andere Zahl?

Wenn sich der Quotient bei einer Zahl $r$ einpendelt, wird aus $\frac{F_{n+1}}{F_n} = 1 + \frac{F_{n-1}}{F_n}$ die Gleichung $r = 1 + \frac{1}{r}$, also $r^2 = r + 1$. Die positive Lösung ist $r = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618$, der goldene Schnitt. Probe: $1{,}618^2 \approx 2{,}618 = 1{,}618 + 1$.

Lerne die Fibonacci-Folge kennen, in der jedes Glied die Summe der beiden vorherigen ist, ihre versteckten Muster und warum der Quotient benachbarter Glieder gegen den goldenen Schnitt geht.

Mittelstufe25 MinLektion

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Definition

Die Fibonacci-Folge ist die Zahlenfolge

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, \ldots

in der jedes Glied nach den ersten beiden die Summe der beiden vorherigen Glieder ist:

1 + 1 = 2

1 + 2 = 3

2 + 3 = 5

3 + 5 = 8

und so weiter.

Die rekursive Vorschrift

Wir nennen die Glieder

F_1, F_2, F_3, \ldots

und schreiben:

F_1 = 1, \quad F_2 = 1, \quad F_n = F_{n-1} + F_{n-2} \text{ für } n \geq 3

Du siehst auch die Schreibweise

F(n) = F(n-1) + F(n-2)

. Das ist eine rekursive Vorschrift: Um ein Glied zu berechnen, brauchst du die Glieder direkt davor. Bei einer arithmetischen Folge addierst du immer dasselbe

d

, bei einer geometrischen Folge multiplizierst du immer mit demselben

q

, aber hier wird der Summand immer größer.

Fibonaccis Kaninchen

Im Jahr 1202 stellte Leonardo von Pisa, genannt Fibonacci, in seinem Buch *Liber Abaci* eine Kaninchenaufgabe. Heute erzählt man sie meist so: Ein neugeborenes Kaninchenpaar wird auf ein Feld gesetzt. Ein Paar ist nach einem Monat erwachsen, und ab dann bekommt jedes erwachsene Paar jeden Monat ein neues Paar. Kein Kaninchen stirbt. Zählt man die Paare Monat für Monat, erhält man

1, 1, 2, 3, 5, 8, \ldots

(Bei Fibonacci selbst bekam das erste Paar schon im ersten Monat Junge, darum begann seine Zählung mit

1, 2, 3, 5, \ldots

, also mit denselben Zahlen. Gelehrte in Indien hatten sie schon Jahrhunderte früher gefunden, als sie Rhythmen aus langen und kurzen Silben in Gedichten zählten.)

Versteckte Muster

Jedes dritte Glied ist gerade: $F_3 = 2$ , $F_6 = 8$ , $F_9 = 34$ , $F_{12} = 144$ , alle anderen Glieder sind ungerade.
**Summe der ersten $n$ Glieder**: $F_1 + F_2 + \cdots + F_n = F_{n+2} - 1$ . Zum Beispiel $1 + 1 + 2 + 3 + 5 = 12 = 13 - 1$ .
Quotient benachbarter Glieder: $\frac{F_{n+1}}{F_n}$ kommt dem goldenen Schnitt immer näher:

\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618

Probier es gleich aus

Welche Zahl kommt als Nächstes?

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots

Lösungsbeispiele

Die Fibonacci-Folge beginnt mit

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, \ldots

Berechne

F_{10}

F_{11}

und

F_{12}

Finde die letzten beiden bekannten Glieder

F_8 = 21

und

F_9 = 34

→

F_8 = 21

F_9 = 34

Addiere sie, um $F_{10}$ zu erhalten

F_{10} = F_9 + F_8 = 34 + 21

→

F_{10} = 55

Addiere die beiden neuesten Glieder für $F_{11}$

F_{11} = F_{10} + F_9 = 55 + 34

→

F_{11} = 89

Wiederhole das für $F_{12}$

F_{12} = F_{11} + F_{10} = 89 + 55

→

F_{12} = 144

Antwort: $F_{10} = 55$ , $F_{11} = 89$ und $F_{12} = 144$ . Addiere immer die beiden zuletzt berechneten Glieder.

Häufige Fehler

Das letzte Glied verdoppeln: $1, 1, 2, 4, 8, 16, \ldots$

Warum es falsch ist: Verdoppeln ergibt eine geometrische Folge. Die Fibonacci-Regel addiert die letzten ZWEI Glieder, und die sind (außer ganz am Anfang) nicht gleich.

Richtig: Nach $2$ kommt $1 + 2 = 3$ , dann $2 + 3 = 5$ : $1, 1, 2, 3, 5, 8, \ldots$

Sich bei den Positionen verzählen, zum Beispiel $F_{10} = 89$ sagen

Warum es falsch ist: Die ersten beiden Glieder sind beide $1$ , da überspringt man leicht eines. Manche Bücher setzen außerdem eine $0$ an den Anfang ( $0, 1, 1, 2, \ldots$ ); zählt man diese $0$ als erstes Glied, verschiebt sich jede Position um eins.

Richtig: Schreibe die Positionen über die Glieder: $F_1 = 1$ , $F_2 = 1$ , $F_3 = 2$ , ..., $F_{10} = 55$ , $F_{11} = 89$ . Prüfe, mit welchem Start ein Buch arbeitet.

Glauben, die Quotienten steigen gleichmäßig bis $1{,}618$ oder ein Quotient ist genau $\varphi$

Warum es falsch ist: Die Quotienten springen über und unter $\varphi$ : $1{,}6$ , $1{,}625$ , $1{,}615$ , $1{,}619$ , ... Jeder Quotient ist ein Bruch, und $\varphi$ ist irrational, also ist kein Quotient jemals gleich $\varphi$ .

Richtig: Sag: Die Quotienten nähern sich $\varphi$ von beiden Seiten und kommen beliebig nah heran, erreichen es aber nie.

Glauben, jede Spirale und jedes schöne Rechteck sei Fibonacci oder golden

Warum es falsch ist: Ein Nautilus-Gehäuse ist eine Spirale, aber sein Wachstumsfaktor ist nicht $\varphi$ . Viele Behauptungen zum goldenen Schnitt im Parthenon oder in der Mona Lisa hängen davon ab, wo man die Linien einzeichnet.

Richtig: Erst zählen oder messen. Die Spiralzahlen bei Sonnenblumen und Kiefernzapfen sind oft Fibonacci-Zahlen, aber nicht immer, und Behauptungen über Kunst brauchen echte Messungen.

Interaktive Visualisierung

Füge Quadrate mit Seite 1, 1, 2, 3, 5, 8 ... an und sieh, wie der Quotient gegen 1,618 geht

Rechteck: 5 × 8

Die Folge

11235

2 + 3 = 5

Jedes neue Glied ist die Summe der zwei Glieder davor.

Verhältnis von Nachbarn: neues Glied ÷ Glied davor

1 ÷ 1 = 1< φ
2 ÷ 1 = 2> φ
3 ÷ 2 = 1,5< φ
5 ÷ 3 = 1,66667> φ

Die Verhältnisse springen über und unter φ = 1,618034 und kommen jedes Mal näher (Abstand jetzt 0,048633).

Fibonaccis Kaninchen: Paare Monat für Monat

Ein junges Paar wird in einem Monat erwachsen. Jedes erwachsene Paar bekommt jeden Monat ein junges Paar. Kein Kaninchen geht weg.

Monat	Erwachsen	Jung	Gesamt
1	0	1	1
2	1	0	1
3	1	1	2
4	2	1	3

erwachsenes Paarjunges Paar

Kaninchenpaare, Monat für Monat

1123

1 + 2 = 3

Jedes neue Glied ist die Summe der zwei Glieder davor.

Verhältnis von Nachbarn: neues Glied ÷ Glied davor

1 ÷ 1 = 1< φ
2 ÷ 1 = 2> φ
3 ÷ 2 = 1,5< φ

Die Verhältnisse springen über und unter φ = 1,618034 und kommen jedes Mal näher (Abstand jetzt 0,118034).

Interaktiver Sandkasten

Ausdrucksrechner

Probiere diese:

Verlauf

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Übungsaufgaben

18 Aufgaben

Aufgabe 1 von 18

Einfach

Welche Zahl kommt als Nächstes?

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots

Warum es wichtig ist

Die Fibonacci-Folge ist eines der bekanntesten Muster der Mathematik und taucht an überraschenden Stellen auf:

Pflanzen: Viele Sonnenblumen zeigen 34 Spiralen in die eine und 55 in die andere Richtung, Kiefernzapfen oft 8 und 13, Ananas ebenfalls 8 und 13. Werden Samen immer im gleichen Drehwinkel (etwa $137{,}5°$ , verbunden mit $\varphi$ ) angeordnet, liegen sie gleichmäßig und fast ohne Lücken, und daraus ergeben sich die Fibonacci-Spiralzahlen.
Abzählen: Die Anzahl der Möglichkeiten, eine Treppe mit Schritten von 1 oder 2 Stufen hinaufzugehen, ist eine Fibonacci-Zahl.
Einheiten: Weil $\varphi \approx 1{,}618$ nahe bei $1{,}609$ (Kilometer pro Meile) liegt, rechnen benachbarte Fibonacci-Zahlen Meilen in Kilometer um: 5 Meilen sind etwa 8 km, 8 Meilen etwa 13 km.
Rekursives Denken: Jeden Schritt aus den vorherigen aufzubauen, so arbeiten viele Computerprogramme und Wachstumsmodelle.

Ehrlich gesagt: Nicht jede Spirale in der Natur ist eine Fibonacci-Spirale, die Zahlen bei Pflanzen liegen manchmal um eins daneben, und viele Behauptungen über den goldenen Schnitt in berühmten Gemälden und Bauwerken sind übertrieben. Gute Mathematiker prüfen die Zahlen, bevor sie der Geschichte glauben.

Anwendungen im echten Leben

Spiralen der Sonnenblume

Die Kerne einer Sonnenblume bilden zwei Scharen von Spiralen, eine im Uhrzeigersinn und eine gegen den Uhrzeigersinn. Ihre Anzahlen sind sehr oft zwei benachbarte Fibonacci-Zahlen.

Beispiel:

Eine typische Sonnenblume zeigt 34 Spiralen in die eine und 55 in die andere Richtung. Kleinere Blüten zeigen manchmal 21 und 34, sehr große 89 und 144. Manche Blüten halten sich nicht an das Muster, also immer nachzählen.

1Probiere es selbst

Eine Riesensonnenblume hat 55 Spiralen im Uhrzeigersinn. Ihre Spiralen gegen den Uhrzeigersinn folgen der nächsten Fibonacci-Zahl.

Wie viele Spiralen gegen den Uhrzeigersinn erwartest du?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Addiere 55 und die Fibonacci-Zahl direkt davor:

Treppen steigen

Wenn du eine Treppe hinaufgehst und dabei immer 1 oder 2 Stufen auf einmal nimmst, folgt die Anzahl der verschiedenen Wege nach oben der Fibonacci-Regel.

Beispiel:

1 Stufe: 1 Weg. 2 Stufen: 2 Wege (1 + 1 oder 2). 3 Stufen: 3 Wege. Auf Stufe $n$ kommst du entweder mit einem 1er-Schritt von Stufe $n - 1$ oder mit einem 2er-Schritt von Stufe $n - 2$ , also gilt Wege( $n$ ) = Wege( $n - 1$ ) + Wege( $n - 2$ ).

2Probiere es selbst

Eine Treppe hat 8 Stufen. Du nimmst 1 oder 2 Stufen auf einmal. 1 Stufe hat 1 Weg, 2 Stufen haben 2 Wege, und jede weitere Anzahl ist die Summe der beiden vorherigen.

Auf wie viele verschiedene Arten kannst du alle 8 Stufen hinaufgehen?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Addiere die Wege für 6 und 7 Stufen:

Meilen in Kilometer

Eine Meile sind etwa $1{,}609$ km, sehr nahe an $\varphi \approx 1{,}618$. Eine Fibonacci-Zahl in Meilen ist deshalb ungefähr die nächste Fibonacci-Zahl in Kilometern.

Beispiel:

5 Meilen $\approx$ 8 km (genau $8{,}05$ km), 8 Meilen $\approx$ 13 km (genau $12{,}87$ km), 13 Meilen $\approx$ 21 km (genau $20{,}92$ km).

3Probiere es selbst

Eine Radstrecke ist 21 Meilen lang. Du willst schnell abschätzen, wie viele Kilometer das sind.

Wie viele Kilometer sind 21 Meilen ungefähr?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Nimm die nächste Fibonacci-Zahl nach 21:

Wichtige Erkenntnisse

1Die Fibonacci-Folge $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots$ folgt der rekursiven Vorschrift $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ mit $F_1 = F_2 = 1$
2Fibonaccis Kaninchenaufgabe (1202) liefert Monat für Monat genau diese Zahlen
3Jedes dritte Glied ist gerade ( $F_3, F_6, F_9, \ldots$ ), alle anderen sind ungerade
4Die Summe der ersten $n$ Glieder ist $F_{n+2} - 1$
5Der Quotient $\frac{F_{n+1}}{F_n}$ geht gegen den goldenen Schnitt $\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618$ und liegt abwechselnd darüber und darunter
6Andere Startwerte wie die Lucas-Zahlen $2, 1, 3, 4, 7, \ldots$ haben denselben Grenzwert $\varphi$ ; Fibonacci-Zahlen kommen bei Pflanzen oft vor, aber nicht in jeder Spirale

Häufig gestellte Fragen

Wenn sich der Quotient bei einer Zahl

r

einpendelt, wird aus

\frac{F_{n+1}}{F_n} = 1 + \frac{F_{n-1}}{F_n}

die Gleichung

r = 1 + \frac{1}{r}

, also

r^2 = r + 1

. Die positive Lösung ist

r = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618

, der goldene Schnitt. Probe:

1{,}618^2 \approx 2{,}618 = 1{,}618 + 1

Glossar

Fibonacci-Folge: Die Folge $1, 1, 2, 3, 5, 8, \ldots$ , in der jedes Glied die Summe der beiden vorherigen ist
Rekursive Vorschrift: Eine Regel, die jedes Glied aus früheren Gliedern berechnet, zum Beispiel $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$
Goldener Schnitt ( $\varphi$ ): Die Zahl $\frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618$ , der Grenzwert des Quotienten benachbarter Fibonacci-Zahlen
Lucas-Zahlen: Die Folge $2, 1, 3, 4, 7, 11, \ldots$ , gebildet mit der Fibonacci-Regel aus den Startzahlen 2 und 1
Goldene Spirale: Die Spirale aus Viertelkreisen in Quadraten, deren Seitenlängen Fibonacci-Zahlen sind

Formelkarte

Rekursive Vorschrift

F_n = F_{n-1} + F_{n-2}

F_1 = F_2 = 1

Jedes Glied ist die Summe der beiden vorherigen

Summe der ersten $n$ Glieder

F_1 + F_2 + \cdots + F_n = F_{n+2} - 1

Um eins kleiner als das Glied zwei Plätze weiter

Goldener Schnitt

\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618

Der Grenzwert von $\frac{F_{n+1}}{F_n}$

Wichtige Eigenschaft von $\varphi$

\varphi^2 = \varphi + 1

$\varphi$ zu quadrieren ist dasselbe, wie 1 zu addieren

Heutige ChallengeEine Aufgabe, drei Versuche

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Spiralen der Sonnenblume

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Rekursive Vorschrift

Summe der ersten $n$ Glieder

Goldener Schnitt

Wichtige Eigenschaft von $\varphi$

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