Wahrscheinlichkeit von zusammengesetzten Ereignissen

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Du wirfst eine Münze und einen Würfel. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, Kopf zu werfen UND eine 4 zu würfeln?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
Das sind unabhängige Ereignisse.
2.
Welche Formel wird für unabhängige Ereignisse verwendet?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
Bei unabhängigen Ereignissen multiplizieren wir die Wahrscheinlichkeiten: . Addition wird für sich gegenseitig ausschließende ODER-Ereignisse verwendet.
3.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, eine 2 ODER eine 5 mit einem Würfel zu würfeln? Gib deine Antwort als gekürzte Bruch an (z.B. 1/3).
Lösung: 1/3
Eine 2 und eine 5 zu würfeln schließen sich gegenseitig aus (können nicht gleichzeitig passieren).
4.
Eine Karte aus einem Stapel ziehen, sie zurücklegen, dann eine andere Karte ziehen. Sind diese Ereignisse unabhängig oder abhängig?
1. a)Sich gegenseitig ausschließend
2. b)Abhängig
3. c)Unabhängig
4. d)Keines von beiden
Lösung: Unabhängig
Mit Zurücklegen (die Karte zurücklegen) ist das Deck für beide Züge gleich. Der erste Zug beeinflusst den zweiten nicht, also sind dies unabhängige Ereignisse.
5.
Du würfelst mit zwei Würfeln. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, eine Summe von 7 zu erhalten? Gib deine Antwort als gekürzte Bruch an.
Lösung: 1/6
Es gibt 36 mögliche Ergebnisse. Die Kombinationen mit Summe 7 sind: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) = 6 Möglichkeiten.
6.
Ein Beutel enthält 4 rote und 6 blaue Kugeln. Du ziehst zwei Kugeln ohne Zurücklegen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln blau sind.
Lösung: 1/3
1. Wie viele blaue Kugeln von der Gesamtzahl für den ersten Zug? 6/10
2. Nach dem Ziehen einer blauen Kugel, wie viele blaue sind von wie vielen insgesamt übrig? 5/9
3. Multipliziere die zwei Wahrscheinlichkeiten: 6/10 × 5/9 = ? 30/90
4. Kürze 30/90 auf die niedrigsten Terme: 1/3
7.
Ein Glücksrad hat 4 gleiche Abschnitte: rot, blau, grün, gelb. Du drehst zweimal. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, beide Male auf rot zu landen?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
Das sind unabhängige Ereignisse.
8.
Eine Münze wird 3 Mal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, 3 Mal Kopf zu erhalten? Gib deine Antwort als gekürzte Bruch an.
Lösung: 1/8
Unabhängige Ereignisse:
9.
Eine Schachtel enthält 3 rote Stifte und 5 blaue Stifte. Du nimmst zufällig einen Stift, legst ihn nicht zurück, und nimmst dann einen anderen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, zuerst einen roten Stift UND dann einen blauen Stift zu nehmen?
Lösung: 15/56
1. Was ist P(rot zuerst)? (rote Stifte / Gesamtstifte) 3/8
2. Nach dem Nehmen eines roten Stifts, wie viele Stifte sind übrig? Was ist P(blau danach)? 5/7
3. Multipliziere: 3/8 × 5/7 = ? 15/56
10.
Was stellt P(B|A) dar?
1. a)Die Wahrscheinlichkeit von B, gegeben dass A eingetreten ist
2. b)Die Wahrscheinlichkeit von A und B
3. c)Die Wahrscheinlichkeit von A, gegeben dass B eingetreten ist
4. d)Die Wahrscheinlichkeit von A oder B
Lösung: Die Wahrscheinlichkeit von B, gegeben dass A eingetreten ist
P(B|A) ist die bedingte Wahrscheinlichkeit - die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis B eintritt, wenn Ereignis A bereits eingetreten ist. Das Ereignis nach dem | ist die eingetretene Bedingung.
11.
Ein Glas enthält 7 grüne Murmeln und 3 gelbe Murmeln. Du ziehst 3 Murmeln ohne Zurücklegen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle 3 grün sind?
Lösung: 7/24
1. Was ist P(1. grün)? 7/10
2. Was ist P(2. grün | 1. grün)? 6/9
3. Was ist P(3. grün | erste zwei grün)? 5/8
4. Multipliziere alle drei: 7/10 × 6/9 × 5/8 = ? 210/720
5. Kürze 210/720: 7/24
12.
Ein Passwort besteht aus 2 Ziffern (0-9). Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, das Passwort beim ersten Versuch richtig zu erraten? Gib deine Antwort als gekürzte Bruch an.
Lösung: 1/100
Es gibt mögliche 2-stellige Passwörter. Nur 1 ist richtig, also .
13.
In einer Klasse von 30 Schülern spielen 12 Fußball und 8 Basketball. Wenn die Ereignisse unabhängig sind, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Schüler beide Sportarten spielt?
Lösung: 8/75
1. Was ist P(Fußball)? 12/30
2. Kürze 12/30: 2/5
3. Was ist P(Basketball)? 8/30
4. Kürze 8/30: 4/15
5. Für unabhängige Ereignisse: P(beide) = 2/5 × 4/15 = ? 8/75
14.
Ein Test ist zu 90% genau. Wenn du den Test zweimal (unabhängig) machst, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Tests richtig sind?
1. a)95%
2. b)81%
3. c)180%
4. d)90%
Lösung: 81%
. Beachte, dass die kombinierte Wahrscheinlichkeit kleiner ist als die Genauigkeit jedes einzelnen Tests.
15.
Ein Beutel enthält 5 rote, 4 grüne und 3 blaue Murmeln. Du ziehst 2 Murmeln ohne Zurücklegen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, eine rote und eine grüne Murmel zu ziehen (in beliebiger Reihenfolge)?
Lösung: 10/33
1. P(rot zuerst, dann grün) = P(rot) × P(grün|rot) = ? 5/12 * 4/11
2. Berechne 5/12 × 4/11 = ? 20/132
3. P(grün zuerst, dann rot) = P(grün) × P(rot|grün) = ? 4/12 * 5/11
4. Berechne 4/12 × 5/11 = ? 20/132
5. Addiere beide Wahrscheinlichkeiten: 20/132 + 20/132 = ? 40/132
6. Kürze 40/132: 10/33