Einführung in Kombinationen

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Welche Formel stellt die Anzahl der Kombinationen dar, wenn man Elemente aus Elementen wählt?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
Die Kombinationsformel ist . Die zweite Option ist die Permutationsformel. Optionen 3 und 4 sind für andere Zählprobleme.
2.
Wann solltest du Kombinationen statt Permutationen verwenden?
1. a)Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt
2. b)Wenn Elemente sich wiederholen können
3. c)Wenn die Reihenfolge eine Rolle spielt
4. d)Beim Auswählen eines Elements
Lösung: Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt
Verwende Kombinationen, wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt. Zum Beispiel bei der Auswahl von 3 Personen für einen Ausschuss - {A,B,C} ist dasselbe wie {C,B,A}. Verwende Permutationen, wenn die Reihenfolge wichtig ist, wie beim Zuweisen von 1., 2. und 3. Platz.
3.
Berechne .
Lösung: 6
. Du kannst sie auch auflisten: {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}.
4.
Berechne .
Lösung: 5
. Allgemein gilt , weil es n Möglichkeiten gibt, 1 Element zu wählen.
5.
Ein Beutel enthält 6 verschiedenfarbige Murmeln. Auf wie viele Arten kannst du 2 Murmeln wählen?
Lösung: 15
1. Was ist n (Gesamtmurmeln)? 6
2. Was ist r (zu wählende Murmeln)? 2
3. Berechne . Was ist das Ergebnis? 15
6.
Warum ist ?
1. a)Beide ergeben zufällig 21
2. b)Die Formel hat zwei Lösungen
3. c)Es ist ein Rechenfehler
4. d)3 zum Einschließen zu wählen ist dasselbe wie 4 zum Ausschließen
Lösung: 3 zum Einschließen zu wählen ist dasselbe wie 4 zum Ausschließen
Dies ist die Symmetrieeigenschaft von Kombinationen: . Wenn du 3 Elemente aus 7 zum Einschließen wählst, wählst du gleichzeitig 4 Elemente zum Ausschließen. Beide Aktionen repräsentieren dieselbe Auswahl.
7.
Berechne .
Lösung: 35
8.
Eine Klasse hat 10 Schüler. Auf wie viele Arten kann der Lehrer 3 Schüler für ein Gruppenprojekt auswählen?
Lösung: 120
Möglichkeiten.
9.
Ein Restaurant bietet 9 Vorspeisen an. Auf wie viele Arten kann ein Kunde 4 verschiedene Vorspeisen wählen?
Lösung: 126
1. Was ist n (Gesamtvorspeisen)? 9
2. Was ist r (zu wählende Vorspeisen)? 4
3. Was ist ? 3024
4. Was ist ? 24
5. Was ist ? 126
10.
Ein Bücherregal hat 8 verschiedene Bücher. Auf wie viele Arten kannst du 5 Bücher für den Urlaub auswählen?
Lösung: 56
1. Was ist n (Gesamtbücher)? 8
2. Was ist r (auszuwählende Bücher)? 5
3. Mit Symmetrie: 3
4. Berechne 56
11.
Ein Standardkartendeck hat 52 Karten. Welcher Ausdruck gibt die Anzahl der 5-Karten-Blätter an?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
Ein Kartenblatt ist eine Auswahl, bei der die Reihenfolge keine Rolle spielt - {A,K,D,B,10} ist dasselbe Blatt, unabhängig von der Reihenfolge, in der du sie erhalten hast. Also verwenden wir mögliche Blätter.
12.
Berechne .
Lösung: 495
13.
Ein Ausschuss von 5 muss aus 8 Männern und 6 Frauen gewählt werden. Wie viele Ausschüsse haben genau 3 Männer und 2 Frauen?
Lösung: 840
1. Wie viele Möglichkeiten, 3 Männer aus 8 zu wählen? Berechne . 56
2. Wie viele Möglichkeiten, 2 Frauen aus 6 zu wählen? Berechne . 15
3. Multipliziere die beiden Ergebnisse: 840
14.
Bei einer Lotterie wählst du 6 Zahlen von 1 bis 45. Wie viele verschiedene Spielscheine sind möglich?
Lösung: 8145060
1. Was ist n (Gesamtzahlen)? 45
2. Was ist r (zu wählende Zahlen)? 6
3. Berechne den Zähler: 5864443200
4. Was ist ? 720
5. Teile: 8145060
15.
Wenn , was ist ?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
bedeutet . Test: . Also . Wir können überprüfen: .
16.
Ein Schüler muss 8 Fragen von 12 bei einer Prüfung beantworten. Auf wie viele Arten kann dies geschehen, wenn die ersten 2 Fragen Pflicht sind?
Lösung: 210
1. Wenn 2 Fragen Pflicht sind, wie viele weitere Fragen müssen gewählt werden? 6
2. Wie viele optionale Fragen stehen zur Auswahl? 10
3. Berechne . Nutze Symmetrie: 4
4. Was ist ? 210