Einführung in Permutationen
Lerne, wie man Anordnungen zählt, bei denen die Reihenfolge wichtig ist.
Definition
Probier es gleich aus
Lösungsbeispiele
Auf wie viele Arten können sich 4 Schüler (Anna, Ben, Carla, David) für ein Foto aufstellen?
Identifiziere, was wir zählen
Wir müssen alle 4 Schüler in einer Reihe anordnen, wobei die Position wichtig ist → Dies ist eine Permutation von 4 Objekten
Zähle die Möglichkeiten für jede Position
1. Position: 4 Möglichkeiten\\2. Position: 3 übrig\\3. Position: 2 übrig\\4. Position: 1 übrig →
Berechne mit Fakultät
→
Interpretiere das Ergebnis
Es gibt 24 verschiedene Möglichkeiten, 4 Schüler anzuordnen → 24 Anordnungen
Antwort: Es gibt verschiedene Möglichkeiten, sich für das Foto aufzustellen.
Häufige Fehler
Permutationen und Kombinationen verwechseln
Warum es falsch ist: Permutationen zählen Anordnungen, bei denen die REIHENFOLGE WICHTIG ist. Kombinationen zählen Auswahlen, bei denen die Reihenfolge keine Rolle spielt.
Richtig: Frage dich: "Ändert das Umordnen das Ergebnis?" Bei der Auswahl eines Komitees (ohne Positionen) ist die Reihenfolge unwichtig = Kombination. Bei der Wahl von Amtsträgern ist die Reihenfolge wichtig = Permutation.
Die falsche Formelrichtung verwenden: statt
Warum es falsch ist: Die größere Fakultät steht oben, weil wir mit mehr Auswahlmöglichkeiten beginnen.
Richtig: — merke dir: ist immer größer, also steht es im Zähler.
Vergessen, dass
Warum es falsch ist: Beim Anordnen aller n Objekte verwenden wir
Richtig: Per Definition gilt . Dadurch funktioniert die Formel, wenn .
Interaktiver Sandkasten
Ausdrucksrechner
Probiere diese:
Verlauf
Noch keine Berechnungen
Übungsaufgaben
18 AufgabenWas ist (3 Fakultät)?
Warum es wichtig ist
- Passwörter: Wie viele 4-stellige PINs verwenden unterschiedliche Ziffern?
- Rennen: Auf wie viele Arten können Gold-, Silber- und Bronzemedaillen vergeben werden?
- Zeitplanung: In wie vielen Reihenfolgen können 5 Aufgaben erledigt werden?
- Sitzordnung: Auf wie viele Arten können Schüler in einer Reihe sitzen?
Anwendungen im echten Leben
Passwortsicherheit
Das Verständnis von Permutationen hilft uns, die Stärke und Sicherheit von Passwörtern zu berechnen.
Beispiel:
Eine 4-stellige PIN mit den Ziffern 0-9 ohne Wiederholung hat Möglichkeiten.
Eine Website verlangt ein 3-Zeichen-Passwort nur aus Großbuchstaben (A-Z), wobei kein Buchstabe wiederholt werden darf.
Wie viele mögliche Passwörter gibt es?
Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck
Berechne :
Sportturniergruppen
Permutationen bestimmen mögliche Ergebnisse in Wettbewerben, bei denen die Platzierung wichtig ist.
Beispiel:
Bei einem Playoff mit 6 Teams sind die möglichen Endplatzierungen verschiedene Reihenfolgen.
Ein olympisches Schwimmfinale hat 8 Schwimmer. Medaillen werden für den 1., 2. und 3. Platz vergeben.
Wie viele verschiedene Medaillenverteilungen sind möglich?
Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck
Verwende :
Wichtige Erkenntnisse
- 1Eine Permutation ist eine Anordnung, bei der die Reihenfolge wichtig ist
- 2Um alle Objekte anzuordnen: verwende
- 3Um Objekte aus Objekten anzuordnen: verwende
- 4Schnellmethode: multipliziere für Terme
- 5Merke: per Definition
Häufig gestellte Fragen
Glossar
- Permutation
- Eine Anordnung von Objekten, bei der die Reihenfolge wichtig ist
- Fakultät
- Das Produkt aller positiven ganzen Zahlen bis n, geschrieben als
- P(n,r)
- Die Anzahl der Permutationen von r Objekten, ausgewählt aus n Objekten
- Verschiedene Objekte
- Objekte, die alle voneinander unterschiedlich sind
Formelkarte
Fakultät
Produkt aller positiven ganzen Zahlen bis n
Permutation
Anordnungen von r Objekten aus n
Spezialfälle
Wichtige Werte zum Merken