Binomialverteilung

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Welche der folgenden ist eine Bedingung für eine Binomialverteilung?
1. a)Jeder Versuch muss unabhängig sein
2. b)Die Anzahl der Versuche ist unbegrenzt
3. c)Jeder Versuch muss mindestens 3 Ergebnisse haben
4. d)Die Wahrscheinlichkeit ändert sich nach jedem Versuch
Lösung: Jeder Versuch muss unabhängig sein
Für eine Binomialverteilung muss jeder Versuch unabhängig sein, d.h. das Ergebnis eines Versuchs beeinflusst die anderen nicht. Außerdem muss es genau zwei Ergebnisse geben (nicht 3+), eine feste Anzahl von Versuchen und konstante Wahrscheinlichkeit.
2.
Berechne . Gib deine Antwort als Zahl ein.
Lösung: 15
3.
In der Binomialformel , was stellt dar?
1. a)Die Anzahl der Misserfolge
2. b)Die Varianz
3. c)Die Wahrscheinlichkeit des Misserfolgs bei jedem Versuch
4. d)Der Erwartungswert
Lösung: Die Wahrscheinlichkeit des Misserfolgs bei jedem Versuch
Bei einem Binomialexperiment gibt es zwei Ergebnisse: Erfolg (Wahrscheinlichkeit ) und Misserfolg (Wahrscheinlichkeit ). Da die Wahrscheinlichkeiten 1 ergeben müssen, ist die Misserfolgswahrscheinlichkeit .
4.
Du wirfst eine faire Münze 4 Mal. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 2 Mal Kopf zu werfen?
Lösung: 0.375
1. Was ist (Anzahl der Versuche)? 4
2. Was ist (Anzahl der gewünschten Erfolge)? 2
3. Was ist (Wahrscheinlichkeit für Kopf)? 0,5
4. Berechne 6
5. Berechne die Endwahrscheinlichkeit (runde auf 3 Dezimalstellen) 0,375
5.
Wenn und , was ist der Erwartungswert der Binomialverteilung?
Lösung: 3
Der Erwartungswert ist . Das bedeutet, dass wir im Durchschnitt 3 Erfolge bei 10 Versuchen erwarten.
6.
Eine Basketballspielerin hat eine Freiwurfquote von 60%. Wenn sie 5 Würfe macht, welcher Ausdruck gibt die Wahrscheinlichkeit an, genau 3 zu treffen?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
Mit , , erhalten wir . Der Exponent von entspricht (Erfolge), und der Exponent von entspricht (Misserfolge).
7.
Eine Fabrik produziert Artikel mit einer Fehlerquote von 5%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 1 von 10 Artikeln fehlerhaft ist?
Lösung: 0.315
1. Was ist ? 10
2. Was ist ? 1
3. Was ist (Fehlerwahrscheinlichkeit)? 0,05
4. Was ist ? 10
5. Berechne die Wahrscheinlichkeit (runde auf 3 Dezimalstellen) 0,315
8.
Berechne die Standardabweichung für eine Binomialverteilung mit und . Runde auf 2 Dezimalstellen.
Lösung: 2.24
9.
Welches der folgenden ist KEIN Binomialexperiment?
1. a)Würfeln und prüfen ob eine 6 erscheint
2. b)Testen ob 20 Glühbirnen funktionieren oder ausfallen
3. c)Karten ziehen ohne Zurücklegen
4. d)Eine Münze 10 Mal werfen
Lösung: Karten ziehen ohne Zurücklegen
Karten ziehen ohne Zurücklegen verletzt die Unabhängigkeitsbedingung. Nach dem Ziehen einer Karte ändert sich die Wahrscheinlichkeit für das nächste Ziehen, weil das Deck weniger Karten hat.
10.
Ein Impfstoff ist zu 80% wirksam. Wenn 6 Personen geimpft werden, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 5 Immunität entwickeln?
Lösung: 0.393
1. Identifiziere , und n=6, k=5, p=0,8
2. Berechne 6
3. Berechne 0,32768
4. Berechne 0,2
5. Endantwort (runde auf 3 Dezimalstellen) 0,393
11.
Ein Test hat 8 Multiple-Choice-Fragen mit je 4 Optionen. Wenn ein Schüler zufällig rät, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 2 richtig zu haben? Runde auf 3 Dezimalstellen.
Lösung: 0.311
12.
Ein Medikament hat eine Erfolgsrate von 70%. Wenn 8 Patienten behandelt werden, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 7 positiv reagieren?
Lösung: 0.255
1. Was bedeutet 'mindestens 7' in Bezug auf k-Werte? k=7 oder k=8
2. Berechne = (runde auf 3 Dezimalstellen) 0,198
3. Berechne = (runde auf 3 Dezimalstellen) 0,058
4. Addiere 0,255
13.
Für welchen Wert von hat eine Binomialverteilung die größte Varianz bei ?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
Die Varianz ist . Die Funktion erreicht ihr Maximum bei (dies kann mit Analysis bewiesen werden oder indem man feststellt, dass bei ist, was größer ist als für jeden anderen Wert).
14.
Wenn für eine Binomialverteilung mit , was ist ? Runde auf 1 Dezimalstelle.
Lösung: 0.4
. Die 5. Wurzel ziehen: . Also
15.
Ein Unternehmen weiß, dass 20% seiner E-Mails Spam sind. Wenn 10 E-Mails ankommen, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens 1 Spam-E-Mail zu erhalten?
Lösung: 0.376
1. 'Höchstens 1' bedeutet welche k-Werte? k=0 oder k=1
2. Berechne 0,107
3. Berechne 0,268
4. Addiere 0,376
16.
Ein fairer Würfel wird 12 Mal geworfen. Was ist die erwartete Anzahl von Sechsen?
1. a)6
2. b)2
3. c)1
4. d)12
Lösung: 2
Die Wahrscheinlichkeit, eine Sechs zu würfeln, ist . Erwartungswert =
17.
In einer Umfrage bevorzugen 40% der Menschen Tee gegenüber Kaffee. Wenn 7 Personen zufällig ausgewählt werden, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 4 Tee bevorzugen?
Lösung: 0.194
1. Identifiziere , , n=7, k=4, p=0,4
2. Berechne 35
3. Berechne 0,0256
4. Berechne 0,216
5. Endantwort (runde auf 3 Dezimalstellen) 0,194