Werfen einer fairen Münze

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei 5 Münzwürfen genau 3 Mal Kopf zu erhalten?

Parameter identifizieren: $n = 5$ Würfe, $k = 3$ Mal Kopf, $p = 0{,}5$ (faire Münze) = $n=5$, $k=3$, $p=0{,}5$

Kombination berechnen: $\binom{5}{3} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{120}{6 \cdot 2} = 10$ = $\binom{5}{3} = 10$

$p^k$ berechnen: $(0{,}5)^3 = 0{,}125$ = $p^3 = 0{,}125$

$(1-p)^{n-k}$ berechnen: $(0{,}5)^{5-3} = (0{,}5)^2 = 0{,}25$ = $(1-p)^2 = 0{,}25$

Alle Teile multiplizieren: $P(X=3) = 10 \times 0{,}125 \times 0{,}25 = 0{,}3125$ = $P = 0{,}3125$

Answer: Die Wahrscheinlichkeit, bei 5 Würfen genau 3 Mal Kopf zu erhalten, beträgt $0{,}3125$ oder $31{,}25\%$

Multiple-Choice-Test

Ein Multiple-Choice-Test hat 10 Fragen mit jeweils 4 Optionen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei zufälligem Raten genau 4 richtig zu beantworten?

Parameter identifizieren: $n = 10$ Fragen, $k = 4$ richtig, $p = \frac{1}{4} = 0{,}25$ = $n=10$, $k=4$, $p=0{,}25$

Kombination berechnen: $\binom{10}{4} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$ = $\binom{10}{4} = 210$

$p^k$ berechnen: $(0{,}25)^4 = 0{,}00390625$ = $p^4 \approx 0{,}0039$

$(1-p)^{n-k}$ berechnen: $(0{,}75)^6 \approx 0{,}1780$ = $(1-p)^6 \approx 0{,}178$

Alle Teile multiplizieren: $P(X=4) = 210 \times 0{,}0039 \times 0{,}178 \approx 0{,}146$ = $P \approx 0{,}146$

Answer: Die Wahrscheinlichkeit, genau 4 Antworten richtig zu erraten, beträgt etwa $0{,}146$ oder $14{,}6\%$

Qualitätskontrolle

Eine Fabrik hat eine Fehlerquote von 2%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, in einer Charge von 20 Artikeln genau 1 defektes Teil zu finden?

Parameter identifizieren: $n = 20$ Artikel, $k = 1$ Defekt, $p = 0{,}02$ (Fehlerquote) = $n=20$, $k=1$, $p=0{,}02$

Kombination berechnen: $\binom{20}{1} = 20$ = $\binom{20}{1} = 20$

$p^k$ berechnen: $(0{,}02)^1 = 0{,}02$ = $p^1 = 0{,}02$

$(1-p)^{n-k}$ berechnen: $(0{,}98)^{19} \approx 0{,}6812$ = $(1-p)^{19} \approx 0{,}6812$

Alle Teile multiplizieren: $P(X=1) = 20 \times 0{,}02 \times 0{,}6812 \approx 0{,}272$ = $P \approx 0{,}272$

Answer: Die Wahrscheinlichkeit, genau 1 defektes Teil zu finden, beträgt etwa $0{,}272$ oder $27{,}2\%$

Mistake: Den Kombinationskoeffizienten $\binom{n}{k}$ vergessen

Why: Die Kombination zählt alle verschiedenen Möglichkeiten, Erfolge unter den Versuchen anzuordnen. Ohne sie berechnest du nur eine bestimmte Anordnung.

Correct: Beginne immer mit der Kombination: $P(X=k) = \binom{n}{k} \times p^k \times (1-p)^{n-k}$

Mistake: $p^n$ anstelle von $p^k$ verwenden

Why: Der Exponent $k$ stellt die Anzahl der Erfolge dar, nicht die Gesamtzahl der Versuche.

Correct: Die Erfolgswahrscheinlichkeit wird mit der Anzahl der Erfolge potenziert: $p^k$, und die Misserfolgswahrscheinlichkeit mit der Anzahl der Misserfolge: $(1-p)^{n-k}$

Mistake: Die Binomialformel anwenden, wenn Versuche nicht unabhängig sind

Why: Die Binomialverteilung erfordert, dass das Ergebnis eines Versuchs die anderen nicht beeinflusst. Das Ziehen von Karten ohne Zurücklegen ändert beispielsweise die Wahrscheinlichkeiten.

Correct: Überprüfe die Unabhängigkeit: Ändert das Wissen über ein Ergebnis die Wahrscheinlichkeit eines anderen? Wenn ja, gilt die Binomialverteilung nicht.

Medizinische Studien

Forscher verwenden die Binomialverteilung, um die Wirksamkeit von Behandlungen zu bewerten.

Wenn ein Medikament eine Erfolgsrate von 70% hat, können wir die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass genau 8 von 10 Patienten positiv reagieren.

Sportanalytik

Trainer verwenden die Binomialverteilung, um Spielergebnisse und Spielerleistungen vorherzusagen.

Ein Basketballspieler hat eine Freiwurf-Erfolgsquote von 75%. Die Binomialverteilung hilft, die Chance zu berechnen, 9 von 10 Freiwürfen zu treffen.

Q: Wann sollte ich die Binomialverteilung anstelle anderer Wahrscheinlichkeitsmethoden verwenden?

A: Verwende die Binomialverteilung, wenn du hast: (1) eine feste Anzahl von Versuchen, (2) genau zwei Ausgänge pro Versuch, (3) konstante Erfolgswahrscheinlichkeit und (4) unabhängige Versuche. Wenn eine Bedingung nicht erfüllt ist, brauchst du einen anderen Ansatz.

Q: Was bedeutet die Kombination $\binom{n}{k}$ in der Formel?

A: Sie zählt, auf wie viele verschiedene Arten du $k$ Erfolge unter $n$ Versuchen anordnen kannst. Zum Beispiel kann man bei 3 Würfen 2 Mal Kopf erhalten als KKZ, KZK oder ZKK - das sind $\binom{3}{2} = 3$ Möglichkeiten.

Q: Was, wenn ich die Wahrscheinlichkeit für 'mindestens' oder 'höchstens' k Erfolge möchte?

A: Für 'mindestens $k$' addiere $P(X=k) + P(X=k+1) + ... + P(X=n)$. Für 'höchstens $k$' addiere $P(X=0) + P(X=1) + ... + P(X=k)$. Manchmal ist es einfacher, das Gegenereignis zu verwenden.