Die z-Tabelle ablesen

Bestimme $P(Z \le 1{,}23)$ für die standardnormalverteilte Zufallsgröße $Z$.

Zerlege $z$ in Zeile und Spalte: $1{,}23 = 1{,}2 + 0{,}03$ = Zeile $1{,}2$, Spalte $0{,}03$

Lies den Wert am Schnittpunkt von Zeile und Spalte ab: Zeile $1{,}2$, Spalte $0{,}03$: $0{,}8907$ = $\Phi(1{,}23) = 0{,}8907$

Prüfe, ob das sinnvoll ist: $z = 1{,}23$ ist etwas größer als 1, und $\Phi(1) = 0{,}8413$ = Ein Wert etwas über $0{,}8413$ passt

Answer: $P(Z \le 1{,}23) = 0{,}8907$, also liegen etwa 89,07 % der Fläche links von $z = 1{,}23$.

Fläche nach rechts

Bestimme $P(Z > 1{,}5)$.

Lies die linke Fläche in der Tabelle ab: Zeile $1{,}5$, Spalte $0{,}00$ = $\Phi(1{,}5) = 0{,}9332$

Ziehe sie von der Gesamtfläche 1 ab: $P(Z > 1{,}5) = 1 - 0{,}9332$ = $0{,}0668$

Kontrolliere mit der 68-95-99,7-Regel: Rechts von $z = 1$ liegen 16 %, rechts von $z = 2$ liegen 2,5 % = $0{,}0668$ (6,68 %) liegt dazwischen

Answer: $P(Z > 1{,}5) = 1 - 0{,}9332 = 0{,}0668$

Ein negatives z und die Symmetrie

Bestimme $P(Z < -0{,}75)$ nur mit dem positiven Teil der Tabelle: $\Phi(0{,}75) = 0{,}7734$.

Nutze die Symmetrie: die linke Randfläche bei $-0{,}75$ ist gleich der rechten Randfläche bei $0{,}75$: $P(Z < -0{,}75) = P(Z > 0{,}75)$ = $\Phi(-0{,}75) = 1 - \Phi(0{,}75)$

Ziehe den Tabellenwert von 1 ab: $1 - 0{,}7734$ = $0{,}2266$

Prüfe die Größe: $-0{,}75$ liegt links vom Mittelwert, also muss die Fläche kleiner als $0{,}5$ sein = $0{,}2266 < 0{,}5$, das passt

Answer: $P(Z < -0{,}75) = 1 - 0{,}7734 = 0{,}2266$

Fläche zwischen zwei z-Werten

Bestimme $P(-1 < Z < 2)$. Tabelle: $\Phi(1) = 0{,}8413$, $\Phi(2) = 0{,}9772$.

Linke Fläche bis zur oberen Grenze: $\Phi(2)$ = $0{,}9772$

Linke Fläche bis zur unteren Grenze (Symmetrie): $\Phi(-1) = 1 - 0{,}8413$ = $0{,}1587$

Ziehe die beiden Flächen voneinander ab: $0{,}9772 - 0{,}1587$ = $0{,}8185$

Kontrolliere mit der 68-95-99,7-Regel: Von $-1$ bis $0$: 34 %, von $0$ bis $2$: 47,5 % = $34\,\% + 47{,}5\,\% = 81{,}5\,\%$, nah an $0{,}8185$

Answer: $P(-1 < Z < 2) = 0{,}9772 - 0{,}1587 = 0{,}8185$

Jede Normalverteilung standardisieren

$X$ ist normalverteilt mit $\mu = 50$ und $\sigma = 8$. Bestimme $P(X < 60)$. Tabelle: $\Phi(1{,}25) = 0{,}8944$.

Standardisiere die Grenze: $z = \frac{60 - 50}{8} = \frac{10}{8}$ = $z = 1{,}25$

Schreibe die Frage mit $Z$: $P(X < 60) = P(Z < 1{,}25)$ = Eine linke Fläche

Lies die Tabelle ab: Zeile $1{,}2$, Spalte $0{,}05$ = $0{,}8944$

Kontrolliere mit der 68-95-99,7-Regel: $\Phi(1) \approx 0{,}84$ und $\Phi(2) \approx 0{,}975$ = $0{,}8944$ liegt dazwischen

Answer: $P(X < 60) = P(Z < 1{,}25) = 0{,}8944$

Mistake: Den Tabellenwert als Fläche nach rechts nehmen: $P(Z > 1{,}5) = 0{,}9332$

Why: Die z-Tabelle gibt immer die Fläche LINKS von $z$ an. Eine Fläche von $0{,}9332$ rechts von einem positiven $z$ ist unmöglich, denn dann läge mehr als die Hälfte der Kurve rechts davon.

Correct: Für eine Fläche nach rechts ziehst du von 1 ab: $P(Z > 1{,}5) = 1 - 0{,}9332 = 0{,}0668$.

Mistake: Glauben, ein negatives $z$ gebe eine negative oder dieselbe Fläche: $\Phi(-0{,}75) = -0{,}7734$ oder $0{,}7734$

Why: Flächen sind nie negativ. Ein negatives $z$ liegt links vom Mittelwert, also ist die Fläche links davon kleiner als $0{,}5$.

Correct: Nutze die Symmetrie: $\Phi(-0{,}75) = 1 - \Phi(0{,}75) = 1 - 0{,}7734 = 0{,}2266$.

Mistake: Die z-Werte statt der Flächen subtrahieren: $P(-1 < Z < 2) = \Phi(2 - (-1)) = \Phi(3)$

Why: Die Tabelle macht aus z-Werten Flächen. Die Fläche zwischen zwei Stellen ist die Differenz der beiden linken Flächen, nicht die Fläche der Differenz.

Correct: $P(-1 < Z < 2) = \Phi(2) - \Phi(-1) = 0{,}9772 - 0{,}1587 = 0{,}8185$.

Mistake: Den ursprünglichen Wert in der z-Tabelle suchen: $P(X < 60)$ in Zeile 60

Why: Die Tabelle gilt nur für $Z$ mit Mittelwert 0 und Standardabweichung 1. Ein ursprünglicher Wert muss zuerst standardisiert werden.

Correct: Berechne zuerst $z = \frac{60 - 50}{8} = 1{,}25$ und lies dann $\Phi(1{,}25) = 0{,}8944$ ab.

Qualitätskontrolle

Fabriken standardisieren jede Messung und sortieren Teile aus, die zu weit vom Sollwert entfernt sind, zum Beispiel mehr als 2 Standardabweichungen.

Ein Teil mit $z = -2{,}3$ liegt 2,3 Standardabweichungen unter der Solllänge und wird aussortiert.

Standardisierte Testergebnisse

Manche Prüfungen geben Ergebnisse direkt als z-Werte an, damit man sofort sieht, wie weit man über oder unter dem Durchschnitt liegt.

Ein Ergebnis von $z = 0$ ist genau Durchschnitt; $z = 1$ liegt eine Standardabweichung über dem Durchschnitt.

Fehler der Wettervorhersage

Wetterdienste prüfen, wie weit ihre Temperaturvorhersagen danebenliegen. Bei einer gut kalibrierten Vorhersage kann der Fehler in °C der Standardnormalverteilung folgen: Mittelwert 0, Standardabweichung 1.

Ein Fehler von $-1{,}2$ °C bedeutet, dass die echte Temperatur 1,2 Grad niedriger war als vorhergesagt.

Q: Warum funktioniert eine einzige Tabelle für jede Normalverteilung?

A: Beim Standardisieren wird der Mittelwert auf 0 verschoben und die Streuung auf 1 gestaucht oder gestreckt. Die Form bleibt gleich, also ist die Fläche links von $x$ bei einer Normalverteilung mit Mittelwert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma$ gleich der Fläche links von $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ bei $N(0, 1)$.

Q: Meine Tabelle hat keine negativen z-Werte. Was mache ich?

A: Nutze die Symmetrie: $\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$. Zum Beispiel $\Phi(-1{,}2) = 1 - 0{,}8849 = 0{,}1151$. Viele Bücher drucken eine zweite Tabelle für negative $z$; beide liefern dieselben Zahlen.

Q: Gibt es einen Unterschied zwischen $P(Z < z)$ und $P(Z \le z)$?

A: Nein. $Z$ ist stetig, daher ist die Wahrscheinlichkeit für genau einen Wert 0. Beide liest du am selben Tabelleneintrag ab.

Q: Was ist, wenn mein $z$ größer ist als die Tabelle, etwa $z = 4$?

A: Die meisten Tabellen enden bei etwa $3{,}49$, dort ist $\Phi$ schon $0{,}9998$. Darüber ist die linke Fläche praktisch 1 und die rechte Randfläche praktisch 0.