Standardnormalverteilung

Lerne die Standardnormalverteilung N(0, 1) kennen, wie du jede Normalverteilung standardisierst und wie du die z-Tabelle für linke, rechte und mittlere Flächen abliest.

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Definition

Die Standardnormalverteilung ist die Normalverteilung mit Mittelwert μ=0\mu = 0 und Standardabweichung σ=1\sigma = 1. Man schreibt N(0,1)N(0, 1) und nennt die Zufallsgröße ZZ.

Standardisieren

Jede normalverteilte Zufallsgröße XX mit Mittelwert μ\mu und Standardabweichung σ\sigma wird zur Standardnormalverteilung, wenn du sie standardisierst:
Z=X−μσZ = \frac{X - \mu}{\sigma}
Deshalb reicht eine einzige Tabelle für alle Normalverteilungen: zuerst zz berechnen, dann die Fläche ablesen.

Die z-Tabelle

Eine z-Tabelle (Tabelle der Standardnormalverteilung) enthält die kumulierte Fläche links von zz:
Φ(z)=P(Z≤z)\Phi(z) = P(Z \le z)
Die Zeile gibt zz mit einer Nachkommastelle an (zum Beispiel 1,21{,}2), die Spalte die zweite Nachkommastelle (zum Beispiel 0,030{,}03). Am Schnittpunkt liest du Φ(1,23)=0,8907\Phi(1{,}23) = 0{,}8907 ab.

Drei Regeln für jede Fläche

  • **Links von zz**: direkt ablesen, P(Z<z)=Φ(z)P(Z < z) = \Phi(z)
  • **Rechts von zz**: die Gesamtfläche ist 1, also P(Z>z)=1−Φ(z)P(Z > z) = 1 - \Phi(z)
  • **Zwischen aa und bb**: P(a<Z<b)=Φ(b)−Φ(a)P(a < Z < b) = \Phi(b) - \Phi(a)
Die Kurve ist symmetrisch zu 0, daher gilt Φ(−z)=1−Φ(z)\Phi(-z) = 1 - \Phi(z). Bei einer stetigen Zufallsgröße sind P(Z<z)P(Z < z) und P(Z≤z)P(Z \le z) dieselbe Zahl.

Probier es gleich aus

Welchen Mittelwert und welche Standardabweichung hat die Standardnormalverteilung N(0,1)N(0, 1)?

Lösungsbeispiele

Bestimme P(Z≤1,23)P(Z \le 1{,}23) für die standardnormalverteilte Zufallsgröße ZZ.
1

Zerlege zz in Zeile und Spalte

1,23=1,2+0,031{,}23 = 1{,}2 + 0{,}03 → Zeile 1,21{,}2, Spalte 0,030{,}03
2

Lies den Wert am Schnittpunkt von Zeile und Spalte ab

Zeile 1,21{,}2, Spalte 0,030{,}03: 0,89070{,}8907 → Φ(1,23)=0,8907\Phi(1{,}23) = 0{,}8907
3

Prüfe, ob das sinnvoll ist

z=1,23z = 1{,}23 ist etwas größer als 1, und Φ(1)=0,8413\Phi(1) = 0{,}8413 → Ein Wert etwas über 0,84130{,}8413 passt

Häufige Fehler

Den Tabellenwert als Fläche nach rechts nehmen: P(Z>1,5)=0,9332P(Z > 1{,}5) = 0{,}9332

Warum es falsch ist: Die z-Tabelle gibt immer die Fläche LINKS von zz an. Eine Fläche von 0,93320{,}9332 rechts von einem positiven zz ist unmöglich, denn dann läge mehr als die Hälfte der Kurve rechts davon.

Richtig: Für eine Fläche nach rechts ziehst du von 1 ab: P(Z>1,5)=1−0,9332=0,0668P(Z > 1{,}5) = 1 - 0{,}9332 = 0{,}0668.

Glauben, ein negatives zz gebe eine negative oder dieselbe Fläche: Φ(−0,75)=−0,7734\Phi(-0{,}75) = -0{,}7734 oder 0,77340{,}7734

Warum es falsch ist: Flächen sind nie negativ. Ein negatives zz liegt links vom Mittelwert, also ist die Fläche links davon kleiner als 0,50{,}5.

Richtig: Nutze die Symmetrie: Φ(−0,75)=1−Φ(0,75)=1−0,7734=0,2266\Phi(-0{,}75) = 1 - \Phi(0{,}75) = 1 - 0{,}7734 = 0{,}2266.

Die z-Werte statt der Flächen subtrahieren: P(−1<Z<2)=Φ(2−(−1))=Φ(3)P(-1 < Z < 2) = \Phi(2 - (-1)) = \Phi(3)

Warum es falsch ist: Die Tabelle macht aus z-Werten Flächen. Die Fläche zwischen zwei Stellen ist die Differenz der beiden linken Flächen, nicht die Fläche der Differenz.

Richtig: P(−1<Z<2)=Φ(2)−Φ(−1)=0,9772−0,1587=0,8185P(-1 < Z < 2) = \Phi(2) - \Phi(-1) = 0{,}9772 - 0{,}1587 = 0{,}8185.

Den ursprünglichen Wert in der z-Tabelle suchen: P(X<60)P(X < 60) in Zeile 60

Warum es falsch ist: Die Tabelle gilt nur für ZZ mit Mittelwert 0 und Standardabweichung 1. Ein ursprünglicher Wert muss zuerst standardisiert werden.

Richtig: Berechne zuerst z=60−508=1,25z = \frac{60 - 50}{8} = 1{,}25 und lies dann Φ(1,25)=0,8944\Phi(1{,}25) = 0{,}8944 ab.

Interaktive Visualisierung

Lies die z-Tabelle ab: verschiebe z und beobachte Zeile und Spalte

z = 1,23z-3-2-10123

μ = 0, σ = 1 · Ziehe einen Griff oder gib x oder z ein.

P(Z ≤ 1,23) ≈ 0,8907 = 89,07 %

Etwa 89,07 % aller Werte liegen im schattierten Bereich.

z-Tabelle: P(Z ≤ z)

z0,010,020,030,040,05
1,00,84380,84610,84850,85080,8531
1,10,86650,86860,87080,87290,8749
1,20,88690,88880,89070,89250,8944
1,30,90490,90660,90820,90990,9115
1,40,92070,92220,92360,92510,9265

Zeile 1,2 und Spalte 0,03 ergeben z = 1,23, also P(Z ≤ 1,23) = 0,8907.

Ziehe einen Griff: Die markierte Zeile und Spalte folgen z.

Standardnormalverteilung: Flächen zwischen zwei z-Werten und die 68-95-99,7-Kontrolle

34,1 %34,1 %13,6 %13,6 %2,1 %2,1 %z = -1z = 2z-3-2-10123

μ = 0, σ = 1 · Ziehe einen Griff oder gib x oder z ein.

P(-1 ≤ Z ≤ 2) ≈ 0,8186 = 81,86 %

Etwa 81,86 % aller Werte liegen im schattierten Bereich.

Standardisieren: X mit Mittelwert 50 und Standardabweichung 8, darunter die z-Achse

60 · z = 1,25xz26-334-242-1500581662743X

μ = 50, σ = 8 · Ziehe einen Griff oder gib x oder z ein.

z = (x − μ)/σ = (60 − 50)/8 = 1,25

P(X ≤ 60) = P(Z ≤ 1,25) ≈ 0,8944 = 89,44 %

Etwa 89,44 % aller Werte liegen im schattierten Bereich.

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Ausdrucksrechner

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Übungsaufgaben

18 Aufgaben
Aufgabe 1 von 18
Einfach
Welchen Mittelwert und welche Standardabweichung hat die Standardnormalverteilung N(0,1)N(0, 1)?

Warum es wichtig ist

Die Standardnormalverteilung ist die eine Kurve, auf die jede Aufgabe zur Normalverteilung zurückgeführt wird:
  • Eine Tabelle für alles: Körpergrößen, Testergebnisse, Reaktionszeiten und Messfehler haben verschiedene Mittelwerte und Streuungen, aber nach dem Standardisieren benutzen alle dieselbe z-Tabelle
  • Genaue Werte statt Schätzungen: die 68-95-99,7-Regel funktioniert nur bei ganzen Standardabweichungen; die Tabelle liefert die Fläche für jedes zz, etwa z=1,23z = 1{,}23
  • Statistik und Naturwissenschaft: Konfidenzintervalle, Hypothesentests und Toleranzgrenzen (wie ±1,96\pm 1{,}96 oder ±3\pm 3) werden alle aus der Standardnormalverteilung abgelesen
  • Eingebaute Kontrolle: wenn ein Tabellenwert weit von 68 %, 95 % oder 99,7 % entfernt ist, obwohl er nah dran sein müsste, weißt du, dass ein Schritt falsch war
Sobald du die z-Tabelle ablesen und die drei Flächenregeln anwenden kannst, wird jede Aufgabe zur Normalverteilung zur kurzen Routine.

Anwendungen im echten Leben

Qualitätskontrolle

Fabriken standardisieren jede Messung und sortieren Teile aus, die zu weit vom Sollwert entfernt sind, zum Beispiel mehr als 2 Standardabweichungen.

Beispiel:

Ein Teil mit z=−2,3z = -2{,}3 liegt 2,3 Standardabweichungen unter der Solllänge und wird aussortiert.

1Probiere es selbst

Die Fehler einer Maschine folgen nach dem Standardisieren der Standardnormalverteilung. Ein Teil wird aussortiert, wenn Z<−2Z < -2 oder Z>2Z > 2. Tabelle: Φ(2)=0,9772\Phi(2) = 0{,}9772.

Welcher Anteil der Teile wird aussortiert? Gib eine Dezimalzahl an.

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Zwei gleich große Randflächen: 2⋅(1−0,9772)2 \cdot (1 - 0{,}9772)

Standardisierte Testergebnisse

Manche Prüfungen geben Ergebnisse direkt als z-Werte an, damit man sofort sieht, wie weit man über oder unter dem Durchschnitt liegt.

Beispiel:

Ein Ergebnis von z=0z = 0 ist genau Durchschnitt; z=1z = 1 liegt eine Standardabweichung über dem Durchschnitt.

2Probiere es selbst

Die Ergebnisse einer Prüfung werden als z-Werte angegeben und folgen der Standardnormalverteilung. Tabelle: Φ(0,5)=0,6915\Phi(0{,}5) = 0{,}6915.

Welcher Anteil der Schülerinnen und Schüler hat einen z-Wert über 0,50{,}5?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Fläche nach rechts: 1−Φ(0,5)1 - \Phi(0{,}5)

Fehler der Wettervorhersage

Wetterdienste prüfen, wie weit ihre Temperaturvorhersagen danebenliegen. Bei einer gut kalibrierten Vorhersage kann der Fehler in °C der Standardnormalverteilung folgen: Mittelwert 0, Standardabweichung 1.

Beispiel:

Ein Fehler von −1,2-1{,}2 °C bedeutet, dass die echte Temperatur 1,2 Grad niedriger war als vorhergesagt.

3Probiere es selbst

Die Fehler der Vorhersage für den nächsten Tag (in °C) folgen der Standardnormalverteilung. Tabelle: Φ(1,5)=0,9332\Phi(1{,}5) = 0{,}9332.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt eine Vorhersage um weniger als 1,5 °C daneben, also −1,5<Z<1,5-1{,}5 < Z < 1{,}5?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Dazwischen: Φ(1,5)−Φ(−1,5)\Phi(1{,}5) - \Phi(-1{,}5)

Wichtige Erkenntnisse

  • 1Die Standardnormalverteilung N(0,1)N(0, 1) hat Mittelwert 0 und Standardabweichung 1; ihre Zufallsgröße heißt ZZ
  • 2Standardisiere jeden normalverteilten Wert mit z=x−μσz = \frac{x - \mu}{\sigma} und benutze dann die eine z-Tabelle
  • 3Die z-Tabelle gibt die Fläche LINKS an: Φ(z)=P(Z≤z)\Phi(z) = P(Z \le z); Zeile = erste Nachkommastelle, Spalte = zweite Nachkommastelle
  • 4Fläche nach rechts: P(Z>z)=1−Φ(z)P(Z > z) = 1 - \Phi(z); dazwischen: P(a<Z<b)=Φ(b)−Φ(a)P(a < Z < b) = \Phi(b) - \Phi(a)
  • 5Symmetrie: Φ(−z)=1−Φ(z)\Phi(-z) = 1 - \Phi(z) und Φ(0)=0,5\Phi(0) = 0{,}5
  • 6Kontrolliere jedes Ergebnis mit der 68-95-99,7-Regel: zum Beispiel Φ(1)−Φ(−1)=0,6826≈68 %\Phi(1) - \Phi(-1) = 0{,}6826 \approx 68\,\%

Häufig gestellte Fragen

Beim Standardisieren wird der Mittelwert auf 0 verschoben und die Streuung auf 1 gestaucht oder gestreckt. Die Form bleibt gleich, also ist die Fläche links von xx bei einer Normalverteilung mit Mittelwert μ\mu und Standardabweichung σ\sigma gleich der Fläche links von z=x−μσz = \frac{x - \mu}{\sigma} bei N(0,1)N(0, 1).
Beim Standardisieren wird der Mittelwert auf 0 verschoben und die Streuung auf 1 gestaucht oder gestreckt. Die Form bleibt gleich, also ist die Fläche links von xx bei einer Normalverteilung mit Mittelwert μ\mu und Standardabweichung σ\sigma gleich der Fläche links von z=x−μσz = \frac{x - \mu}{\sigma} bei N(0,1)N(0, 1).
Nutze die Symmetrie: Φ(−z)=1−Φ(z)\Phi(-z) = 1 - \Phi(z). Zum Beispiel Φ(−1,2)=1−0,8849=0,1151\Phi(-1{,}2) = 1 - 0{,}8849 = 0{,}1151. Viele Bücher drucken eine zweite Tabelle für negative zz; beide liefern dieselben Zahlen.
Nein. ZZ ist stetig, daher ist die Wahrscheinlichkeit für genau einen Wert 0. Beide liest du am selben Tabelleneintrag ab.
Die meisten Tabellen enden bei etwa 3,493{,}49, dort ist Φ\Phi schon 0,99980{,}9998. Darüber ist die linke Fläche praktisch 1 und die rechte Randfläche praktisch 0.

Glossar

Standardnormalverteilung
Die Normalverteilung mit Mittelwert 0 und Standardabweichung 1, geschrieben N(0,1)N(0, 1)
Standardisieren
Einen Wert xx in z=x−μσz = \frac{x - \mu}{\sigma} umrechnen, die Anzahl der Standardabweichungen vom Mittelwert
z-Tabelle
Tabelle der Standardnormalverteilung mit den kumulierten Flächen Φ(z)=P(Z≤z)\Phi(z) = P(Z \le z) links von jedem zz
Kumulierte Fläche Φ(z)\Phi(z)
Die Fläche unter der Kurve der Standardnormalverteilung links von zz; sie ist gleich der Wahrscheinlichkeit P(Z≤z)P(Z \le z)
Randfläche
Die Fläche an einem Ende der Kurve, zum Beispiel rechts von z=2z = 2

Formelkarte

Standardisieren

z=x−μσz = \frac{x - \mu}{\sigma}

Macht aus jedem normalverteilten Wert einen Wert von $Z$

Fläche links

P(Z<z)=Φ(z)P(Z < z) = \Phi(z)

Direkt aus der z-Tabelle ablesen

Fläche rechts

P(Z>z)=1−Φ(z)P(Z > z) = 1 - \Phi(z)

Die Gesamtfläche unter der Kurve ist 1

Dazwischen

P(a<Z<b)=Φ(b)−Φ(a)P(a < Z < b) = \Phi(b) - \Phi(a)

Größere linke Fläche minus kleinere linke Fläche

Symmetrie

Φ(−z)=1−Φ(z)\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)

Für negative z-Werte

Heutige ChallengeEine Aufgabe, drei Versuche

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