Einen z-Wert berechnen

Bei einem Mathetest haben die Ergebnisse den Mittelwert $\mu = 74$ Punkte und die Standardabweichung $\sigma = 6$ Punkte. Mia hat $82$ Punkte. Wie groß ist ihr z-Wert?

Schreib die Formel auf: $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ = $x = 82$, $\mu = 74$, $\sigma = 6$

Zieh den Mittelwert ab (Abstand zum Mittelwert): $82 - 74 = 8$ = Mia liegt 8 Punkte über dem Mittelwert

Teile durch die Standardabweichung: $z = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \approx 1{,}33$ = $z \approx 1{,}33$

Answer: $z \approx 1{,}33$: Mia liegt etwa 1,33 Standardabweichungen über dem Klassenmittelwert.

Ein negativer z-Wert

Die Körpergrößen der 15-Jährigen an einer Schule haben $\mu = 170$ cm und $\sigma = 8$ cm. Tom ist $158$ cm groß. Bestimme seinen z-Wert und erkläre, was er bedeutet.

Zieh den Mittelwert ab: $158 - 170 = -12$ = Tom liegt 12 cm unter dem Mittelwert

Teile durch die Standardabweichung: $z = \frac{-12}{8} = -1{,}5$ = $z = -1{,}5$

Deute Vorzeichen und Betrag: Negatives Vorzeichen: unter dem Mittelwert. Betrag $1{,}5$: anderthalb Standardabweichungen = 1,5 Standardabweichungen unter dem Mittelwert

Answer: $z = -1{,}5$: Tom ist 1,5 Standardabweichungen kleiner als der Durchschnitt. Ein negativer z-Wert ist nicht schlecht, er bedeutet nur: unter dem Mittelwert.

Vom z-Wert zurück zum Wert

Die Prüfungsergebnisse haben $\mu = 64$ und $\sigma = 8$. Die Bestnote bekommen alle mit $z \ge 1{,}5$. Welches ist das niedrigste Ergebnis, das die Bestnote bekommt?

Löse die Formel nach x auf: $z = \frac{x - \mu}{\sigma} \Rightarrow x = \mu + z\sigma$ = $x = \mu + z\sigma$

Bestimme, wie weit das über dem Mittelwert liegt: $z\sigma = 1{,}5 \cdot 8 = 12$ = 12 Punkte über dem Mittelwert

Addiere das zum Mittelwert: $x = 64 + 12 = 76$ = $x = 76$

Answer: Ab $76$ Punkten gibt es die Bestnote.

Wer war relativ besser?

Mia hat in einem Mathetest $82$ Punkte ($\mu = 74$, $\sigma = 6$). Leo hat in einem Physiktest in einer anderen Klasse $88$ Punkte ($\mu = 80$, $\sigma = 8$). Leo hat mehr Punkte. Wer war im Vergleich zur eigenen Klasse besser?

Bestimme Mias z-Wert: $z_{Mia} = \frac{82 - 74}{6} = \frac{8}{6} \approx 1{,}33$ = $z_{Mia} \approx 1{,}33$

Bestimme Leos z-Wert: $z_{Leo} = \frac{88 - 80}{8} = \frac{8}{8} = 1$ = $z_{Leo} = 1$

Vergleiche die z-Werte: $1{,}33 > 1$ = Mia sticht in ihrer Klasse stärker heraus

Answer: Mia war relativ besser. Beide lagen 8 Punkte über ihrem Mittelwert, aber in Mias Klasse streuten die Ergebnisse weniger, deshalb entsprechen ihre 8 Punkte mehr Standardabweichungen.

Ist dieser Wert ungewöhnlich?

Das Geburtsgewicht von Neugeborenen ist ungefähr normalverteilt mit $\mu = 3{,}4$ kg und $\sigma = 0{,}5$ kg. Ein Baby wiegt $2{,}2$ kg. Ist dieses Gewicht ungewöhnlich? Bestimme außerdem den Bereich der üblichen Gewichte (innerhalb von 2 Standardabweichungen).

Berechne den z-Wert: $z = \frac{2{,}2 - 3{,}4}{0{,}5} = \frac{-1{,}2}{0{,}5} = -2{,}4$ = $z = -2{,}4$

Vergleiche mit der Faustregel $|z| > 2$: $|-2{,}4| = 2{,}4 > 2$ = Ungewöhnlich (ungewöhnlich leicht)

Bestimme die untere Grenze des üblichen Bereichs: $x = 3{,}4 + (-2) \cdot 0{,}5 = 2{,}4$ = $2{,}4$ kg

Bestimme die obere Grenze des üblichen Bereichs: $x = 3{,}4 + 2 \cdot 0{,}5 = 4{,}4$ = $4{,}4$ kg

Answer: $z = -2{,}4$, also ist $2{,}2$ kg ungewöhnlich leicht. Übliche Gewichte liegen zwischen $2{,}4$ kg und $4{,}4$ kg.

Mistake: In der falschen Reihenfolge abziehen: $\frac{\mu - x}{\sigma}$

Why: Dadurch dreht sich das Vorzeichen um. Ein Wert über dem Mittelwert bekäme einen negativen z-Wert, der das Gegenteil der Wahrheit aussagt.

Correct: Immer Wert minus Mittelwert: $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$. Für $x = 82$, $\mu = 74$, $\sigma = 6$: $z = \frac{8}{6} \approx 1{,}33$, nicht $-1{,}33$.

Mistake: Die Klammern vergessen: $82 - 74 / 6$ in den Taschenrechner tippen

Why: Der Taschenrechner teilt zuerst und rechnet $82 - 12{,}33 = 69{,}67$, das ist überhaupt kein z-Wert.

Correct: Erst subtrahieren, dann teilen: $(82 - 74) / 6 \approx 1{,}33$.

Mistake: Rohwerte aus verschiedenen Tests direkt vergleichen

Why: 88 Punkte in einem Test mit $\mu = 80$, $\sigma = 8$ sind nicht automatisch besser als 82 Punkte in einem Test mit $\mu = 74$, $\sigma = 6$. Die Tests haben verschiedene Mittelwerte und Streuungen.

Correct: Rechne jeden Wert zuerst in einen z-Wert um und vergleiche dann: $1$ gegen $1{,}33$, also sind die 82 Punkte relativ besser.

Mistake: Glauben, ein negativer z-Wert bedeute ein schlechtes Ergebnis

Why: Das Vorzeichen sagt nur, ob der Wert unter oder über dem Mittelwert liegt. Ob das gut ist, hängt vom Zusammenhang ab.

Correct: Bei Laufzeiten oder Preisen ist weniger besser, dann kann $z = -2$ ein hervorragendes Ergebnis sein. Bei Testergebnissen ist mehr besser.

Sport: Sprintzeiten vergleichen

Trainer vergleichen Sportler mit z-Werten. Beim Laufen ist eine kürzere Zeit besser, ein negativer z-Wert bedeutet also schneller als der Durchschnitt.

Bei einem regionalen 100-m-Lauf haben die Zeiten $\mu = 11{,}0$ s und $\sigma = 0{,}2$ s. Eine Zeit von $11{,}3$ s hat $z = \frac{0{,}3}{0{,}2} = 1{,}5$: langsamer als der Durchschnitt.

Medizin: Wachstumskurven

Kinderärzte geben Größe oder Gewicht eines Kindes als z-Wert im Vergleich zu gleichaltrigen Kindern an. Werte unter $z = -2$ werden genauer untersucht.

Ein Kind mit dem Größen-z-Wert $z = 0$ ist genau durchschnittlich für sein Alter, mit $z = 1$ ist es eine Standardabweichung größer als der Durchschnitt.

Qualitätskontrolle: Müslipackungen

Eine Fabrik füllt Müslipackungen ab. Packungen, deren Gewicht $|z| > 2$ hat, werden vom Band genommen und geprüft.

Die Abfüllmaschine liefert $\mu = 500$ g und $\sigma = 4$ g. Eine Packung mit $504$ g hat $z = 1$: völlig normal.

Q: Kann ein z-Wert eine Dezimalzahl oder größer als 3 sein?

A: Ja. Die meisten z-Werte sind Dezimalzahlen wie $1{,}33$ oder $-0{,}75$. Werte über $3$ oder unter $-3$ sind möglich, in einer Normalverteilung aber sehr selten.

Q: Müssen die Daten für einen z-Wert normalverteilt sein?

A: Einen z-Wert kannst du für alle Daten mit Mittelwert und Standardabweichung berechnen. Ihn in einen Prozentsatz umzuwandeln (wie bei der 68-95-99,7-Regel), klappt aber nur gut, wenn die Daten ungefähr normalverteilt sind.

Q: Warum ist der z-Wert des Mittelwerts immer 0?

A: Weil $x - \mu = 0$ ist, wenn $x = \mu$, und $0$ geteilt durch $\sigma$ ist $0$. Der Mittelwert ist null Standardabweichungen von sich selbst entfernt.

Q: Was ist der Unterschied zwischen einem z-Wert und einem Perzentil?

A: Ein z-Wert misst den Abstand in Standardabweichungen, ein Perzentil sagt, wie viel Prozent der Werte darunter liegen. Beides hängt zusammen (bei normalverteilten Daten liegt $z = 1$ etwa beim 84. Perzentil), und das Umrechnen lernst du in den nächsten Lektionen.