z-Werte (Standardisierung)

Lerne, was ein z-Wert aussagt, wie du ihn berechnest, wie du ihn in einen Wert zurückrechnest und wie du Ergebnisse aus verschiedenen Tests vergleichst.

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Definition

Ein z-Wert (auch standardisierter Wert) gibt an, um wie viele Standardabweichungen ein Wert über oder unter dem Mittelwert liegt.
z=x−μσz = \frac{x - \mu}{\sigma}
  • xx ist der Wert, den du betrachtest
  • μ\mu (mü) ist der Mittelwert (Erwartungswert) der Verteilung
  • σ\sigma (sigma) ist die Standardabweichung
So liest du ihn:
  • z>0z > 0: der Wert liegt über dem Mittelwert
  • z<0z < 0: der Wert liegt unter dem Mittelwert
  • z=0z = 0: der Wert ist genau der Mittelwert
  • ∣z∣|z| sagt, wie weit er entfernt ist, gemessen in Standardabweichungen
Beispiel: Bei einem Mathetest mit μ=74\mu = 74 und σ=6\sigma = 6 hat ein Ergebnis von 8282 Punkten den z-Wert z=82−746=86≈1,33z = \frac{82 - 74}{6} = \frac{8}{6} \approx 1{,}33. Das Ergebnis liegt 1,331{,}33 Standardabweichungen über dem Mittelwert.
Zurück von z zu x: Löse die Formel nach xx auf:
x=μ+zσx = \mu + z\sigma
Weil sich die Einheiten wegkürzen (Punkte geteilt durch Punkte), hat ein z-Wert keine Einheit. Genau das macht ihn so nützlich: Du kannst ein Testergebnis, eine Körpergröße und eine Laufzeit auf einer gemeinsamen Skala vergleichen. Einen Wert mit ∣z∣>2|z| > 2 nennt man oft ungewöhnlich, weil er mehr als 2 Standardabweichungen vom Mittelwert entfernt liegt.

Probier es gleich aus

Testergebnisse haben den Mittelwert μ=50\mu = 50 und die Standardabweichung σ=5\sigma = 5. Welchen z-Wert hat ein Ergebnis von 6060?

Lösungsbeispiele

Bei einem Mathetest haben die Ergebnisse den Mittelwert μ=74\mu = 74 Punkte und die Standardabweichung σ=6\sigma = 6 Punkte. Mia hat 8282 Punkte. Wie groß ist ihr z-Wert?
1

Schreib die Formel auf

z=x−μσz = \frac{x - \mu}{\sigma} → x=82x = 82, μ=74\mu = 74, σ=6\sigma = 6
2

Zieh den Mittelwert ab (Abstand zum Mittelwert)

82−74=882 - 74 = 8 → Mia liegt 8 Punkte über dem Mittelwert
3

Teile durch die Standardabweichung

z=86=43≈1,33z = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \approx 1{,}33 → z≈1,33z \approx 1{,}33

Häufige Fehler

In der falschen Reihenfolge abziehen: μ−xσ\frac{\mu - x}{\sigma}

Warum es falsch ist: Dadurch dreht sich das Vorzeichen um. Ein Wert über dem Mittelwert bekäme einen negativen z-Wert, der das Gegenteil der Wahrheit aussagt.

Richtig: Immer Wert minus Mittelwert: z=x−μσz = \frac{x - \mu}{\sigma}. Für x=82x = 82, μ=74\mu = 74, σ=6\sigma = 6: z=86≈1,33z = \frac{8}{6} \approx 1{,}33, nicht −1,33-1{,}33.

Die Klammern vergessen: 82−74/682 - 74 / 6 in den Taschenrechner tippen

Warum es falsch ist: Der Taschenrechner teilt zuerst und rechnet 82−12,33=69,6782 - 12{,}33 = 69{,}67, das ist überhaupt kein z-Wert.

Richtig: Erst subtrahieren, dann teilen: (82−74)/6≈1,33(82 - 74) / 6 \approx 1{,}33.

Rohwerte aus verschiedenen Tests direkt vergleichen

Warum es falsch ist: 88 Punkte in einem Test mit μ=80\mu = 80, σ=8\sigma = 8 sind nicht automatisch besser als 82 Punkte in einem Test mit μ=74\mu = 74, σ=6\sigma = 6. Die Tests haben verschiedene Mittelwerte und Streuungen.

Richtig: Rechne jeden Wert zuerst in einen z-Wert um und vergleiche dann: 11 gegen 1,331{,}33, also sind die 82 Punkte relativ besser.

Glauben, ein negativer z-Wert bedeute ein schlechtes Ergebnis

Warum es falsch ist: Das Vorzeichen sagt nur, ob der Wert unter oder über dem Mittelwert liegt. Ob das gut ist, hängt vom Zusammenhang ab.

Richtig: Bei Laufzeiten oder Preisen ist weniger besser, dann kann z=−2z = -2 ein hervorragendes Ergebnis sein. Bei Testergebnissen ist mehr besser.

Interaktive Visualisierung

Mathetest: μ = 74 Punkte, σ = 6 Punkte. Zieh den Wert und beobachte z

82 · z = 1,33xz56-362-268-1740801862923Punkte im Mathetest (Punkte)

μ = 74 Punkte, σ = 6 Punkte · Ziehe einen Griff oder gib x oder z ein.

z = (x − μ)/σ = (82 − 74)/6 = 1,33

Wer war relativ besser?

z-3-2-10123

Welches Ergebnis ist im Vergleich zur eigenen Gruppe besser? Tippe darauf.

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Ausdrucksrechner

Probiere diese:

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Übungsaufgaben

18 Aufgaben
Aufgabe 1 von 18
Einfach
Testergebnisse haben den Mittelwert μ=50\mu = 50 und die Standardabweichung σ=5\sigma = 5. Welchen z-Wert hat ein Ergebnis von 6060?

Warum es wichtig ist

Rohe Zahlen allein sagen oft wenig aus. Sind 82 Punkte ein gutes Ergebnis? Das hängt davon ab, wie alle anderen abgeschnitten haben. Ein z-Wert beantwortet diese Frage mit einer einzigen Zahl.
  • Schule und Prüfungen: Ergebnisse aus verschiedenen Klassen, Fächern oder Jahrgängen vergleichen, auch wenn die Tests unterschiedlich schwer waren
  • Medizin: Wachstumskurven von Kindern und Knochendichtewerte werden als z-Werte angegeben, ein Kind mit z=−2,5z = -2{,}5 bei der Größe wird ärztlich untersucht
  • Sport: Sportler aus verschiedenen Disziplinen vergleichen, etwa einen Sprinter und einen Weitspringer
  • Qualitätskontrolle: Fabriken markieren Produkte, deren Messwerte ∣z∣>2|z| > 2 oder ∣z∣>3|z| > 3 haben
  • Wirtschaft und Wissenschaft: ungewöhnliche Werte (Ausreißer) in Daten erkennen
In den nächsten Lektionen benutzt du z-Werte, um Flächen und Wahrscheinlichkeiten unter der Glockenkurve zu bestimmen. Das hier ist also der entscheidende Schritt.

Anwendungen im echten Leben

Sport: Sprintzeiten vergleichen

Trainer vergleichen Sportler mit z-Werten. Beim Laufen ist eine kürzere Zeit besser, ein negativer z-Wert bedeutet also schneller als der Durchschnitt.

Beispiel:

Bei einem regionalen 100-m-Lauf haben die Zeiten μ=11,0\mu = 11{,}0 s und σ=0,2\sigma = 0{,}2 s. Eine Zeit von 11,311{,}3 s hat z=0,30,2=1,5z = \frac{0{,}3}{0{,}2} = 1{,}5: langsamer als der Durchschnitt.

1Probiere es selbst

Im selben Lauf (μ=11,0\mu = 11{,}0 s, σ=0,2\sigma = 0{,}2 s) läuft Sara 10,610{,}6 s.

Wie groß ist Saras z-Wert?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne 10,6−11,00,2\frac{10{,}6 - 11{,}0}{0{,}2}:

Medizin: Wachstumskurven

Kinderärzte geben Größe oder Gewicht eines Kindes als z-Wert im Vergleich zu gleichaltrigen Kindern an. Werte unter $z = -2$ werden genauer untersucht.

Beispiel:

Ein Kind mit dem Größen-z-Wert z=0z = 0 ist genau durchschnittlich für sein Alter, mit z=1z = 1 ist es eine Standardabweichung größer als der Durchschnitt.

2Probiere es selbst

Bei 8-Jährigen haben die Körpergrößen μ=128\mu = 128 cm und σ=5,5\sigma = 5{,}5 cm. Eine Ärztin untersucht jedes Kind mit z<−2z < -2.

Unter welcher Größe (in cm) wird ein Kind untersucht?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Benutze x=μ+zσx = \mu + z\sigma mit z=−2z = -2:

Qualitätskontrolle: Müslipackungen

Eine Fabrik füllt Müslipackungen ab. Packungen, deren Gewicht $|z| > 2$ hat, werden vom Band genommen und geprüft.

Beispiel:

Die Abfüllmaschine liefert μ=500\mu = 500 g und σ=4\sigma = 4 g. Eine Packung mit 504504 g hat z=1z = 1: völlig normal.

3Probiere es selbst

Eine Packung auf dem Band wiegt 489489 g (μ=500\mu = 500 g, σ=4\sigma = 4 g).

Wie groß ist der z-Wert dieser Packung?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne 489−5004\frac{489 - 500}{4}:

Wichtige Erkenntnisse

  • 1Ein z-Wert gibt an, um wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt ist: z=x−μσz = \frac{x - \mu}{\sigma}
  • 2Positives z: über dem Mittelwert, negatives z: unter dem Mittelwert, z=0z = 0: genau der Mittelwert
  • 3Um von z zurück zu einem Wert zu kommen, benutze x=μ+zσx = \mu + z\sigma
  • 4Ein z-Wert hat keine Einheit, deshalb kann man Werte aus verschiedenen Verteilungen vergleichen: das größere z liegt relativ höher
  • 5Ein Wert mit ∣z∣>2|z| > 2 gilt meist als ungewöhnlich, er liegt mehr als 2 Standardabweichungen vom Mittelwert entfernt
  • 6Immer erst subtrahieren, dann teilen: (x−μ)/σ(x - \mu) / \sigma

Häufig gestellte Fragen

Ja. Die meisten z-Werte sind Dezimalzahlen wie 1,331{,}33 oder −0,75-0{,}75. Werte über 33 oder unter −3-3 sind möglich, in einer Normalverteilung aber sehr selten.
Ja. Die meisten z-Werte sind Dezimalzahlen wie 1,331{,}33 oder −0,75-0{,}75. Werte über 33 oder unter −3-3 sind möglich, in einer Normalverteilung aber sehr selten.
Einen z-Wert kannst du für alle Daten mit Mittelwert und Standardabweichung berechnen. Ihn in einen Prozentsatz umzuwandeln (wie bei der 68-95-99,7-Regel), klappt aber nur gut, wenn die Daten ungefähr normalverteilt sind.
Weil x−μ=0x - \mu = 0 ist, wenn x=μx = \mu, und 00 geteilt durch σ\sigma ist 00. Der Mittelwert ist null Standardabweichungen von sich selbst entfernt.
Ein z-Wert misst den Abstand in Standardabweichungen, ein Perzentil sagt, wie viel Prozent der Werte darunter liegen. Beides hängt zusammen (bei normalverteilten Daten liegt z=1z = 1 etwa beim 84. Perzentil), und das Umrechnen lernst du in den nächsten Lektionen.

Glossar

z-Wert (standardisierter Wert)
Die Anzahl der Standardabweichungen, um die ein Wert über (positiv) oder unter (negativ) dem Mittelwert liegt
Mittelwert (μ)
Die Mitte der Verteilung, der Durchschnittswert (bei Zufallsgrößen der Erwartungswert)
Standardabweichung (σ)
Ein Maß dafür, wie stark die Werte um den Mittelwert streuen
Standardisieren
Einen Wert xx mit z=x−μσz = \frac{x - \mu}{\sigma} in seinen z-Wert umrechnen
Ungewöhnlicher Wert
Ein Wert, der mehr als 2 Standardabweichungen vom Mittelwert entfernt liegt, also ∣z∣>2|z| > 2

Formelkarte

z-Wert

z=x−μσz = \frac{x - \mu}{\sigma}

Um wie viele Standardabweichungen x vom Mittelwert entfernt ist

Wert aus einem z-Wert

x=μ+zσx = \mu + z\sigma

Einen z-Wert in die ursprüngliche Einheit zurückrechnen

Ungewöhnliche Werte

∣z∣>2|z| > 2

Mehr als 2 Standardabweichungen vom Mittelwert entfernt

Heutige ChallengeEine Aufgabe, drei Versuche

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