Lernstunden und Testpunkte

Fünf Schüler notierten ihre Lernstunden und Testpunkte: $(1, 64)$, $(2, 63)$, $(3, 77)$, $(4, 71)$, $(5, 75)$. Berechne $r$ und deute den Wert.

Bestimme die Mittelwerte: $\bar{x} = \frac{1+2+3+4+5}{5} = 3$, $\bar{y} = \frac{64+63+77+71+75}{5} = \frac{350}{5} = 70$ = $\bar{x} = 3$, $\bar{y} = 70$

Bestimme die Abweichungen: $x_i - \bar{x}$: $-2, -1, 0, 1, 2$ $y_i - \bar{y}$: $-6, -7, 7, 1, 5$ = Jede Summe der Abweichungen ist $0$ (eine schnelle Kontrolle)

Multipliziere die Abweichungen und addiere: $(-2)(-6) + (-1)(-7) + (0)(7) + (1)(1) + (2)(5) = 12 + 7 + 0 + 1 + 10$ = $S_{xy} = 30$

Quadriere die Abweichungen und addiere: $S_{xx} = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10$ $S_{yy} = 36 + 49 + 49 + 1 + 25 = 160$ = $S_{xx} = 10$, $S_{yy} = 160$

Setze in die Formel ein: $r = \frac{30}{\sqrt{10 \cdot 160}} = \frac{30}{\sqrt{1600}} = \frac{30}{40}$ = $r = 0{,}75$

Deute im Sachzusammenhang: Positives Vorzeichen, $|r| = 0{,}75$ liegt im Bereich $0{,}60$ bis $0{,}79$ = Starke positive Korrelation

Answer: $r = 0{,}75$: eine starke positive Korrelation. Wer länger lernte, erzielte meist mehr Punkte. Der Schüler mit 1 Stunde schnitt aber besser ab als der mit 2 Stunden, das Muster ist also nicht perfekt.

Außentemperatur und Heizen

Eine Familie notiert an fünf Tagen die mittlere Außentemperatur (°C) und die Heizenergie (kWh): $(0, 38)$, $(5, 34)$, $(10, 26)$, $(15, 30)$, $(20, 22)$. Berechne $r$ und beschreibe den Zusammenhang.

Bestimme die Mittelwerte: $\bar{x} = \frac{0+5+10+15+20}{5} = 10$, $\bar{y} = \frac{38+34+26+30+22}{5} = \frac{150}{5} = 30$ = $\bar{x} = 10$, $\bar{y} = 30$

Bestimme die Abweichungen: $x_i - \bar{x}$: $-10, -5, 0, 5, 10$ $y_i - \bar{y}$: $8, 4, -4, 0, -8$ = Abweichungen bestimmt

Multipliziere die Abweichungen und addiere: $(-10)(8) + (-5)(4) + (0)(-4) + (5)(0) + (10)(-8) = -80 - 20 + 0 + 0 - 80$ = $S_{xy} = -180$

Quadriere die Abweichungen und addiere: $S_{xx} = 100 + 25 + 0 + 25 + 100 = 250$ $S_{yy} = 64 + 16 + 16 + 0 + 64 = 160$ = $S_{xx} = 250$, $S_{yy} = 160$

Setze in die Formel ein: $r = \frac{-180}{\sqrt{250 \cdot 160}} = \frac{-180}{\sqrt{40000}} = \frac{-180}{200}$ = $r = -0{,}90$

Deute im Sachzusammenhang: Negatives Vorzeichen, $|r| = 0{,}90$ liegt im Bereich $0{,}80$ bis $1{,}00$ = Sehr starke negative Korrelation

Answer: $r = -0{,}90$: eine sehr starke negative Korrelation. An wärmeren Tagen verbrauchte die Familie weniger Heizenergie.

Ist die kausale Aussage gerechtfertigt?

In zehn Herbstwochen zählte eine Stadt Schirmverkäufe und Verkehrsunfälle und fand $r = 0{,}95$. Die Lokalzeitung schreibt: "Regenschirme verursachen Unfälle." Ist diese Aussage gerechtfertigt?

Beschreibe Richtung und Stärke: $r = 0{,}95 > 0$ und $|r| = 0{,}95$ liegt im Bereich $0{,}80$ bis $1{,}00$ = Sehr starke positive Korrelation

Frage, wie die Daten erhoben wurden: Niemandem wurde gesagt, einen Schirm zu kaufen oder nicht; die Stadt hat nur gezählt, was passiert ist = Beobachtungsdaten, kein Experiment

Suche eine Störvariable: In regnerischen Wochen kaufen die Leute Schirme, und nasse Straßen und schlechte Sicht führen auch zu mehr Unfällen = Störvariable: regnerisches Wetter

Fälle ein Urteil: Die Korrelation ist echt, aber der Regen erklärt beide Variablen = Die kausale Aussage ist nicht gerechtfertigt

Answer: Nicht gerechtfertigt. Die Korrelation ist sehr stark ($r = 0{,}95$), aber es sind Beobachtungsdaten, und regnerisches Wetter treibt sowohl den Schirmverkauf als auch die Unfälle. Nur ein kontrolliertes Experiment könnte eine Ursache prüfen.

Ein Ausreißer ändert alles

Eine Schülerin misst Dünger (g) und Pflanzenwachstum (cm): $(1, 2)$, $(2, 4)$, $(3, 6)$, $(4, 8)$, $(5, 0)$. Die letzte Pflanze wurde von einer Schnecke gefressen. Berechne $r$ für alle fünf Pflanzen und vergleiche mit $r$ für die ersten vier.

Betrachte die ersten vier Punkte: $(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8)$ liegen alle auf der Geraden $y = 2x$ = Ohne den Ausreißer: $r = 1$

Bestimme die Mittelwerte aller fünf Punkte: $\bar{x} = \frac{15}{5} = 3$, $\bar{y} = \frac{2+4+6+8+0}{5} = \frac{20}{5} = 4$ = $\bar{x} = 3$, $\bar{y} = 4$

Bestimme die Abweichungen: $x_i - \bar{x}$: $-2, -1, 0, 1, 2$ $y_i - \bar{y}$: $-2, 0, 2, 4, -4$ = Abweichungen bestimmt

Multipliziere die Abweichungen und addiere: $(-2)(-2) + (-1)(0) + (0)(2) + (1)(4) + (2)(-4) = 4 + 0 + 0 + 4 - 8$ = $S_{xy} = 0$

Setze in die Formel ein: $S_{xx} = 10$, $S_{yy} = 4 + 0 + 4 + 16 + 16 = 40$, also $r = \frac{0}{\sqrt{10 \cdot 40}} = \frac{0}{20}$ = Mit dem Ausreißer: $r = 0$

Entscheide, was du berichtest: Die Schnecke ist ein bekannter Grund, der nichts mit dem Dünger zu tun hat = Beide Werte angeben und erklären, warum der Ausreißer entfernt wurde

Answer: Mit dem Ausreißer ist $r = 0$, ohne ihn $r = 1$. Ein einziger Punkt hat eine perfekte Korrelation ausgelöscht. Weil der Ausreißer einen klaren Grund hat (die Schnecke), darf man ihn entfernen, solange man das angibt.

Sonnenschein und Freibadbesucher (r runden)

Ein Freibad vergleicht an vier Tagen die Sonnenstunden mit den Besuchern (in Hunderten): $(2, 4)$, $(4, 5)$, $(6, 9)$, $(8, 10)$. Berechne $r$ auf 2 Nachkommastellen und deute den Wert.

Bestimme die Mittelwerte: $\bar{x} = \frac{2+4+6+8}{4} = 5$, $\bar{y} = \frac{4+5+9+10}{4} = \frac{28}{4} = 7$ = $\bar{x} = 5$, $\bar{y} = 7$

Bestimme die Abweichungen: $x_i - \bar{x}$: $-3, -1, 1, 3$ $y_i - \bar{y}$: $-3, -2, 2, 3$ = Abweichungen bestimmt

Berechne die drei Summen: $S_{xy} = 9 + 2 + 2 + 9 = 22$ $S_{xx} = 9 + 1 + 1 + 9 = 20$ $S_{yy} = 9 + 4 + 4 + 9 = 26$ = $S_{xy} = 22$, $S_{xx} = 20$, $S_{yy} = 26$

Setze ein und runde erst am Ende: $r = \frac{22}{\sqrt{20 \cdot 26}} = \frac{22}{\sqrt{520}} \approx \frac{22}{22{,}80} \approx 0{,}9648$ = $r \approx 0{,}96$

Deute im Sachzusammenhang: Positives Vorzeichen, $|r| \approx 0{,}96$ liegt im Bereich $0{,}80$ bis $1{,}00$ = Sehr starke positive Korrelation

Answer: $r \approx 0{,}96$: eine sehr starke positive Korrelation. Sonnigere Tage gingen mit mehr Besuchern einher. Es ist glaubhaft, dass Sonne Badegäste anlockt, aber vier beobachtete Tage beweisen trotzdem keine Ursache.

Mistake: Die Rohwerte $x_i y_i$ statt der Abweichungen multiplizieren

Why: Die Formel $r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx} S_{yy}}}$ verwendet die Abstände zu den Mittelwerten. Produkte der Rohwerte sind bei positiven Daten immer groß und positiv und liefern ein falsches $r$.

Correct: Ziehe zuerst die Mittelwerte ab. Schnelle Kontrolle: Die Abweichungen jeder Variable ergeben zusammen $0$.

Mistake: Die Wurzel vergessen oder zu früh runden

Why: $\frac{30}{10 \cdot 160} \approx 0{,}019$ ist nicht $r$. Wer $\sqrt{520}$ auf $23$ rundet, erhält $0{,}957$ statt $0{,}965$.

Correct: Ziehe die Wurzel aus $S_{xx} \cdot S_{yy}$ und runde erst das Endergebnis auf 2 Nachkommastellen.

Mistake: Ein starkes $r$ als Beweis sehen, dass eine Variable die andere verursacht

Why: Beobachtungsdaten können eine starke Korrelation zeigen, weil eine Störvariable beide beeinflusst, so wie regnerisches Wetter Schirmverkäufe und Verkehrsunfälle beeinflusst.

Correct: Sage "hängt zusammen mit". Nur ein randomisiertes kontrolliertes Experiment kann eine kausale Aussage rechtfertigen.

Mistake: Einen Ausreißer übersehen oder ohne Grund löschen

Why: Ein Punkt kann $r$ von $1$ auf $0$ ändern. Wer ihn übersieht, verdeckt das Problem; wer ihn löscht, nur weil er stört, ist unehrlich.

Correct: Zeichne die Daten, berechne $r$ mit und ohne Ausreißer und entferne ihn nur mit klarem Grund (Messfehler, Schnecke), und sage, dass du es getan hast.

Sportwissenschaft

Trainer vergleichen wöchentliche Trainingsstunden mit Laufzeiten, um zu prüfen, ob mehr Training mit schnelleren Läufen einhergeht.

Für einen Laufverein sind die Summen $S_{xy} = -45$, $S_{xx} = 25$ und $S_{yy} = 100$. Ein negatives $r$ bedeutet: mehr Training, niedrigere (schnellere) Zeiten.

Nachrichten kritisch lesen

Journalisten und Leser müssen entscheiden, ob eine berichtete Korrelation eine Aussage über Ursache und Wirkung stützt.

Ein Bericht findet $r = 0{,}83$ zwischen der Zahl der Fernseher pro 100 Einwohner eines Landes und der Lebenserwartung, und ein Blog behauptet, Fernseher verlängern das Leben.

Qualitätskontrolle von Sensoren

Ingenieure prüfen Messdaten auf fehlerhafte Werte, weil ein einziger falscher Wert einen perfekten Zusammenhang verdecken kann.

Ein Temperatursensor wird bei fünf Einstellungen getestet: $(2, 10)$, $(4, 14)$, $(6, 18)$, $(8, 22)$ und ein fehlerhafter Wert $(10, 6)$.

Q: Warum ergeben die Abweichungen immer zusammen null?

A: Der Mittelwert ist der Schwerpunkt der Daten: Die Werte darüber und darunter gleichen sich genau aus. Wenn deine Abweichungen nicht $0$ ergeben, steckt ein Fehler im Mittelwert oder in einer Subtraktion.

Q: Ändert sich $r$, wenn man zu jedem Wert dieselbe Zahl addiert?

A: Nein. Eine Konstante verschiebt alle Punkte gemeinsam, die Abweichungen bleiben gleich. Auch das Multiplizieren mit einer positiven Zahl (zum Beispiel Stunden in Minuten) ändert $r$ nicht. Multipliziert man eine Variable mit einer negativen Zahl, dreht sich das Vorzeichen von $r$ um.

Q: Wann darf man einen Ausreißer entfernen?

A: Wenn es einen klaren Grund gibt, der nichts mit dem Ergebnis zu tun hat: einen Messfehler, einen Tippfehler, eine von einer Schnecke gefressene Pflanze. Sage immer, dass du ihn entfernt hast, und gib wenn möglich $r$ mit und ohne den Punkt an.

Q: Wie kann man überhaupt Kausalität zeigen?

A: Mit einem randomisierten kontrollierten Experiment: Teile die Behandlung (zum Beispiel Dünger) zufällig einigen Versuchsobjekten zu und anderen nicht, halte alles andere gleich und vergleiche. Die zufällige Zuteilung verteilt Störvariablen gleichmäßig auf beide Gruppen.