Textaufgaben zur Korrelation

Löse echte Aufgaben zur Korrelation: Berechne r Schritt für Schritt aus kleinen Datensätzen, deute den Wert im Sachzusammenhang, prüfe kausale Aussagen und erkenne den Einfluss von Ausreißern.

Fortgeschritten35 MinLektion
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Definition

Eine Textaufgabe zur Korrelation liefert dir gepaarte Daten aus einer echten Situation und verlangt, dass du den Zusammenhang misst, deutest und beurteilst. Die Formel für den Korrelationskoeffizienten rr kennst du schon aus der Lektion *Korrelationskoeffizient*. Hier setzt du sie als vollständiges Verfahren ein.
Das Fünf-Schritte-Verfahren für einen kleinen Datensatz:
  1. 1.Bestimme die Mittelwerte xˉ\bar{x} und yˉ\bar{y}.
  2. 2.Bestimme jede Abweichung xi−xˉx_i - \bar{x} und yi−yˉy_i - \bar{y}.
  3. 3.Addiere die Produkte: Sxy=∑(xi−xˉ)(yi−yˉ)S_{xy} = \sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}).
  4. 4.Addiere die Quadrate: Sxx=∑(xi−xˉ)2S_{xx} = \sum(x_i - \bar{x})^2 und Syy=∑(yi−yˉ)2S_{yy} = \sum(y_i - \bar{y})^2.
  5. 5.Teile:
    r=SxySxx⋅Syyr = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx} \cdot S_{yy}}}
Beantworte danach die Frage im Sachzusammenhang:
  • Richtung: das Vorzeichen von rr (positiv: beide steigen gemeinsam; negativ: das eine steigt, das andere sinkt).
  • Stärke: die Größe von ∣r∣|r| (Skala unten).
  • Kausalität: Ein starkes rr allein beweist nie, dass eine Variable die andere verursacht. Suche nach einer Störvariable (Drittvariable) und frage, ob die Daten aus einem kontrollierten Experiment stammen.
  • Ausreißer: Ein ungewöhnlicher Punkt kann rr viel stärker oder viel schwächer machen oder sogar das Vorzeichen umdrehen.
rStärke
0,000{,}00 bis 0,190{,}19sehr schwach
0,200{,}20 bis 0,390{,}39schwach
0,400{,}40 bis 0,590{,}59mäßig
0,600{,}60 bis 0,790{,}79stark
0,800{,}80 bis 1,001{,}00sehr stark

Probier es gleich aus

Eine Umfrage unter Jugendlichen ergibt r=−0,85r = -0{,}85 zwischen täglicher Bildschirmzeit und Schlafstunden. Welche Beschreibung ist richtig?

Lösungsbeispiele

Fünf Schüler notierten ihre Lernstunden und Testpunkte: (1,64)(1, 64), (2,63)(2, 63), (3,77)(3, 77), (4,71)(4, 71), (5,75)(5, 75). Berechne rr und deute den Wert.
1

Bestimme die Mittelwerte

xˉ=1+2+3+4+55=3\bar{x} = \frac{1+2+3+4+5}{5} = 3, yˉ=64+63+77+71+755=3505=70\bar{y} = \frac{64+63+77+71+75}{5} = \frac{350}{5} = 70 → xˉ=3\bar{x} = 3, yˉ=70\bar{y} = 70
2

Bestimme die Abweichungen

xi−xˉx_i - \bar{x}: −2,−1,0,1,2-2, -1, 0, 1, 2 yi−yˉy_i - \bar{y}: −6,−7,7,1,5-6, -7, 7, 1, 5 → Jede Summe der Abweichungen ist 00 (eine schnelle Kontrolle)
3

Multipliziere die Abweichungen und addiere

(−2)(−6)+(−1)(−7)+(0)(7)+(1)(1)+(2)(5)=12+7+0+1+10(-2)(-6) + (-1)(-7) + (0)(7) + (1)(1) + (2)(5) = 12 + 7 + 0 + 1 + 10 → Sxy=30S_{xy} = 30
4

Quadriere die Abweichungen und addiere

Sxx=4+1+0+1+4=10S_{xx} = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10 Syy=36+49+49+1+25=160S_{yy} = 36 + 49 + 49 + 1 + 25 = 160 → Sxx=10S_{xx} = 10, Syy=160S_{yy} = 160
5

Setze in die Formel ein

r=3010⋅160=301600=3040r = \frac{30}{\sqrt{10 \cdot 160}} = \frac{30}{\sqrt{1600}} = \frac{30}{40} → r=0,75r = 0{,}75
6

Deute im Sachzusammenhang

Positives Vorzeichen, ∣r∣=0,75|r| = 0{,}75 liegt im Bereich 0,600{,}60 bis 0,790{,}79 → Starke positive Korrelation

Häufige Fehler

Die Rohwerte xiyix_i y_i statt der Abweichungen multiplizieren

Warum es falsch ist: Die Formel r=SxySxxSyyr = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx} S_{yy}}} verwendet die Abstände zu den Mittelwerten. Produkte der Rohwerte sind bei positiven Daten immer groß und positiv und liefern ein falsches rr.

Richtig: Ziehe zuerst die Mittelwerte ab. Schnelle Kontrolle: Die Abweichungen jeder Variable ergeben zusammen 00.

Die Wurzel vergessen oder zu früh runden

Warum es falsch ist: 3010⋅160≈0,019\frac{30}{10 \cdot 160} \approx 0{,}019 ist nicht rr. Wer 520\sqrt{520} auf 2323 rundet, erhält 0,9570{,}957 statt 0,9650{,}965.

Richtig: Ziehe die Wurzel aus Sxx⋅SyyS_{xx} \cdot S_{yy} und runde erst das Endergebnis auf 2 Nachkommastellen.

Ein starkes rr als Beweis sehen, dass eine Variable die andere verursacht

Warum es falsch ist: Beobachtungsdaten können eine starke Korrelation zeigen, weil eine Störvariable beide beeinflusst, so wie regnerisches Wetter Schirmverkäufe und Verkehrsunfälle beeinflusst.

Richtig: Sage "hängt zusammen mit". Nur ein randomisiertes kontrolliertes Experiment kann eine kausale Aussage rechtfertigen.

Einen Ausreißer übersehen oder ohne Grund löschen

Warum es falsch ist: Ein Punkt kann rr von 11 auf 00 ändern. Wer ihn übersieht, verdeckt das Problem; wer ihn löscht, nur weil er stört, ist unehrlich.

Richtig: Zeichne die Daten, berechne rr mit und ohne Ausreißer und entferne ihn nur mit klarem Grund (Messfehler, Schnecke), und sage, dass du es getan hast.

Interaktive Visualisierung

Streudiagramm

Lernstunden und Testpunkte (r = 0,75)

123456065707580LernstundenTestpunkte

ŷ = 3x + 61

r = 0,75 · starke positive Korrelation

Tippe auf einen Punkt, um seine Koordinaten zu sehen.

Streudiagramm

Ein Ausreißer: r fällt von 1 auf 0

1234502468Dünger (g)Wachstum (cm)Ausreißer

ŷ = 4

r = 0 · keine lineare Korrelation

Tippe auf einen Punkt, um seine Koordinaten zu sehen.

Interaktiver Sandkasten

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Probiere diese:

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Übungsaufgaben

18 Aufgaben
Aufgabe 1 von 18
Einfach
Eine Umfrage unter Jugendlichen ergibt r=−0,85r = -0{,}85 zwischen täglicher Bildschirmzeit und Schlafstunden. Welche Beschreibung ist richtig?

Warum es wichtig ist

Korrelationswerte tauchen jeden Tag in Nachrichten, Schulberichten und Forschungsprojekten auf, und viele davon werden falsch gelesen:
  • Gesundheitsnachrichten: "Wer Kaffee trinkt, lebt länger" ist meist eine Korrelation aus einer Umfrage, kein Beweis.
  • Sport: Trainer prüfen, ob mehr Trainingsstunden wirklich mit besseren Laufzeiten einhergehen, bevor sie einen Plan ändern.
  • Handel und Energie: Ein Laden vergleicht Temperatur und Umsatz, eine Familie vergleicht Außentemperatur und Heizverbrauch.
  • Forschungsprojekte: Eine einzige fehlerhafte Messung (ein Ausreißer) kann ein Ergebnis zerstören, wenn niemand das Streudiagramm anschaut.
Wenn du rr selbst berechnen, in einfachen Worten beschreiben und eine falsche kausale Aussage oder einen irreführenden Ausreißer erkennen kannst, kannst du Statistiken beurteilen, statt sie einfach zu glauben.

Anwendungen im echten Leben

Sportwissenschaft

Trainer vergleichen wöchentliche Trainingsstunden mit Laufzeiten, um zu prüfen, ob mehr Training mit schnelleren Läufen einhergeht.

Beispiel:

Für einen Laufverein sind die Summen Sxy=−45S_{xy} = -45, Sxx=25S_{xx} = 25 und Syy=100S_{yy} = 100. Ein negatives rr bedeutet: mehr Training, niedrigere (schnellere) Zeiten.

1Probiere es selbst

Ein Laufverein notiert für seine Mitglieder die Trainingsstunden pro Woche und die 5-km-Zeiten (Minuten). Die Summen sind Sxy=−45S_{xy} = -45, Sxx=25S_{xx} = 25 und Syy=100S_{yy} = 100.

Wie groß ist der Korrelationskoeffizient rr?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne r=SxySxx⋅Syyr = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx} \cdot S_{yy}}}:

Nachrichten kritisch lesen

Journalisten und Leser müssen entscheiden, ob eine berichtete Korrelation eine Aussage über Ursache und Wirkung stützt.

Beispiel:

Ein Bericht findet r=0,83r = 0{,}83 zwischen der Zahl der Fernseher pro 100 Einwohner eines Landes und der Lebenserwartung, und ein Blog behauptet, Fernseher verlängern das Leben.

2Probiere es selbst

Über viele Länder hinweg haben die Zahl der Fernseher pro 100 Einwohner und die Lebenserwartung r=0,83r = 0{,}83. Ein Blog folgert, dass mehr Fernseher die Menschen länger leben lassen.

Ist die kausale Aussage gerechtfertigt?

Schritt 1: Wähle die richtige Antwort

Wähle dein Urteil:

Qualitätskontrolle von Sensoren

Ingenieure prüfen Messdaten auf fehlerhafte Werte, weil ein einziger falscher Wert einen perfekten Zusammenhang verdecken kann.

Beispiel:

Ein Temperatursensor wird bei fünf Einstellungen getestet: (2,10)(2, 10), (4,14)(4, 14), (6,18)(6, 18), (8,22)(8, 22) und ein fehlerhafter Wert (10,6)(10, 6).

3Probiere es selbst

Ein Sensor liefert die Messwerte (2,10)(2, 10), (4,14)(4, 14), (6,18)(6, 18), (8,22)(8, 22), (10,6)(10, 6). Der letzte Wert ist ein bekannter Fehler. Die Mittelwerte sind xˉ=6\bar{x} = 6 und yˉ=14\bar{y} = 14.

Wie groß ist rr, wenn der fehlerhafte Wert entfernt wird?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Vergleiche rr mit und ohne den Fehler:

Wichtige Erkenntnisse

  • 1So berechnest du rr von Hand: Mittelwerte, Abweichungen, SxyS_{xy}, SxxS_{xx}, SyyS_{yy}, dann r=SxySxxSyyr = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx} S_{yy}}}
  • 2Kontrolle: Die Abweichungen jeder Variable ergeben zusammen 00, und rr muss zwischen −1-1 und 11 liegen
  • 3Runde nur den Endwert von rr, meist auf 2 Nachkommastellen
  • 4Deute rr im Sachzusammenhang: Das Vorzeichen gibt die Richtung an, ∣r∣|r| die Stärke
  • 5Eine starke Korrelation aus Beobachtungsdaten rechtfertigt keine kausale Aussage; suche nach Störvariablen
  • 6Ein Ausreißer kann rr verstärken, abschwächen oder sogar umkehren: Zeichne die Daten und vergleiche rr mit und ohne ihn

Häufig gestellte Fragen

Der Mittelwert ist der Schwerpunkt der Daten: Die Werte darüber und darunter gleichen sich genau aus. Wenn deine Abweichungen nicht 00 ergeben, steckt ein Fehler im Mittelwert oder in einer Subtraktion.
Der Mittelwert ist der Schwerpunkt der Daten: Die Werte darüber und darunter gleichen sich genau aus. Wenn deine Abweichungen nicht 00 ergeben, steckt ein Fehler im Mittelwert oder in einer Subtraktion.
Nein. Eine Konstante verschiebt alle Punkte gemeinsam, die Abweichungen bleiben gleich. Auch das Multiplizieren mit einer positiven Zahl (zum Beispiel Stunden in Minuten) ändert rr nicht. Multipliziert man eine Variable mit einer negativen Zahl, dreht sich das Vorzeichen von rr um.
Wenn es einen klaren Grund gibt, der nichts mit dem Ergebnis zu tun hat: einen Messfehler, einen Tippfehler, eine von einer Schnecke gefressene Pflanze. Sage immer, dass du ihn entfernt hast, und gib wenn möglich rr mit und ohne den Punkt an.
Mit einem randomisierten kontrollierten Experiment: Teile die Behandlung (zum Beispiel Dünger) zufällig einigen Versuchsobjekten zu und anderen nicht, halte alles andere gleich und vergleiche. Die zufällige Zuteilung verteilt Störvariablen gleichmäßig auf beide Gruppen.

Glossar

Abweichung
Der Abstand eines Wertes vom Mittelwert, xi−xˉx_i - \bar{x}; sie kann positiv oder negativ sein
SxyS_{xy}
Die Summe der Produkte der Abweichungen, ∑(xi−xˉ)(yi−yˉ)\sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}); ihr Vorzeichen ist das Vorzeichen von rr
SxxS_{xx} und SyyS_{yy}
Die Summen der quadrierten Abweichungen von xx und von yy; sie sind nie negativ
Ausreißer
Ein Datenpunkt weit weg vom Muster der anderen; er kann rr stark verändern
Störvariable (Drittvariable)
Eine Variable, die nicht in der Studie erfasst ist, beide Variablen beeinflusst und eine irreführende Korrelation erzeugen kann
Kontrolliertes Experiment
Eine Studie, in der die Forschenden die Behandlung zufällig zuteilen; die einzige Art von Studie, die eine kausale Aussage rechtfertigen kann

Formelkarte

Korrelationskoeffizient

r=SxySxx⋅Syyr = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx} \cdot S_{yy}}}

$S_{xy} = \sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$, $S_{xx} = \sum(x_i - \bar{x})^2$, $S_{yy} = \sum(y_i - \bar{y})^2$

Kontrollen

∑(xi−xˉ)=0,−1≤r≤1\sum(x_i - \bar{x}) = 0, \quad -1 \le r \le 1

Wenn eine Summe der Abweichungen nicht $0$ ist oder $|r| > 1$ gilt, liegt ein Rechenfehler vor

Stärkeskala

∣r∣: 0,2 schwach, 0,4 ma¨ßig, 0,6 stark, 0,8 sehr stark|r|: \ 0{,}2 \ \text{schwach}, \ 0{,}4 \ \text{mäßig}, \ 0{,}6 \ \text{stark}, \ 0{,}8 \ \text{sehr stark}

Jede Stufe beginnt bei ihrem Wert; unter $0{,}20$ ist die Korrelation sehr schwach

Heutige ChallengeEine Aufgabe, drei Versuche

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