Richtung und Stärke aus r ablesen

Ein Energieversorger findet $r = -0{,}86$ zwischen der Außentemperatur und der Gasmenge, die Haushalte zum Heizen verbrauchen. Beschreibe die Korrelation.

Schau auf das Vorzeichen für die Richtung: $r = -0{,}86$ ist negativ = Negativ: wärmere Tage gehen mit weniger Gas einher

Nimm den Betrag für die Stärke: $\lvert -0{,}86 \rvert = 0{,}86$ = $\lvert r \rvert = 0{,}86$

Vergleiche mit der Faustregel: $0{,}86 \ge 0{,}7$ = Stark

Setze Richtung und Stärke zusammen: negativ + stark = Starke negative lineare Korrelation

Answer: Es gibt eine starke negative lineare Korrelation ($r = -0{,}86$): An wärmeren Tagen verbrauchen Haushalte tendenziell weniger Gas zum Heizen.

Die Streudiagramme A bis D lesen

Sieh dir die Streudiagramme A, B, C und D in dieser Lektion an. Beschreibe jedes und sag, ob $r$ die ganze Geschichte erzählt.

Diagramm A: Temperatur und Kaltgetränke: Die Punkte steigen von links nach rechts und liegen sehr nahe an einer Geraden, $r \approx 0{,}99$ = Stark positiv

Diagramm B: Bildschirmzeit und Schlaf: Die Punkte fallen leicht ab, streuen aber stark, $r \approx -0{,}36$ = Schwach negativ

Diagramm C: Schuhgröße und Testergebnis: Kein Trend nach oben oder unten, $r \approx 0{,}02$ = Fast kein linearer Zusammenhang

Diagramm D: Dünger und Tomaten: Die Punkte bilden eine deutliche Kurve wie ein Hügel, aber $r = 0$ = Starker gekrümmter Zusammenhang, den $r$ nicht sieht

Answer: A ist stark positiv, B ist schwach negativ, C zeigt fast keinen linearen Zusammenhang. D hat $r = 0$, obwohl das Muster sehr deutlich ist: $r$ misst nur Zusammenhänge entlang einer Geraden, also musst du immer das Diagramm ansehen.

Einen Deutungssatz schreiben

Bei 40 Schülerinnen und Schülern beträgt die Korrelation zwischen den täglichen Leseminuten und dem Ergebnis in einem Wortschatztest $r = 0{,}58$. Schreibe einen Deutungssatz.

Richtung aus dem Vorzeichen: $r = 0{,}58 > 0$ = Positiv

Stärke aus $\lvert r \rvert$: $0{,}4 \le 0{,}58 < 0{,}7$ = Mäßig

Nenne beide Variablen im Kontext: tägliche Leseminuten und Ergebnis im Wortschatztest = Kontext genannt

Beschreibe die Tendenz mit "tendenziell": Mehr Lesen geht im Durchschnitt mit höheren Ergebnissen einher, nicht bei jeder einzelnen Person = "tendenziell" verwenden

Answer: Es gibt eine mäßige positive lineare Korrelation ($r = 0{,}58$) zwischen den täglichen Leseminuten und dem Ergebnis im Wortschatztest: Wer mehr liest, erzielt tendenziell höhere Ergebnisse.

Einheiten wechseln ändert r nicht

Für Diagramm A ist $r \approx 0{,}99$ mit Temperaturen in °C. Eine Kollegin rechnet jede Temperatur mit $F = 1{,}8C + 32$ in °F um. Wie groß ist $r$ jetzt?

Rechne einen Wert um, um zu sehen, was passiert: $25\,°C$: $1{,}8 \cdot 25 + 32 = 77\,°F$ = $77\,°F$

Beschreibe die Umrechnung: Jedes $x$ wird mit derselben positiven Zahl $1{,}8$ multipliziert und dann wird $32$ addiert = Die Punkte werden gestreckt und verschoben, nicht umgeformt

Prüfe das Muster: Die Reihenfolge der Punkte und wie nah sie an einer Geraden liegen, bleiben gleich = Gleiches Muster

Gib $r$ an: $r$ hat keine Einheit, also hängt es nicht von den Einheiten von $x$ oder $y$ ab = $r \approx 0{,}99$

Answer: $r$ bleibt bei etwa $0{,}99$. Ein Wechsel der Einheiten (mit einer positiven Zahl multiplizieren und eine Konstante addieren) ändert $r$ nie.

Die Wirkung eines Ausreißers

Sechs Schülerinnen und Schüler übten 1 bis 6 Stunden und erreichten im Quiz 52, 58, 65, 70, 78 und 83 Punkte: $r \approx 0{,}999$. Eine siebte Person übte 7 Stunden, war am Quiztag aber krank und erreichte 40 Punkte (Diagramm E). Mit diesem Punkt ist $r \approx 0{,}14$. Deute beide Werte.

Deute $r$ ohne den Ausreißer: $r \approx 0{,}999$, also $\lvert r \rvert \ge 0{,}7$ = Stark positiv, fast eine perfekte Gerade

Deute $r$ mit dem Ausreißer: $r \approx 0{,}14$, also $\lvert r \rvert < 0{,}4$ = Schwach positiv

Finde heraus, was sich geändert hat: Nur ein Punkt kam dazu: $(7 \mid 40)$, weit unter dem Muster = Ein Ausreißer hat die Stärke von stark zu schwach geändert

Berichte ehrlich: Gib $r$ mit und ohne Ausreißer an und erkläre den ungewöhnlichen Punkt = Den Ausreißer erwähnen

Answer: Ohne den Ausreißer ist die Korrelation stark und positiv ($r \approx 0{,}999$); mit ihm sieht $r \approx 0{,}14$ schwach aus. Ein ungewöhnlicher Punkt verdeckt ein klares Muster, also gib beide Werte an und erkläre den Ausreißer.

Mistake: Zu denken, $r = -0{,}8$ sei schwächer als $r = 0{,}5$, weil $-0{,}8$ die kleinere Zahl ist

Why: Das Vorzeichen zeigt nur die Richtung. Die Stärke ist der Abstand von $0$, also $\lvert r \rvert$.

Correct: Vergleiche $\lvert -0{,}8 \rvert = 0{,}8$ mit $\lvert 0{,}5 \rvert = 0{,}5$: $r = -0{,}8$ ist die stärkere Korrelation.

Mistake: Immer "kein Zusammenhang" zu folgern, wenn $r$ nahe bei $0$ liegt

Why: $r$ misst nur Zusammenhänge entlang einer Geraden. Eine Kurve in Hügel- oder U-Form kann $r = 0$ haben (Diagramm D).

Correct: Sag "kein **linearer** Zusammenhang" und suche im Streudiagramm immer nach Kurven.

Mistake: Zu glauben, $r$ ändere sich, wenn du die Einheiten wechselst, zum Beispiel von cm in Zoll

Why: Beim Einheitenwechsel wird jeder Wert mit derselben positiven Zahl multipliziert (und eventuell eine Konstante addiert). Die Form des Streudiagramms bleibt gleich.

Correct: $r$ hat keine Einheit: Dieselben Daten in cm, m oder Zoll ergeben dasselbe $r$.

Mistake: $r$ zu deuten, ohne nach Ausreißern zu suchen

Why: Ein einziger ungewöhnlicher Punkt kann eine starke Korrelation schwach aussehen lassen (Diagramm E) oder eine schwache stark.

Correct: Zeichne die Daten zuerst. Gibt es einen Ausreißer, nenne $r$ mit und ohne ihn.

Energieverbrauch planen

Energieversorger nutzen die Korrelation zwischen Temperatur und Gasverbrauch, um zu planen, wie viel Gas sie im Winter brauchen.

Bei $r = -0{,}86$ gehen kältere Tage deutlich mit höherem Gasverbrauch einher, also ist eine kalte Wettervorhersage ein gutes Warnsignal.

Kraftstoffverbrauch und Geschwindigkeit

Fahrzeugingenieure wissen, dass der Verbrauch bei sehr niedriger und sehr hoher Geschwindigkeit hoch ist und dazwischen am niedrigsten. Dieses gekrümmte Muster täuscht $r$.

Geschwindigkeiten von 30, 50, 70, 90, 110, 130 und 150 km/h ergeben einen Verbrauch von 8,0; 6,5; 5,5; 5,2; 5,5; 6,5 und 8,0 Litern pro 100 km: eine U-förmige Kurve.

Daten auf Ausreißer prüfen

Datenanalysten prüfen Streudiagramme immer auf Ausreißer, bevor sie eine Korrelation angeben, denn ein falscher oder ungewöhnlicher Wert kann $r$ stark verändern.

In Diagramm E zeigen sechs Personen $r \approx 0{,}999$, aber eine kranke Person mit 7 Stunden Übung und 40 Punkten drückt $r$ auf etwa $0{,}14$.

Q: Ist $r = -0{,}9$ eine schwache Korrelation, weil sie negativ ist?

A: Nein. Das Minuszeichen bedeutet nur, dass die Richtung negativ ist. $\lvert -0{,}9 \rvert = 0{,}9$, also ist es eine starke negative Korrelation, stärker als $r = 0{,}5$.

Q: Warum gibt es in verschiedenen Büchern verschiedene Tabellen für die Stärke?

A: Wo "stark" beginnt, ist eine Konvention, keine mathematische Tatsache. Diese Lektion nutzt $0{,}7$ und $0{,}4$ als Faustregel. Andere Tabellen, wie die in der Lektion Korrelationskoeffizient, verwenden mehr Stufen, zum Beispiel "sehr stark" ab $0{,}8$: In dieser Lektion gehört "sehr stark" einfach zu stark. In jeder Tabelle bedeutet ein größeres $\lvert r \rvert$ einen stärkeren linearen Zusammenhang.

Q: Ändert sich $r$, wenn ich die Körpergröße in Metern statt in Zentimetern messe?

A: Nein. Wenn du jede Größe durch $100$ teilst, ändert sich die Form des Streudiagramms nicht, nur die Zahlen an der Achse. $r$ hat keine Einheit und bleibt genau gleich.

Q: Kann ein Ausreißer eine Korrelation stärker aussehen lassen?

A: Ja. Eine Punktwolke ohne Muster ($r$ nahe $0$) plus ein weit entfernter Punkt oben rechts kann $r$ über $0{,}9$ ergeben. Deshalb prüfst du immer das Diagramm.