Ausgleichsgerade

Eine **Ausgleichsgerade** (auch **Trendlinie**) ist eine Gerade in einem Streudiagramm, die den allgemeinen Trend der Daten zeigt. Sie muss durch keinen der Punkte gehen. Eine gute Ausgleichsgerade **nach Augenmaß**: - hat **etwa die Hälfte der Punkte über** sich und **die Hälfte unter** sich - **folgt der Richtung** der Punkte (steigend, fallend, wie steil) - hat die Punkte entlang ihrer **ganzen Länge** verteilt, nicht alle oben an einem Ende und alle unten am anderen Wenn die Gerade gezeichnet ist, wählst du **zwei Punkte auf der Geraden** (keine Datenpunkte), weit auseinander und auf Gitterpunkten, und bestimmst ihre Gleichung $y = mx + b$: $$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}, \qquad b = y_1 - m x_1$$ Der **Schwerpunkt** (Mittelwertpunkt) $(\bar{x}, \bar{y})$ ist eine gute Hilfe: Die Regressionsgerade nach der Methode der kleinsten Quadrate geht immer durch ihn, also sollte auch eine gute Gerade nach Augenmaß durch ihn oder ganz nah an ihm vorbeigehen.

Welche Gerade passt am besten?

Mia zählt nach jeder Trainingswoche ihre Liegestütze in einer Minute. Woche 1 bis 8: $6, 6, 9, 12, 12, 16, 16, 19$. Drei Schüler zeichnen eine Gerade nach Augenmaß: - Gerade A: $y = 2x + 3$ - Gerade B: $y = 2x + 7$ - Gerade C: $y = 0{,}5x + 9$ Welche Gerade ist die beste Ausgleichsgerade?

Prüfe Gerade B: Gerade B liefert $9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23$ für die Wochen 1 bis 8. Jeder Datenpunkt liegt tiefer. = Alle 8 Punkte liegen unter Gerade B: sie liegt zu hoch

Prüfe Gerade C: Gerade C liefert $9{,}5; 10; 10{,}5; 11; 11{,}5; 12; 12{,}5; 13$. Die Wochen 1 bis 3 liegen darunter, die Wochen 4 bis 8 darüber. = Punkte unten am linken Ende, oben am rechten Ende: Gerade C ist zu flach

Prüfe Gerade A: Gerade A liefert $5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19$. Darüber: Wochen 1, 4, 6. Darunter: Wochen 2, 5, 7. Auf der Geraden: Wochen 3, 8. = 3 darüber, 3 darunter, über die ganze Gerade verteilt

Entscheide: Nur bei Gerade A sind die Punkte auf beiden Seiten über die ganze Länge ausgeglichen, und sie folgt dem steigenden Trend. = Gerade A passt am besten

Answer: Gerade A, $y = 2x + 3$, ist die beste Ausgleichsgerade. Gerade B liegt zu hoch und Gerade C ist zu flach.

Gleichung aus zwei Punkten auf der Geraden

Mias Ausgleichsgerade geht durch die Gitterpunkte $(0, 3)$ und $(5, 13)$. Bestimme ihre Gleichung.

Bestimme die Änderung von y und von x: $13 - 3 = 10$ und $5 - 0 = 5$ = Anstieg $10$, Schritt $5$

Berechne die Steigung: $m = \frac{10}{5} = 2$ = $m = 2$

Bestimme den Achsenabschnitt: Der Punkt $(0, 3)$ liegt auf der y-Achse, also ist $b = 3$ = $b = 3$

Schreibe und prüfe die Gleichung: $y = 2x + 3$. Probe mit $(5, 13)$: $2 \cdot 5 + 3 = 13$ = $y = 2x + 3$

Answer: Die Ausgleichsgerade ist $y = 2x + 3$.

Ein fallender Trend

Ein Café trägt die Außentemperatur $x$ (°C) gegen die Zahl der verkauften Heißgetränke $y$ auf. Die Ausgleichsgerade nach Augenmaß geht durch $(10, 80)$ und $(25, 35)$. Bestimme ihre Gleichung und erkläre die Steigung.

Berechne die Steigung: $m = \frac{35 - 80}{25 - 10} = \frac{-45}{15} = -3$ = $m = -3$

Bestimme b mit einem Punkt: $b = y_1 - m x_1 = 80 - (-3)(10) = 80 + 30 = 110$ = $b = 110$

Schreibe die Gleichung: $y = -3x + 110$ = $y = -3x + 110$

Prüfe mit dem anderen Punkt: $-3 \cdot 25 + 110 = -75 + 110 = 35$ = Die Gerade geht durch $(25, 35)$

Deute die Steigung: Die Steigung ist negativ: Pro Grad wärmer fällt die Gerade um 3 Getränke = Etwa 3 Heißgetränke weniger pro zusätzlichem °C

Answer: $y = -3x + 110$: Pro Grad wärmer verkauft das Café etwa 3 Heißgetränke weniger.

Was bedeuten Steigung und Achsenabschnitt?

Für gebrauchte Fahrräder lautet die Ausgleichsgerade zwischen Alter $x$ (Jahre) und Preis $y$ (€) $y = -40x + 300$. Die Daten umfassen Fahrräder von 1 bis 6 Jahren. Erkläre Steigung und Achsenabschnitt.

Lies die Steigung ab: $m = -40$, gemessen in € pro Jahr = Steigung $-40$

Deute die Steigung: Mit jedem weiteren Jahr Alter sinkt der vorhergesagte Preis um 40 € = Ein Fahrrad verliert etwa 40 € pro Jahr

Lies den Achsenabschnitt ab: $b = 300$, der Wert von $y$ bei $x = 0$ = Achsenabschnitt $300$

Deute den Achsenabschnitt: Alter $0$ bedeutet ein neues Fahrrad. Das liegt knapp außerhalb der Daten (1 bis 6 Jahre), also ist es nur eine grobe Schätzung = Ein neues Fahrrad kostet etwa 300 €

Answer: Die Steigung sagt, dass ein gebrauchtes Fahrrad etwa 40 € pro Jahr verliert. Der Achsenabschnitt sagt, dass ein neues Fahrrad etwa 300 € kostet.

Den Schwerpunkt nutzen

Ein Kiosk notiert an fünf Tagen die Sonnenstunden $x$ und die verkauften Eis $y$: $(1, 4)$, $(3, 7)$, $(4, 10)$, $(6, 12)$, $(6, 17)$. Ein Schüler hat die Gerade $y = 2x + 1$ gezeichnet. Prüfe sie mit dem Schwerpunkt und verbessere sie, ohne die Steigung $2$ zu ändern.

Bestimme den Mittelwert von x: $\bar{x} = \frac{1 + 3 + 4 + 6 + 6}{5} = \frac{20}{5} = 4$ = $\bar{x} = 4$

Bestimme den Mittelwert von y: $\bar{y} = \frac{4 + 7 + 10 + 12 + 17}{5} = \frac{50}{5} = 10$ = $\bar{y} = 10$

Teste die Gerade des Schülers bei x = 4: $2 \cdot 4 + 1 = 9$, aber $\bar{y} = 10$ = Die Gerade verfehlt $(4, 10)$ um 1

Verschiebe die Gerade durch den Schwerpunkt: $b = \bar{y} - m\bar{x} = 10 - 2 \cdot 4 = 2$ = $y = 2x + 2$

Answer: Der Schwerpunkt ist $(4, 10)$. Die verbesserte Gerade ist $y = 2x + 2$, sie geht durch ihn.

Echte Daten liegen nie genau auf einer Geraden, aber oft folgen sie einem klaren Trend: - **Sport**: Eine Trainerin sieht, wie schnell sich eine Sportlerin pro Trainingswoche verbessert - **Geschäfte**: Ein Café sieht, wie viele Heißgetränke es an jedem wärmeren Tag weniger verkauft - **Naturwissenschaft**: Ein Schüler bestimmt aus verstreuten Messungen, wie schnell eine Pflanze pro Tag wächst - **Geld**: Ein Käufer sieht, wie viel Wert ein gebrauchtes Fahrrad pro Jahr verliert Eine Ausgleichsgerade macht aus einer Punktwolke eine einfache Regel $y = mx + b$. Die Steigung sagt, wie stark sich $y$ pro Einheit von $x$ ändert, der Achsenabschnitt, wo der Trend beginnt. Sie ist der erste Schritt, bevor du Vorhersagen machst, Residuen untersuchst und misst, wie gut eine Gerade passt.

Mistake: Die Gerade vom ersten bis zum letzten Datenpunkt zeichnen

Why: Der erste und der letzte Punkt können ungewöhnlich sein. Eine Gerade durch sie hat oft die meisten Punkte auf einer Seite.

Correct: Achte nicht auf einzelne Punkte, sondern auf die ganze Wolke: etwa die Hälfte der Punkte darüber, die Hälfte darunter. Die Gerade darf durch gar keinen Punkt gehen.

Mistake: Die Anzahl der Punkte ausgleichen, aber dem Trend nicht folgen

Why: Eine zu flache Gerade kann 4 Punkte darüber und 4 darunter haben, aber alle tiefen liegen am linken Ende und alle hohen am rechten.

Correct: Prüfe beide Enden: In der Nähe jedes Endes der Geraden sollten Punkte darüber und darunter liegen.

Mistake: Die Steigung aus zwei Datenpunkten statt aus zwei Punkten auf der Geraden berechnen

Why: Datenpunkte liegen meist nicht auf der Geraden, also ist ihre Steigung nicht die Steigung deiner Geraden.

Correct: Lies zwei Punkte ab, die auf deiner gezeichneten Geraden liegen, weit auseinander und auf Gitterpunkten, und rechne dann $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

Mistake: Die Steigung als Wert von y statt als Änderung lesen

Why: Bei $y = 2x + 3$ für Wochen und Liegestütze bedeutet $2$ nicht "2 Liegestütze". Es ist die Änderung pro Woche.

Correct: Nenne die Steigung mit beiden Einheiten: etwa 2 Liegestütze mehr pro Trainingswoche.

Training für einen Lauf

Trainer zeichnen eine Trendlinie durch die Zeiten einer Sportlerin, um zu sehen, um wie viel sie pro Woche schneller wird.

Die 5-km-Zeiten einer Läuferin sinken in einigen Wochen von etwa 30 Minuten auf etwa 22 Minuten. Die Trendlinie zeigt die gleichmäßige Verbesserung, auch an schlechten Tagen.

Limonadenstand

Kleine Verkäufer tragen die Temperatur gegen die Verkäufe auf, um zu planen, wie viel sie vorbereiten.

An heißen Tagen verkauft ein Stand viel mehr Becher. Eine Trendlinie durch die Daten eines Sommers zeigt, wie viele Becher jedes Grad ungefähr zusätzlich bringt.

Experiment zum Pflanzenwachstum

Im Biologieunterricht messen Schüler eine Pflanze alle paar Tage und beschreiben ihre Wachstumsrate mit einer Trendlinie.

Messungen sind nie perfekt, daher streuen die Höhen ein wenig. Die Ausgleichsgerade liefert eine einzige Wachstumsrate in Zentimetern pro Tag.

Eine Ausgleichsgerade ist eine Gerade, die den allgemeinen Trend der Punkte in einem Streudiagramm zeigt

Zeichne sie nach Augenmaß so, dass etwa die Hälfte der Punkte darüber und die Hälfte darunter liegt, über ihre ganze Länge

Die Gerade folgt der Richtung der Daten und darf durch gar keinen Datenpunkt gehen

Bestimme ihre Gleichung aus zwei Punkten auf der Geraden: $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$, dann $b = y_1 - m x_1$

Die Steigung ist die Änderung von $y$ pro Einheit von $x$; der Achsenabschnitt ist der vorhergesagte Wert von $y$ bei $x = 0$, der manchmal keine echte Bedeutung hat

Die Regressionsgerade nach der Methode der kleinsten Quadrate geht immer durch den Schwerpunkt $(\bar{x}, \bar{y})$, also geht eine gute Gerade nach Augenmaß nah an ihm vorbei

Q: Gibt es nur eine richtige Ausgleichsgerade?

A: Nach Augenmaß nicht. Zwei Schüler können leicht verschiedene Geraden zeichnen, und beide sind gut. Ihre Steigungen und Achsenabschnitte liegen nah beieinander. Nur die Regressionsgerade aus der Lektion Lineare Regression ist eine genau festgelegte Gerade.

Q: Muss die Gerade durch den Ursprung gehen?

A: Nein. Die Gerade verläuft dort, wohin die Daten zeigen. Zwinge sie nur dann durch $(0, 0)$, wenn die Situation wirklich bei null beginnt und die Daten dazu passen.

Q: Soll ich Punkte zählen, die genau auf der Geraden liegen?

A: Punkte auf der Geraden zählen für keine Seite. Gleiche die Punkte darüber mit den Punkten darunter aus.

Q: Wann sollte ich keine Ausgleichsgerade zeichnen?

A: Wenn das Streudiagramm keinen Trend zeigt oder die Punkte einer deutlichen Kurve folgen. Eine Gerade ist nur bei einem linearen Muster sinnvoll.

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Ausgleichsgerade

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Statistik / Regression

Ausgleichsgerade

Lerne, eine Ausgleichsgerade nach Augenmaß in ein Streudiagramm zu zeichnen, ihre Gleichung aus zwei Punkten zu bestimmen und Steigung und Achsenabschnitt zu deuten.

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