Muss die Gerade durch den Ursprung gehen?

Nein. Die Gerade verläuft dort, wohin die Daten zeigen. Zwinge sie nur dann durch $(0, 0)$, wenn die Situation wirklich bei null beginnt und die Daten dazu passen.

Soll ich Punkte zählen, die genau auf der Geraden liegen?

Punkte auf der Geraden zählen für keine Seite. Gleiche die Punkte darüber mit den Punkten darunter aus.

Wann sollte ich keine Ausgleichsgerade zeichnen?

Wenn das Streudiagramm keinen Trend zeigt oder die Punkte einer deutlichen Kurve folgen. Eine Gerade ist nur bei einem linearen Muster sinnvoll.

Lehrermaterialien

Ausgleichsgerade

Lerne, eine Ausgleichsgerade nach Augenmaß in ein Streudiagramm zu zeichnen, ihre Gleichung aus zwei Punkten zu bestimmen und Steigung und Achsenabschnitt zu deuten.

Mittelstufe25 MinLektion

Arbeitsblatt zum Drucken

Definition

Eine Ausgleichsgerade (auch Trendlinie) ist eine Gerade in einem Streudiagramm, die den allgemeinen Trend der Daten zeigt. Sie muss durch keinen der Punkte gehen.

Eine gute Ausgleichsgerade nach Augenmaß:

hat etwa die Hälfte der Punkte über sich und die Hälfte unter sich
folgt der Richtung der Punkte (steigend, fallend, wie steil)
hat die Punkte entlang ihrer ganzen Länge verteilt, nicht alle oben an einem Ende und alle unten am anderen

Wenn die Gerade gezeichnet ist, wählst du zwei Punkte auf der Geraden (keine Datenpunkte), weit auseinander und auf Gitterpunkten, und bestimmst ihre Gleichung

y = mx + b

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}, \qquad b = y_1 - m x_1

Der Schwerpunkt (Mittelwertpunkt)

(\bar{x}, \bar{y})

ist eine gute Hilfe: Die Regressionsgerade nach der Methode der kleinsten Quadrate geht immer durch ihn, also sollte auch eine gute Gerade nach Augenmaß durch ihn oder ganz nah an ihm vorbeigehen.

Probier es gleich aus

Welche Beschreibung passt zu einer guten Ausgleichsgerade nach Augenmaß?

Lösungsbeispiele

Mia zählt nach jeder Trainingswoche ihre Liegestütze in einer Minute. Woche 1 bis 8:

6, 6, 9, 12, 12, 16, 16, 19

. Drei Schüler zeichnen eine Gerade nach Augenmaß: - Gerade A:

y = 2x + 3

- Gerade B:

y = 2x + 7

- Gerade C:

y = 0{,}5x + 9

Welche Gerade ist die beste Ausgleichsgerade?

Prüfe Gerade B

Gerade B liefert

9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23

für die Wochen 1 bis 8. Jeder Datenpunkt liegt tiefer. → Alle 8 Punkte liegen unter Gerade B: sie liegt zu hoch

Prüfe Gerade C

Gerade C liefert

9{,}5; 10; 10{,}5; 11; 11{,}5; 12; 12{,}5; 13

. Die Wochen 1 bis 3 liegen darunter, die Wochen 4 bis 8 darüber. → Punkte unten am linken Ende, oben am rechten Ende: Gerade C ist zu flach

Prüfe Gerade A

Gerade A liefert

5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19

. Darüber: Wochen 1, 4, 6. Darunter: Wochen 2, 5, 7. Auf der Geraden: Wochen 3, 8. → 3 darüber, 3 darunter, über die ganze Gerade verteilt

Entscheide

Nur bei Gerade A sind die Punkte auf beiden Seiten über die ganze Länge ausgeglichen, und sie folgt dem steigenden Trend. → Gerade A passt am besten

Antwort: Gerade A, $y = 2x + 3$ , ist die beste Ausgleichsgerade. Gerade B liegt zu hoch und Gerade C ist zu flach.

Häufige Fehler

Die Gerade vom ersten bis zum letzten Datenpunkt zeichnen

Warum es falsch ist: Der erste und der letzte Punkt können ungewöhnlich sein. Eine Gerade durch sie hat oft die meisten Punkte auf einer Seite.

Richtig: Achte nicht auf einzelne Punkte, sondern auf die ganze Wolke: etwa die Hälfte der Punkte darüber, die Hälfte darunter. Die Gerade darf durch gar keinen Punkt gehen.

Die Anzahl der Punkte ausgleichen, aber dem Trend nicht folgen

Warum es falsch ist: Eine zu flache Gerade kann 4 Punkte darüber und 4 darunter haben, aber alle tiefen liegen am linken Ende und alle hohen am rechten.

Richtig: Prüfe beide Enden: In der Nähe jedes Endes der Geraden sollten Punkte darüber und darunter liegen.

Die Steigung aus zwei Datenpunkten statt aus zwei Punkten auf der Geraden berechnen

Warum es falsch ist: Datenpunkte liegen meist nicht auf der Geraden, also ist ihre Steigung nicht die Steigung deiner Geraden.

Richtig: Lies zwei Punkte ab, die auf deiner gezeichneten Geraden liegen, weit auseinander und auf Gitterpunkten, und rechne dann $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ .

Die Steigung als Wert von y statt als Änderung lesen

Warum es falsch ist: Bei $y = 2x + 3$ für Wochen und Liegestütze bedeutet $2$ nicht "2 Liegestütze". Es ist die Änderung pro Woche.

Richtig: Nenne die Steigung mit beiden Einheiten: etwa 2 Liegestütze mehr pro Trainingswoche.

Interaktive Visualisierung

Streudiagramm

Trainingswochen und Liegestütze

ŷ = 1,93x + 3,32

r = 0,982 · starke positive Korrelation

Tippe auf einen Punkt, um seine Koordinaten zu sehen.

Funktionsgraph

Tippe ins Gitter, um einen Punkt zu setzen. Tippe ihn noch einmal an, um ihn zu entfernen.Setze mindestens 2 Punkte, dann siehst du die Gerade durch sie.

Interaktiver Sandkasten

Interaktiver Grapher

Tippe auf den Graphen oder fahre mit der Maus darüber, um Werte abzulesen.

Probiere diese Beispiele:

y = 2x + 3

m=2, b=3

Ausdrucksrechner

Probiere diese:

Verlauf

Noch keine Berechnungen

Übungsaufgaben

18 Aufgaben

Aufgabe 1 von 18

Einfach

Welche Beschreibung passt zu einer guten Ausgleichsgerade nach Augenmaß?

Übungsaufgaben: Ausgleichsgerade

1. Welche Beschreibung passt zu einer guten Ausgleichsgerade nach Augenmaß?
2. Eine Ausgleichsgerade geht durch die Punkte (0, 4) und (5, 14). Wie groß ist ihre Steigung?
3. Eine Ausgleichsgerade geht durch (0, 2) und (4, 10). Bestimme ihre Gleichung y = mx + b.
4. Mias Ausgleichsgerade ist y = 2x + 3, wobei x die Zahl der Trainingswochen und y die Zahl der Liegestütze in einer Minute ist. Was bedeutet die Steigung 2?
5. Eine Ausgleichsgerade nach Augenmaß geht durch (0, 12) und (4, 4). Wie groß ist ihr y-Achsenabschnitt b?
6. Ist die Gerade y = x + 1 eine gute Ausgleichsgerade für die Punkte (1, 3), (2, 2), (3, 5), (4, 4), (5, 7), (6, 6)? Zähle die Punkte darüber und darunter.
7. Ein Schüler zeichnet eine Gerade in ein Streudiagramm mit 8 Punkten. 7 Punkte liegen über der Geraden und 1 darunter, gleichmäßig von links nach rechts verteilt. Wie sollte er die Gerade verbessern?
8. Eine Trendlinie geht durch (2, 9) und (6, 21). Wie groß ist ihre Steigung?
9. Eine Ausgleichsgerade geht durch (10, 80) und (30, 40). Bestimme ihre Gleichung y = mx + b.
10. Der Schwerpunkt eines Datensatzes ist (4, 10). Welche dieser Geraden geht durch ihn?
11. Ein Streudiagramm hat die Punkte (2, 5), (4, 9), (6, 10), (8, 16). Wie groß ist \bar{y}, die y-Koordinate des Schwerpunkts?
12. Daten: (1, 3), (2, 6), (3, 6), (4, 9), (5, 11). Eine Ausgleichsgerade mit der Steigung 2 soll durch den Schwerpunkt gehen. Bestimme ihren Achsenabschnitt b.
13. Die Ausgleichsgerade für den Akkustand y (%) eines Handys nach x Stunden Nutzung ist y = -12x + 100. Deute sie.
14. Für Schüler zwischen 150 cm und 190 cm Körpergröße ist die Ausgleichsgerade zwischen Größe x (cm) und Armspannweite y (cm) y = 1,1x - 18. Was sagt dir der Achsenabschnitt -18?
15. Eine Ausgleichsgerade hat die Steigung -4 und geht durch den Schwerpunkt (5, 30). Wie groß ist ihr Achsenabschnitt b?
16. In einem Streudiagramm wird eine Ausgleichsgerade durch die Punkte (1, 7) und (9, 3) auf der Geraden gezeichnet. Bestimme Steigung und Achsenabschnitt und dann den Wert der Geraden bei x = 5.
17. Der Schwerpunkt eines Datensatzes ist (6, 20). Die Ausgleichsgerade eines Schülers geht durch (0, 5) und (10, 30). Geht sie durch den Schwerpunkt?
18. Die Ausgleichsgerade eines Cafés für den Preis x (in €) und die verkauften Kuchenstücke pro Tag y geht durch den Schwerpunkt (4, 18) und durch (8, 10). Bestimme ihre Gleichung und die Zahl der Kuchenstücke, die sie bei einem Preis von 6 € vorhersagt.

Warum es wichtig ist

Echte Daten liegen nie genau auf einer Geraden, aber oft folgen sie einem klaren Trend:

Sport: Eine Trainerin sieht, wie schnell sich eine Sportlerin pro Trainingswoche verbessert
Geschäfte: Ein Café sieht, wie viele Heißgetränke es an jedem wärmeren Tag weniger verkauft
Naturwissenschaft: Ein Schüler bestimmt aus verstreuten Messungen, wie schnell eine Pflanze pro Tag wächst
Geld: Ein Käufer sieht, wie viel Wert ein gebrauchtes Fahrrad pro Jahr verliert

Eine Ausgleichsgerade macht aus einer Punktwolke eine einfache Regel

y = mx + b

. Die Steigung sagt, wie stark sich

y

pro Einheit von

x

ändert, der Achsenabschnitt, wo der Trend beginnt. Sie ist der erste Schritt, bevor du Vorhersagen machst, Residuen untersuchst und misst, wie gut eine Gerade passt.

Anwendungen im echten Leben

Training für einen Lauf

Trainer zeichnen eine Trendlinie durch die Zeiten einer Sportlerin, um zu sehen, um wie viel sie pro Woche schneller wird.

Beispiel:

Die 5-km-Zeiten einer Läuferin sinken in einigen Wochen von etwa 30 Minuten auf etwa 22 Minuten. Die Trendlinie zeigt die gleichmäßige Verbesserung, auch an schlechten Tagen.

1Probiere es selbst

Die Ausgleichsgerade für die 5-km-Zeit $y$ (Minuten) einer Läuferin nach $x$ Wochen geht durch $(2, 30)$ und $(6, 22)$ .

Wie groß ist die Steigung der Geraden in Minuten pro Woche?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Steigung = Änderung von y geteilt durch Änderung von x:

Limonadenstand

Kleine Verkäufer tragen die Temperatur gegen die Verkäufe auf, um zu planen, wie viel sie vorbereiten.

Beispiel:

An heißen Tagen verkauft ein Stand viel mehr Becher. Eine Trendlinie durch die Daten eines Sommers zeigt, wie viele Becher jedes Grad ungefähr zusätzlich bringt.

2Probiere es selbst

Die Ausgleichsgerade eines Limonadenstands für die Temperatur $x$ (°C) und die verkauften Becher $y$ geht durch $(20, 30)$ und $(30, 50)$ .

Wie groß ist der y-Achsenabschnitt $b$ dieser Geraden?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Bestimme die Steigung und rechne dann $b = y_1 - m x_1$ :

Experiment zum Pflanzenwachstum

Im Biologieunterricht messen Schüler eine Pflanze alle paar Tage und beschreiben ihre Wachstumsrate mit einer Trendlinie.

Beispiel:

Messungen sind nie perfekt, daher streuen die Höhen ein wenig. Die Ausgleichsgerade liefert eine einzige Wachstumsrate in Zentimetern pro Tag.

3Probiere es selbst

Eine Pflanze wird an den Tagen $2, 4, 6, 8$ gemessen, mit den Höhen $3, 6, 8, 11$ cm. Die Ausgleichsgerade hat die Steigung $1{,}3$ und geht durch den Schwerpunkt.

Wie groß ist der Achsenabschnitt $b$ der Geraden?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Setze den Schwerpunkt in $b = \bar{y} - m\bar{x}$ ein:

Wichtige Erkenntnisse

1Eine Ausgleichsgerade ist eine Gerade, die den allgemeinen Trend der Punkte in einem Streudiagramm zeigt
2Zeichne sie nach Augenmaß so, dass etwa die Hälfte der Punkte darüber und die Hälfte darunter liegt, über ihre ganze Länge
3Die Gerade folgt der Richtung der Daten und darf durch gar keinen Datenpunkt gehen
4Bestimme ihre Gleichung aus zwei Punkten auf der Geraden: $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ , dann $b = y_1 - m x_1$
5Die Steigung ist die Änderung von $y$ pro Einheit von $x$ ; der Achsenabschnitt ist der vorhergesagte Wert von $y$ bei $x = 0$ , der manchmal keine echte Bedeutung hat
6Die Regressionsgerade nach der Methode der kleinsten Quadrate geht immer durch den Schwerpunkt $(\bar{x}, \bar{y})$ , also geht eine gute Gerade nach Augenmaß nah an ihm vorbei

Häufig gestellte Fragen

Nach Augenmaß nicht. Zwei Schüler können leicht verschiedene Geraden zeichnen, und beide sind gut. Ihre Steigungen und Achsenabschnitte liegen nah beieinander. Nur die Regressionsgerade aus der Lektion Lineare Regression ist eine genau festgelegte Gerade.

Glossar

Ausgleichsgerade: Eine Gerade in einem Streudiagramm, die den allgemeinen Trend der Daten zeigt (auch Trendlinie genannt)
Steigung: Die Änderung von $y$ , wenn $x$ um 1 wächst; entlang der Geraden $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
Achsenabschnitt: Der Wert von $y$ , an dem die Gerade die y-Achse schneidet, also bei $x = 0$
Schwerpunkt: Der Punkt $(\bar{x}, \bar{y})$ aus dem Mittelwert aller x-Werte und dem Mittelwert aller y-Werte (auch Mittelwertpunkt genannt)
Regressionsgerade: Die genaue Ausgleichsgerade nach der Methode der kleinsten Quadrate; sie geht immer durch den Schwerpunkt

Formelkarte

Steigung aus zwei Punkten

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Nimm zwei Punkte auf der gezeichneten Geraden, keine Datenpunkte

Achsenabschnitt

b = y_1 - m x_1

Setze einen Punkt der Geraden und die Steigung in $y = mx + b$ ein

Ausgleichsgerade

y = mx + b

Die Gleichung der Trendlinie

Schwerpunkt

\bar{y} = m\bar{x} + b

Die Regressionsgerade geht durch $(\bar{x}, \bar{y})$

Heutige ChallengeEine Aufgabe, drei Versuche

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Warum es wichtig ist

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Training für einen Lauf

Limonadenstand

Experiment zum Pflanzenwachstum

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Formelkarte

Steigung aus zwei Punkten

Achsenabschnitt

Ausgleichsgerade

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