Lineare Regression

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Was stellt die Steigung in einer Regressionsgeraden dar?
1. a)Der Durchschnitt aller y-Werte
2. b)Die Anzahl der Datenpunkte
3. c)Wie stark sich y bei jeder Erhöhung von x um eine Einheit ändert
4. d)Der Wert von y wenn x = 0
Lösung: Wie stark sich y bei jeder Erhöhung von x um eine Einheit ändert
Die Steigung gibt an, wie stark sich bei jeder Erhöhung von um eine Einheit ändert. Es ist die Änderungsrate der Beziehung.
2.
In der Regressionsgeraden , was ist der y-Achsenabschnitt?
1. a)10
2. b)3
3. c)13
4. d)30
Lösung: 10
In ist der y-Achsenabschnitt 10. Das ist der Wert von wenn : .
3.
Mit , was ist der vorhergesagte Wert von wenn ?
Lösung: 13
4.
Wenn eine Regressionsgerade die Steigung hat und durch den Punkt verläuft, was ist der y-Achsenabschnitt?
Lösung: 7
Der Punkt bedeutet, wenn , dann . Das ist genau die Definition des y-Achsenabschnitts, also .
5.
Eine Studie findet, dass Testergebnisse () basierend auf Lernstunden () vorhersagt. Was bedeutet die 5?
1. a)Die Basispunktzahl ohne Lernen
2. b)Jede zusätzliche Lernstunde fügt 5 Punkte hinzu
3. c)Die maximal mögliche Punktzahl
4. d)Die Anzahl der Studenten in der Studie
Lösung: Jede zusätzliche Lernstunde fügt 5 Punkte hinzu
Die Steigung 5 bedeutet, dass für jede zusätzliche Lernstunde das vorhergesagte Testergebnis um 5 Punkte steigt. Die 20 ist die Basispunktzahl (y-Achsenabschnitt).
6.
Mit , sage vorher wenn .
Lösung: 40
7.
Was ist ein Residuum in der linearen Regression?
1. a)Die Differenz zwischen tatsächlichen und vorhergesagten Werten
2. b)Der y-Achsenabschnitt der Geraden
3. c)Die Steigung der Regressionsgeraden
4. d)Der Durchschnitt aller x-Werte
Lösung: Die Differenz zwischen tatsächlichen und vorhergesagten Werten
Ein Residuum ist . Es zeigt, wie sehr der tatsächliche Datenpunkt von dem abweicht, was die Regressionsgerade vorhersagt.
8.
Finde den y-Achsenabschnitt einer Regressionsgeraden mit Steigung , die durch verläuft.
Lösung: 5
1. Schreibe die Gleichungsform y = mx + b
2. Setze m = 3, x = 2, y = 11 ein 11 = 3(2) + b
3. Vereinfache 3(2) 6
4. Löse nach b auf: 11 = 6 + b 5
9.
Der tatsächliche Wert ist und der vorhergesagte Wert ist . Was ist das Residuum?
Lösung: 3
Residuum = . Ein positives Residuum bedeutet, dass der tatsächliche Wert über der Regressionsgeraden liegt.
10.
Gegeben , und Steigung , finde den y-Achsenabschnitt.
Lösung: 10
1. Schreibe die Formel für b b = y-bar - m * x-bar
2. Berechne m mal x-bar: 4 × 10 40
3. Subtrahiere von y-bar: 50 - 40 10
11.
Warum solltest du vorsichtig sein, Regression für Vorhersagen weit außerhalb deines Datenbereichs zu verwenden?
1. a)Der y-Achsenabschnitt ist außerhalb des Bereichs undefiniert
2. b)Die Berechnungen werden zu schwierig
3. c)Die Steigung könnte sich außerhalb des Datenbereichs ändern
4. d)Die Beziehung gilt möglicherweise nicht jenseits der beobachteten Daten
Lösung: Die Beziehung gilt möglicherweise nicht jenseits der beobachteten Daten
Extrapolation über deine Daten hinaus nimmt an, dass die lineare Beziehung unbegrenzt weitergeht, aber in der Realität ändern sich Beziehungen oft. Ein linearer Trend in einem Bereich kann außerhalb dieses Bereichs gekrümmt werden oder sich umkehren.
12.
Gegeben Daten: . Finde die Steigung der Regressionsgeraden.
Lösung: 2
1. Berechne x-bar (Mittelwert der x-Werte: 1, 2, 3) 2
2. Berechne y-bar (Mittelwert der y-Werte: 3, 5, 7) 5
3. Berechne Zähler: Summe von (x-x̄)(y-ȳ) 4
4. Berechne Nenner: Summe von (x-x̄)² 2
5. Dividiere für Steigung m = 4/2 2
13.
Eine Regressionsgerade ist . Wenn , was ist das vorhergesagte ?
Lösung: 70
14.
Wenn die Summe der Residuenquadrate für eine Gerade minimiert ist, was bedeutet das?
1. a)Die Gerade verläuft durch alle Punkte
2. b)Alle Residuen sind null
3. c)Dies ist die Ausgleichsgerade
4. d)Die Steigung ist null
Lösung: Dies ist die Ausgleichsgerade
Die Gerade, die die Summe der Residuenquadrate minimiert, ist die Ausgleichsgerade. Das ist die Definition der Regressionsgeraden nach der Methode der kleinsten Quadrate.
15.
Für die Daten mit Steigung , finde die vollständige Regressionsgleichung.
Lösung: y = 2x + 1
1. Finde x-bar 2
2. Finde y-bar 5
3. Verwende b = y-bar - m·x-bar. Berechne m·x-bar 4
4. Berechne b = 5 - 4 1
5. Schreibe die Gleichung y = mx + b y = 2x + 1
16.
Welche dieser Aussagen beschreibt am besten den Zweck der Ausgleichsgeraden?
1. a)Den allgemeinen Trend in den Daten zu zeigen
2. b)Den ersten und letzten Punkt zu verbinden
3. c)Durch jeden Datenpunkt zu verlaufen
4. d)Den Abstand von den Punkten zu maximieren
Lösung: Den allgemeinen Trend in den Daten zu zeigen
Die Ausgleichsgerade zeigt den allgemeinen Trend oder das Muster in den Daten, nicht einzelne Punkte. Sie hilft uns, die Gesamtbeziehung zwischen Variablen zu verstehen.