Eine Punktzahl innerhalb der Daten vorhersagen

Eine Klasse hat Lernstunden ($x$, von 1 bis 8 Stunden) und Testergebnisse ($y$, von 100 Punkten) erfasst. Die Regressionsgerade ist $\hat{y} = 5x + 52$. Sage die Punktzahl einer Schülerin vorher, die $6{,}5$ Stunden lernt.

Prüfe, wo der x-Wert liegt: Die Daten reichen von $1$ bis $8$ Stunden, und $1 \le 6{,}5 \le 8$ = Innerhalb der Daten: Interpolation

Setze x = 6,5 in die Gleichung ein: $\hat{y} = 5(6{,}5) + 52$ = $\hat{y} = 5 \times 6{,}5 + 52$

Multipliziere: $5 \times 6{,}5 = 32{,}5$ = $32{,}5$

Addiere den y-Achsenabschnitt: $32{,}5 + 52 = 84{,}5$ = $\hat{y} = 84{,}5$

Answer: Die vorhergesagte Punktzahl ist $84{,}5$, also etwa $85$ Punkte. Da $6{,}5$ Stunden innerhalb der Daten liegen, ist das eine Interpolation und die Vorhersage ist vernünftig.

Rückwärts auf ein Ziel rechnen

Mit $\hat{y} = 5x + 52$: Lena möchte $80$ Punkte erreichen. Wie viele Stunden sollte sie ungefähr lernen?

Setze das Ziel für ŷ ein: $80 = 5x + 52$ = Eine Gleichung mit $x$

Ziehe auf beiden Seiten den y-Achsenabschnitt ab: $80 - 52 = 5x$ = $28 = 5x$

Teile durch die Steigung: $x = \frac{28}{5} = 5{,}6$ = $x = 5{,}6$ Stunden

Runde in die Richtung, die das Ziel verlangt: Mit $5$ Stunden: $5(5) + 52 = 77 < 80$. Mit $6$ Stunden: $5(6) + 52 = 82 \ge 80$ = Etwa $6$ Stunden einplanen

Answer: Die Gerade ergibt $x = 5{,}6$ Stunden (etwa 5 Stunden 36 Minuten). Um ein Ziel sicher zu erreichen, rundest du auf: Lena sollte etwa $6$ Stunden einplanen.

Interpolation oder Extrapolation?

Sage mit derselben Geraden $\hat{y} = 5x + 52$ (Daten von 1 bis 8 Stunden) die Punktzahl für $3{,}5$ Stunden und für $12$ Stunden vorher. Welcher Vorhersage kannst du trauen?

Schreibe den Datenbereich auf: Kleinstes $x = 1$, größtes $x = 8$ = Bereich: $1$ bis $8$ Stunden

Vorhersage für 3,5 Stunden (innerhalb des Bereichs): $\hat{y} = 5(3{,}5) + 52 = 17{,}5 + 52 = 69{,}5$ = Interpolation: etwa $70$ Punkte

Vorhersage für 12 Stunden (außerhalb des Bereichs): $\hat{y} = 5(12) + 52 = 60 + 52 = 112$ = Extrapolation: $112$ Punkte

Vergleiche mit der Wirklichkeit: Im Test gibt es höchstens $100$ Punkte, $112$ ist also unmöglich. Das geradlinige Muster kann nicht ewig weitergehen. = Nur der ersten Vorhersage kannst du trauen

Answer: Für $3{,}5$ Stunden liegt die Vorhersage bei etwa $70$ Punkten (Interpolation, vernünftig). Für $12$ Stunden liefert die Gerade $112$, was unmöglich ist: Extrapolation weit außerhalb der Daten ist riskant.

Eine Vorhersage sinnvoll runden

Bei einem Schulfest gilt für die Besucherzahl $\hat{y} = 14{,}6x + 23$, wobei $x$ die Anzahl der aufgehängten Plakate ist (Daten von 2 bis 10 Plakaten). Dieses Jahr hängen $4$ Plakate. Mit wie vielen Besuchern ist zu rechnen, und wie viele Stühle sollten aufgestellt werden?

Prüfe den Datenbereich: $2 \le 4 \le 10$ = Interpolation

Multipliziere die Steigung mit x: $14{,}6 \times 4 = 58{,}4$ = $58{,}4$

Addiere den y-Achsenabschnitt: $58{,}4 + 23 = 81{,}4$ = $\hat{y} = 81{,}4$

Runde passend zur Situation: Menschen gibt es nur ganz: etwa $81$ Besucher. Bei Stühlen rundest du auf, damit niemand stehen muss. = Etwa $81$ Besucher, mindestens $82$ Stühle

Answer: Rechne mit etwa $81$ Besuchern. Da die Vorhersage nur eine Schätzung ist und jeder einen Platz braucht, stelle mindestens $82$ Stühle auf (ein paar mehr sind noch sicherer).

Stark oder schwach: Wie sehr kannst du ihr trauen?

Dieselbe Klasse hat zwei Modelle. Lernstunden: $\hat{y} = 5x + 52$ mit $r \approx 0{,}99$. Schlafstunden: $\hat{y} = 2x + 59$ mit $r \approx 0{,}21$. Sage für $7$ Stunden in beiden Modellen die Punktzahl vorher und vergleiche mit den echten Ergebnissen.

Vorhersage mit dem Lernmodell: $\hat{y} = 5(7) + 52 = 35 + 52 = 87$ = Wer 7 Stunden gelernt hat, hatte wirklich $87$ Punkte

Vorhersage mit dem Schlafmodell: $\hat{y} = 2(7) + 59 = 14 + 59 = 73$ = Wer 7 Stunden geschlafen hat, hatte wirklich $62$ und $88$ Punkte

Miss, wie weit die Schlaf-Vorhersage danebenliegt: $73 - 62 = 11$ und $88 - 73 = 15$ = Bis zu $15$ Punkte daneben

Verbinde die Genauigkeit mit r: $r \approx 0{,}99$: Die Punkte liegen dicht an der Geraden. $r \approx 0{,}21$: Die Punkte sind weit um die Gerade verstreut. = Starke Korrelation, verlässliche Vorhersage

Answer: Beide Vorhersagen nutzen dieselbe Methode, aber nur das Lernmodell ist verlässlich. Mit $r \approx 0{,}21$ liefert die Schlafgerade eine grobe Schätzung, die um $15$ Punkte oder mehr danebenliegen kann.

Mistake: Den Ziel-y-Wert für x einsetzen: für eine Zielpunktzahl von $80$ rechnen $5(80) + 52 = 452$

Why: $80$ ist eine Punktzahl, also ein $y$-Wert. Setzt du sie für $x$ ein, beantwortest du eine andere Frage (die Punktzahl nach 80 Lernstunden).

Correct: Setze die Gleichung gleich dem Zielwert und löse nach $x$ auf: $80 = 5x + 52$, also $x = 5{,}6$.

Mistake: Der Extrapolation trauen: $112$ Punkte für $12$ Lernstunden vorhersagen

Why: Das Muster wurde nur zwischen 1 und 8 Stunden beobachtet. Außerhalb davon kann es sich ändern, und hier kann die Punktzahl nicht einmal über 100 liegen.

Correct: Prüfe immer zuerst den Datenbereich. Kennzeichne Vorhersagen außerhalb davon als Extrapolation und behandle sie mit Vorsicht.

Mistake: Runden, ohne an die Situation zu denken: $84{,}5$ Punkte als exakt angeben oder $5{,}6$ Stunden auf $5$ abrunden

Why: Eine Vorhersage ist eine Schätzung, zusätzliche Nachkommastellen täuschen eine Genauigkeit vor, die sie nicht hat. Rundest du bei einem Ziel ab, reicht es eventuell nicht (5 Stunden ergeben nur 77 Punkte).

Correct: Runde auf die Genauigkeit der Daten und runde auf, wenn du ein Ziel erreichen oder alle versorgen musst (Zeit, Stühle, Busse).

Mistake: Jede Vorhersage für gleich verlässlich halten

Why: Eine Gerade lässt sich immer berechnen, auch für verstreute Daten. Mit $r \approx 0{,}21$ können die echten Werte weit von $\hat{y}$ entfernt sein.

Correct: Schau dir zuerst das Streudiagramm oder $r$ an: $|r|$ nahe 1 bedeutet eine verlässliche Vorhersage, $|r|$ nahe 0 nur eine grobe Schätzung.

Wachstumskurven bei Kindern

Ärztinnen und Ärzte vergleichen die Körpergröße eines Kindes mit Wachstumsmodellen. Ein einfaches Modell für 2 bis 10 Jahre ist $\hat{y} = 6x + 77$, wobei $x$ das Alter in Jahren und $\hat{y}$ die Größe in cm ist. Das Modell gilt nur für dieses Alter: Für einen 40-jährigen Erwachsenen würde es $317$ cm vorhersagen.

Mit 5 Jahren sagt das Modell $6(5) + 77 = 107$ cm vorher.

Lieferzeiten schätzen

Essens-Lieferdienste passen Geraden an frühere Bestellungen an, um Lieferzeiten zu schätzen. Eine App fand $\hat{y} = 3x + 8$, wobei $x$ die Entfernung in km ist (Bestellungen von 1 bis 12 km) und $\hat{y}$ die Zeit in Minuten.

Für ein Restaurant in 5 km Entfernung sagt die App $3(5) + 8 = 23$ Minuten vorher.

Akku-Prognosen auf dem Handy

Handys schätzen den restlichen Akkustand aus dem Tempo, in dem er sinkt. Messungen beim Videostreaming ergaben $\hat{y} = 100 - 8x$, wobei $x$ die Stunden Video sind (Daten von 0 bis 10 Stunden) und $\hat{y}$ der Akkustand in Prozent.

Nach 6 Stunden Video sagt das Modell $100 - 8(6) = 52\%$ vorher.

Q: Warum schreiben wir $\hat{y}$ statt $y$?

A: Das Dach zeigt, dass der Wert von der Geraden stammt und eine Vorhersage ist. Der echte, gemessene Wert ist $y$. Wenn du beide trennst, denkst du daran, dass ein echtes Ergebnis über oder unter der Vorhersage liegen kann.

Q: Ist Extrapolation immer falsch?

A: Nicht immer. Knapp außerhalb der Daten (zum Beispiel $x = 0$ oder $x = 9$, wenn die Daten von 1 bis 8 reichen) kann die Schätzung noch brauchbar sein. Je weiter du gehst, desto eher ändert sich das Muster, also sag deutlich, dass du extrapolierst.

Q: Wie nahe an 1 muss $r$ für eine gute Vorhersage liegen?

A: Eine gängige Faustregel: $|r| \ge 0{,}7$ ist stark, $0{,}4$ bis $0{,}7$ ist mäßig und unter $0{,}4$ ist schwach. Auch bei starker Korrelation kann eine einzelne Vorhersage ein paar Punkte danebenliegen.

Q: Kann ich mit derselben Geraden $x$ aus $y$ vorhersagen?

A: Wenn du $y = mx + b$ nach $x$ auflöst, bekommst du eine gute Schätzung für die Planung, wie im Beispiel mit den Lernstunden. Wer in der Statistik nur $x$ vorhersagen will, berechnet eine eigene Gerade mit $x$ als Zielvariable, sieh das Ergebnis also als Schätzung.