Ist Extrapolation immer falsch?

Nicht immer. Knapp außerhalb der Daten (zum Beispiel $x = 0$ oder $x = 9$, wenn die Daten von 1 bis 8 reichen) kann die Schätzung noch brauchbar sein. Je weiter du gehst, desto eher ändert sich das Muster, also sag deutlich, dass du extrapolierst.

Wie nahe an 1 muss $r$ für eine gute Vorhersage liegen?

Eine gängige Faustregel: $|r| \ge 0{,}7$ ist stark, $0{,}4$ bis $0{,}7$ ist mäßig und unter $0{,}4$ ist schwach. Auch bei starker Korrelation kann eine einzelne Vorhersage ein paar Punkte danebenliegen.

Kann ich mit derselben Geraden $x$ aus $y$ vorhersagen?

Wenn du $y = mx + b$ nach $x$ auflöst, bekommst du eine gute Schätzung für die Planung, wie im Beispiel mit den Lernstunden. Wer in der Statistik nur $x$ vorhersagen will, berechnet eine eigene Gerade mit $x$ als Zielvariable, sieh das Ergebnis also als Schätzung.

Lehrermaterialien

Vorhersagen aus Daten treffen

Nutze eine Regressionsgerade, um Werte vorherzusagen, rückwärts auf ein Ziel zu rechnen und zu beurteilen, wann du einer Vorhersage trauen kannst.

Mittelstufe25 MinLektion

Arbeitsblatt zum Drucken

Definition

Sobald du eine Regressionsgerade

\hat{y} = mx + b

hast, kannst du damit Vorhersagen treffen. Das Symbol

\hat{y}

(gelesen "y Dach") ist der vorhergesagte Wert: der Wert, den die Gerade erwartet, kein gemessener Wert.

Es gibt zwei Arten von Fragen:

$y$ aus $x$ vorhersagen**: Setze den $x$ -Wert ein und berechne $\hat{y} = mx + b$ .
$x$ für ein Ziel $y$ finden**: Setze $mx + b$ gleich dem Zielwert und löse auf: $x = \frac{y - b}{m}$ .

Wo der

x

-Wert liegt, ist wichtig:

Interpolation: $x$ liegt innerhalb des Datenbereichs. Die Vorhersage ist meist vernünftig.
Extrapolation: $x$ liegt außerhalb des Datenbereichs. Das Muster muss sich nicht fortsetzen, die Vorhersage ist also riskant.

Wie sehr du einer Vorhersage trauen kannst, hängt von der Stärke der Korrelation ab: Liegt

r

nahe bei

1

oder

-1

, liegen die Punkte dicht an der Geraden und die Vorhersagen sind verlässlich; liegt

r

nahe bei

0

, sind sie nur grobe Schätzungen.

Probier es gleich aus

Eine Regressionsgerade ist

\hat{y} = 4x + 10

. Wie groß ist der vorhergesagte Wert für

x = 5

Lösungsbeispiele

Eine Klasse hat Lernstunden (

x

, von 1 bis 8 Stunden) und Testergebnisse (

y

, von 100 Punkten) erfasst. Die Regressionsgerade ist

\hat{y} = 5x + 52

. Sage die Punktzahl einer Schülerin vorher, die

6{,}5

Stunden lernt.

Prüfe, wo der x-Wert liegt

Die Daten reichen von

1

bis

8

Stunden, und

1 \le 6{,}5 \le 8

→ Innerhalb der Daten: Interpolation

Setze x = 6,5 in die Gleichung ein

\hat{y} = 5(6{,}5) + 52

→

\hat{y} = 5 \times 6{,}5 + 52

Multipliziere

5 \times 6{,}5 = 32{,}5

Addiere den y-Achsenabschnitt

32{,}5 + 52 = 84{,}5

→

\hat{y} = 84{,}5

Antwort: Die vorhergesagte Punktzahl ist $84{,}5$ , also etwa $85$ Punkte. Da $6{,}5$ Stunden innerhalb der Daten liegen, ist das eine Interpolation und die Vorhersage ist vernünftig.

Häufige Fehler

Den Ziel-y-Wert für x einsetzen: für eine Zielpunktzahl von $80$ rechnen $5(80) + 52 = 452$

Warum es falsch ist: $80$ ist eine Punktzahl, also ein $y$ -Wert. Setzt du sie für $x$ ein, beantwortest du eine andere Frage (die Punktzahl nach 80 Lernstunden).

Richtig: Setze die Gleichung gleich dem Zielwert und löse nach $x$ auf: $80 = 5x + 52$ , also $x = 5{,}6$ .

Der Extrapolation trauen: $112$ Punkte für $12$ Lernstunden vorhersagen

Warum es falsch ist: Das Muster wurde nur zwischen 1 und 8 Stunden beobachtet. Außerhalb davon kann es sich ändern, und hier kann die Punktzahl nicht einmal über 100 liegen.

Richtig: Prüfe immer zuerst den Datenbereich. Kennzeichne Vorhersagen außerhalb davon als Extrapolation und behandle sie mit Vorsicht.

Runden, ohne an die Situation zu denken: $84{,}5$ Punkte als exakt angeben oder $5{,}6$ Stunden auf $5$ abrunden

Warum es falsch ist: Eine Vorhersage ist eine Schätzung, zusätzliche Nachkommastellen täuschen eine Genauigkeit vor, die sie nicht hat. Rundest du bei einem Ziel ab, reicht es eventuell nicht (5 Stunden ergeben nur 77 Punkte).

Richtig: Runde auf die Genauigkeit der Daten und runde auf, wenn du ein Ziel erreichen oder alle versorgen musst (Zeit, Stühle, Busse).

Jede Vorhersage für gleich verlässlich halten

Warum es falsch ist: Eine Gerade lässt sich immer berechnen, auch für verstreute Daten. Mit $r \approx 0{,}21$ können die echten Werte weit von $\hat{y}$ entfernt sein.

Richtig: Schau dir zuerst das Streudiagramm oder $r$ an: $|r|$ nahe 1 bedeutet eine verlässliche Vorhersage, $|r|$ nahe 0 nur eine grobe Schätzung.

Interaktive Visualisierung

Funktionsgraph

Lernstunden x = 6,5

Tippe auf den Graphen oder fahre mit der Maus darüber, um Werte abzulesen.

Vorhergesagte Punktzahl ŷ = 5x + 52 = 84,5
Stunden außerhalb des Datenbereichs (0 = Interpolation) = 0 h

ŷ = 5x + 52Höchstpunktzahl 100Daten ab 1 hDaten bis 8 h

Streudiagramm

Starke Korrelation: Lernstunden und Punktzahl

ŷ = 5x + 52

r = 0,992 · starke positive Korrelation

Tippe auf einen Punkt, um seine Koordinaten zu sehen.

Streudiagramm

Schwache Korrelation: Schlafstunden und Punktzahl

ŷ = 2x + 59

r = 0,209 · schwache positive Korrelation

Tippe auf einen Punkt, um seine Koordinaten zu sehen.

Interaktiver Sandkasten

Ausdrucksrechner

Probiere diese:

Verlauf

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Übungsaufgaben

18 Aufgaben

Aufgabe 1 von 18

Einfach

Eine Regressionsgerade ist

\hat{y} = 4x + 10

. Wie groß ist der vorhergesagte Wert für

x = 5

Übungsaufgaben: Vorhersagen aus Daten treffen

1. Eine Regressionsgerade ist \hat{y} = 4x + 10. Wie groß ist der vorhergesagte Wert für x = 5?
2. Die Regressionsgerade eines Datensatzes ist \hat{y} = 3x + 12. Sage \hat{y} für x = 6 vorher.
3. Die Daten in einem Streudiagramm haben x-Werte von 2 bis 10. Für welchen x-Wert ist eine Vorhersage eine Interpolation?
4. Die Höhe einer Pflanze in mm folgt \hat{y} = 2{,}5x + 40, wobei x die Anzahl der Tage ist (Daten von Tag 1 bis Tag 10). Sage die Höhe am Tag 4 vorher.
5. Ein Laden beschreibt seine täglichen Regenschirmverkäufe mit \hat{y} = 6x + 20, wobei x die Regenmenge in mm ist (Daten von 0 bis 12 mm). Sage die Verkäufe an einem Tag mit 7 mm Regen vorher.
6. Vier Datensätze haben jeweils eine Regressionsgerade. Welcher Korrelationskoeffizient liefert die verlässlichsten Vorhersagen?
7. Ein Modell sagt eine Punktzahl mit \hat{y} = 4x + 18 vorher, wobei x die Übungsstunden sind (Daten von 2 bis 15 Stunden). Für welches x ist die vorhergesagte Punktzahl 50?
8. Mit \hat{y} = 5x + 52 (x = Lernstunden, \hat{y} = Punktzahl): Wie viele Lernstunden sagen eine Punktzahl von 87 vorher?
9. Ein Schulfest beschreibt die Besucherzahl mit \hat{y} = 14{,}6x + 23, wobei x die Anzahl der Plakate ist (Daten von 2 bis 10 Plakaten). Sage die Besucherzahl für 6 Plakate vorher, gerundet auf eine ganze Zahl.
10. Die Gerade \hat{y} = 5x + 52 wurde an Daten von 1 bis 8 Lernstunden angepasst. Für 12 Stunden sagt sie 112 von 100 Punkten vorher. Was ist das Problem?
11. Beim Spielen folgt der Akkustand eines Handys \hat{y} = 100 - 12x (Prozent), wobei x die Spielstunden sind (Daten von 0 bis 6 Stunden). Sage den Akkustand nach 4{,}5 Stunden vorher.
12. Mit dem Akkumodell \hat{y} = 100 - 12x (x in Stunden, \hat{y} in Prozent): Nach wie vielen Stunden sagt das Modell einen Akkustand von 40\% vorher?
13. Ein Regressionsmodell sagt, dass Tom 5,6 Stunden lernen muss, um seine Zielpunktzahl zu erreichen. Welcher Plan ist am sinnvollsten?
14. Eine Regressionsgerade hat die Steigung m = 2{,}5 und verläuft durch den Mittelwertpunkt (\bar{x}, \bar{y}) = (4, 30). Sage \hat{y} für x = 6 vorher.
15. Ein Wachstumsmodell für Kinder von 2 bis 10 Jahren ist \hat{y} = 6x + 77 (Größe in cm, Alter x in Jahren). Jemand nutzt es, um die Größe eines 40-Jährigen vorherzusagen.
16. Eine Regressionsgerade ist \hat{y} = 2{,}4x + 15{,}6. Für welches x ist der vorhergesagte Wert 39{,}6?
17. Eine Klasse hat zwei Modelle für die Punktzahl: Lernstunden, \hat{y} = 5x + 52 mit r \approx 0{,}99, und Schlafstunden, \hat{y} = 2x + 59 mit r \approx 0{,}21. Beide werden für x = 6 Stunden genutzt.
18. Mit \hat{y} = 5x + 52 (x = Lernstunden, Daten von 1 bis 8 Stunden) möchte Mia mindestens 90 Punkte erreichen. Wie viele ganze Stunden sollte sie einplanen?

Warum es wichtig ist

Vorhersagen sind der Hauptgrund, warum man überhaupt eine Gerade an Daten anpasst:

Planung: Ein Schulfest schätzt, wie viele Besucher kommen, und weiß so, wie viele Stühle es aufstellen muss.
Gesundheit: Ärztinnen und Ärzte vergleichen die Körpergröße eines Kindes mit Wachstumsmodellen, um zu sehen, ob es sich normal entwickelt.
Liefer-Apps: Apps schätzen aus der Entfernung zum Restaurant, wie lange deine Bestellung dauert.
Akkus: Handys schätzen aus dem Tempo, in dem der Akku leer wird, wie viele Stunden noch bleiben.

Eine Vorhersage nützt nur, wenn du auch weißt, wie sehr du ihr trauen kannst. Wer Interpolation und Extrapolation unterscheidet, sinnvoll rundet und die Korrelation prüft, glaubt keinen Zahlen wie 112 von 100 Punkten in einem Test.

Anwendungen im echten Leben

Wachstumskurven bei Kindern

Ärztinnen und Ärzte vergleichen die Körpergröße eines Kindes mit Wachstumsmodellen. Ein einfaches Modell für 2 bis 10 Jahre ist $\hat{y} = 6x + 77$, wobei $x$ das Alter in Jahren und $\hat{y}$ die Größe in cm ist. Das Modell gilt nur für dieses Alter: Für einen 40-jährigen Erwachsenen würde es $317$ cm vorhersagen.

Beispiel:

Mit 5 Jahren sagt das Modell $6(5) + 77 = 107$ cm vorher.

1Probiere es selbst

Ein Wachstumsmodell für 2 bis 10 Jahre ist $\hat{y} = 6x + 77$ (Größe in cm, Alter $x$ in Jahren).

Welche Größe sagt das Modell für ein 8-jähriges Kind vorher?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Setze $x = 8$ ein:

Lieferzeiten schätzen

Essens-Lieferdienste passen Geraden an frühere Bestellungen an, um Lieferzeiten zu schätzen. Eine App fand $\hat{y} = 3x + 8$, wobei $x$ die Entfernung in km ist (Bestellungen von 1 bis 12 km) und $\hat{y}$ die Zeit in Minuten.

Beispiel:

Für ein Restaurant in 5 km Entfernung sagt die App $3(5) + 8 = 23$ Minuten vorher.

2Probiere es selbst

Das Liefermodell ist $\hat{y} = 3x + 8$ (Minuten, Entfernung $x$ in km, Daten von 1 bis 12 km). Die App möchte eine Lieferung in 35 Minuten versprechen.

Bis zu welcher Entfernung in km kann die App das versprechen?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Löse $35 = 3x + 8$ nach $x$ auf:

Akku-Prognosen auf dem Handy

Handys schätzen den restlichen Akkustand aus dem Tempo, in dem er sinkt. Messungen beim Videostreaming ergaben $\hat{y} = 100 - 8x$, wobei $x$ die Stunden Video sind (Daten von 0 bis 10 Stunden) und $\hat{y}$ der Akkustand in Prozent.

Beispiel:

Nach 6 Stunden Video sagt das Modell $100 - 8(6) = 52\%$ vorher.

3Probiere es selbst

Das Akkumodell ist $\hat{y} = 100 - 8x$ (Prozent, $x$ in Stunden, Daten von 0 bis 10 Stunden). Jemand fragt, was der Akku nach 15 Stunden Video anzeigen wird.

Welchen Wert sagt das Modell für 15 Stunden vorher?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Setze $x = 15$ ein:

Wichtige Erkenntnisse

1Um $y$ vorherzusagen, setzt du $x$ in $\hat{y} = mx + b$ ein; $\hat{y}$ ist ein vorhergesagter Wert, kein gemessener
2Um das $x$ für ein Ziel $y$ zu finden, setzt du $mx + b$ gleich dem Zielwert und löst auf: $x = \frac{y - b}{m}$
3Interpolation sagt innerhalb des Datenbereichs vorher und ist meist vernünftig
4Extrapolation sagt außerhalb des Datenbereichs vorher und ist riskant: Sie kann sogar unmögliche Werte liefern
5Runde Vorhersagen auf eine sinnvolle Genauigkeit und runde auf, wenn du ein Ziel erreichen oder alle versorgen musst
6Vorhersagen sind verlässlich, wenn $|r|$ nahe bei 1 liegt, und nur grobe Schätzungen, wenn $r$ nahe bei 0 liegt

Häufig gestellte Fragen

Das Dach zeigt, dass der Wert von der Geraden stammt und eine Vorhersage ist. Der echte, gemessene Wert ist

y

. Wenn du beide trennst, denkst du daran, dass ein echtes Ergebnis über oder unter der Vorhersage liegen kann.

Glossar

Vorhergesagter Wert $\hat{y}$: Der Wert von $y$ , den die Regressionsgerade für ein gewähltes $x$ liefert
Datenbereich: Das Intervall vom kleinsten bis zum größten $x$ -Wert in den Daten
Interpolation: Eine Vorhersage für einen $x$ -Wert innerhalb des Datenbereichs
Extrapolation: Eine Vorhersage für einen $x$ -Wert außerhalb des Datenbereichs; riskant, weil sich das Muster ändern kann
Erklärende Variable: Die Variable $x$ , mit der die Vorhersage gemacht wird (zum Beispiel Lernstunden)
Zielvariable: Die Variable $y$ , die vorhergesagt wird (zum Beispiel die Punktzahl)

Formelkarte

y aus x vorhersagen

\hat{y} = mx + b

Setze den x-Wert ein und rechne aus

x für ein Ziel y finden

x = \frac{y - b}{m}

Ziehe den y-Achsenabschnitt ab und teile dann durch die Steigung

Interpolations-Check

x_{\min} \le x \le x_{\max}

Liegt x innerhalb des Datenbereichs, ist die Vorhersage eine Interpolation, sonst eine Extrapolation

Heutige ChallengeEine Aufgabe, drei Versuche

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Funktionsgraph

Streudiagramm

Starke Korrelation: Lernstunden und Punktzahl

Streudiagramm

Schwache Korrelation: Schlafstunden und Punktzahl

Interaktiver Sandkasten

Ausdrucksrechner

Verlauf

Übungsaufgaben

Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Wachstumskurven bei Kindern

Lieferzeiten schätzen

Akku-Prognosen auf dem Handy

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

y aus x vorhersagen

x für ein Ziel y finden

Interpolations-Check

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