Steigung und Achsenabschnitt im Kontext deuten

Ein Café hat an fünf Vormittagen die Außentemperatur $x$ (in °C, von $0$ bis $20$) und die Anzahl $y$ verkaufter Heißgetränke notiert. Die Regressionsgerade ist $\hat{y} = 110 - 3x$. Deute Steigung und Achsenabschnitt.

Steigung und Achsenabschnitt ablesen: $\hat{y} = -3x + 110$, also $m = -3$ und $b = 110$ = $m = -3$, $b = 110$

Steigung mit Einheiten deuten: Pro 1 °C wärmer ändert sich die vorhergesagte Anzahl Heißgetränke um $-3$ = Im Mittel etwa 3 Heißgetränke weniger pro zusätzlichem Grad

Achsenabschnitt mit Einheiten deuten: Bei $x = 0$ °C sagt das Modell $\hat{y} = 110 - 3 \cdot 0 = 110$ voraus = Etwa 110 Heißgetränke an einem Vormittag mit 0 °C

Prüfen, ob der Achsenabschnitt sinnvoll ist: $0$ °C ist eine reale Temperatur und liegt im Datenbereich von $0$ bis $20$ = Der Achsenabschnitt hat hier eine echte Bedeutung

Answer: Steigung: Pro 1 °C Temperaturanstieg verkauft das Café laut Modell etwa 3 Heißgetränke weniger. Achsenabschnitt: An einem Vormittag mit 0 °C sagt das Modell etwa 110 Heißgetränke voraus; das ist sinnvoll, weil 0 °C zu den Daten gehört.

Die Regressionsgerade nach der Methode der kleinsten Quadrate aufstellen

Fünf Schülerinnen und Schüler haben ihre wöchentlichen Lernstunden $x$ und ihr Testergebnis $y$ (von 100 Punkten) angegeben: | Stunden $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |---|---|---|---|---|---| | Punkte $y$ | 52 | 60 | 68 | 76 | 74 | Bestimme die Regressionsgerade nach der Methode der kleinsten Quadrate.

Mittelwerte bestimmen: $\bar{x} = \frac{1+2+3+4+5}{5} = 3$, $\bar{y} = \frac{52+60+68+76+74}{5} = \frac{330}{5} = 66$ = $\bar{x} = 3$, $\bar{y} = 66$

Abweichungen von den Mittelwerten bestimmen: $x - \bar{x}$: $-2, -1, 0, 1, 2$; $y - \bar{y}$: $-14, -6, 2, 10, 8$ = Abweichungen notiert

Summen für die Steigung berechnen: $\sum(x-\bar{x})(y-\bar{y}) = 28 + 6 + 0 + 10 + 16 = 60$; $\sum(x-\bar{x})^2 = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10$ = $60$ und $10$

Steigung bestimmen: $m = \frac{60}{10} = 6$ = $m = 6$

Achsenabschnitt bestimmen: $b = \bar{y} - m\bar{x} = 66 - 6 \cdot 3 = 48$ = $b = 48$

Answer: Die Regressionsgerade ist $\hat{y} = 6x + 48$: Jede zusätzliche Lernstunde pro Woche geht im Mittel mit etwa 6 Punkten mehr im Test einher.

Interpolation oder Extrapolation?

Verwende $\hat{y} = 6x + 48$ aus den Lerndaten (Stunden von $1$ bis $5$). Sage das Testergebnis für jemanden voraus, der $2{,}5$ Stunden lernt, und für jemanden, der $9$ Stunden lernt. Welcher Vorhersage kannst du trauen?

Vorhersage für 2,5 Stunden: $\hat{y} = 6 \cdot 2{,}5 + 48 = 15 + 48 = 63$ = $\hat{y} = 63$ Punkte

Erste Vorhersage einordnen: $2{,}5$ liegt zwischen $1$ und $5$, also innerhalb der Daten = Interpolation

Vorhersage für 9 Stunden: $\hat{y} = 6 \cdot 9 + 48 = 54 + 48 = 102$ = $\hat{y} = 102$ Punkte

Zweite Vorhersage einordnen und beurteilen: $9$ liegt weit über $5$, und $102$ ist mehr als das Maximum von $100$ Punkten = Extrapolation, nicht glaubwürdig

Answer: Für 2,5 Stunden sagt das Modell 63 Punkte voraus (Interpolation, plausibel). Für 9 Stunden sagt es 102 Punkte voraus, was bei einem Test mit 100 Punkten unmöglich ist: Das ist eine Extrapolation weit außerhalb der Daten, dort darf man die Gerade nicht verwenden.

Residuen von zwei Lernenden

Bestimme mit $\hat{y} = 6x + 48$ die Residuen der Person, die $4$ Stunden gelernt und $76$ Punkte erreicht hat, und der Person, die $5$ Stunden gelernt und $74$ Punkte erreicht hat. Was sagen sie dir?

Vorhergesagte Punktzahl für 4 Stunden: $\hat{y} = 6 \cdot 4 + 48 = 72$ = $\hat{y} = 72$

Residuum für 4 Stunden: $e = y - \hat{y} = 76 - 72 = 4$ = $e = 4$ (über der Geraden)

Vorhergesagte Punktzahl für 5 Stunden: $\hat{y} = 6 \cdot 5 + 48 = 78$ = $\hat{y} = 78$

Residuum für 5 Stunden: $e = 74 - 78 = -4$ = $e = -4$ (unter der Geraden)

Answer: Die Person mit 4 Stunden hat 4 Punkte mehr erreicht als vorhergesagt (Residuum $4$), die Person mit 5 Stunden 4 Punkte weniger als vorhergesagt (Residuum $-4$). Tippe im Diagramm oben auf einen Punkt, um sein Residuum zu sehen.

Wie gut passt die Gerade? r und R²

Bei den Café-Daten sind die Residuen $5, -10, 0, 10, -5$, und die Gesamtstreuung der Verkäufe ist $\sum(y - \bar{y})^2 = 2500$. Bestimme $R^2$ und $r$ und erkläre beide im Kontext.

Summe der quadrierten Residuen: $25 + 100 + 0 + 100 + 25 = 250$ = $SS_{\text{res}} = 250$

Bestimmtheitsmaß: $R^2 = 1 - \frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}} = 1 - \frac{250}{2500} = 1 - 0{,}1 = 0{,}9$ = $R^2 = 0{,}90$

Korrelationskoeffizient: $r = -\sqrt{0{,}9} \approx -0{,}95$ (negativ, weil die Steigung $-3$ negativ ist) = $r \approx -0{,}95$

Beides im Kontext deuten: $r$: starker negativer linearer Zusammenhang; $R^2$: $90\,\%$ der Streuung der verkauften Heißgetränke werden durch die Temperatur erklärt = Gute Anpassung, 10 % bleiben für andere Faktoren

Answer: $R^2 = 0{,}90$: Etwa 90 % der Streuung der Anzahl verkaufter Heißgetränke werden durch den linearen Zusammenhang mit der Temperatur erklärt; die übrigen 10 % stammen von anderen Faktoren (Wochentag, Veranstaltungen, Zufall). $r \approx -0{,}95$: ein starker negativer linearer Zusammenhang, wärmere Vormittage gehen mit weniger Heißgetränken einher.

Mistake: Die Steigung als nackte Zahl angeben: "die Steigung ist 6"

Why: Eine Zahl ohne Kontext beantwortet die Frage nicht. Die Steigung ist eine Änderungsrate: Sie braucht Einheiten und das Wort "vorhergesagt" oder "im Mittel", weil echte Punkte um die Gerade streuen.

Correct: Sag: "Pro zusätzlicher Lernstunde pro Woche steigt das vorhergesagte Testergebnis um etwa 6 Punkte."

Mistake: Einer Vorhersage weit außerhalb der Daten trauen (Extrapolation)

Why: Die Gerade wurde nur an den beobachteten Bereich angepasst. Außerhalb kann sich das Muster ändern, und die Gerade kann unmögliche Werte liefern, etwa 120 von 100 Punkten oder eine negative Verkaufszahl.

Correct: Prüfe zuerst den Bereich von $x$. Innerhalb: Interpolation. Außerhalb: Extrapolation, also sag, dass die Vorhersage unzuverlässig ist.

Mistake: Das Residuum falsch herum berechnen: $\hat{y} - y$

Why: Dann dreht sich das Vorzeichen um, und aus "über der Geraden" wird "unter der Geraden". Nach Konvention ist das Residuum tatsächlicher minus vorhergesagter Wert.

Correct: Verwende immer $e = y - \hat{y}$: positiv heißt, das Modell hat zu wenig vorhergesagt, negativ heißt, es hat zu viel vorhergesagt.

Mistake: $R^2 = 0{,}9$ lesen als "90 % der Punkte liegen auf der Geraden" oder "das Modell hat in 90 % der Fälle recht"

Why: $R^2$ misst, wie viel der Streuung von $y$ der lineare Zusammenhang erklärt. Alle Punkte können neben der Geraden liegen, und $R^2$ kann trotzdem 0,9 sein.

Correct: Sag: "90 % der Streuung von $y$ werden durch den linearen Zusammenhang mit $x$ erklärt."

Biologielabor: Pflanzenwachstum

Im Biologieunterricht wird ein Keimling jede Woche gemessen, und eine Regressionsgerade für die Höhe in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt seine Wachstumsrate.

Bei $\hat{y} = 2{,}5x + 4$ (Höhe in cm, $x$ in Wochen, Daten von Woche 0 bis Woche 8) sagt die Steigung, dass die Pflanze etwa 2,5 cm pro Woche wächst, und der Achsenabschnitt, dass sie zu Beginn der Messungen etwa 4 cm hoch war.

Lieferzeiten eines Onlineshops

Lieferdienste modellieren die Lieferzeit in Abhängigkeit von der Entfernung, um Kundinnen und Kunden eine Ankunftszeit zu nennen und Routen zu finden, die langsamer sind als erwartet.

Mit $\hat{y} = 12 + 3x$ (Minuten, $x$ = Entfernung in km, Daten von 1 bis 10 km) wird für eine Lieferung über 4 km eine Dauer von $12 + 12 = 24$ Minuten vorhergesagt.

Akkutests bei Smartphones

Technik-Testende setzen die Bildschirmzeit in Beziehung zum Akkuverbrauch und geben an, wie stark beides zusammenhängt, damit Lesende wissen, wie sehr man der Regressionsgeraden trauen kann.

Haben Bildschirmzeit und Akkuverbrauch $r = 0{,}8$, dann ist $R^2 = 0{,}64$: 64 % der Streuung des Akkuverbrauchs werden durch die Bildschirmzeit erklärt.

Q: Hat der Achsenabschnitt immer eine Bedeutung?

A: Nein. Er ist das vorhergesagte $y$ bei $x = 0$. Ist $x = 0$ unmöglich (ein Mensch mit 0 cm Größe) oder weit von den Daten entfernt (eine Wohnung mit 0 m²), dann ist der Achsenabschnitt nur eine Zahl, die die Gerade festlegt, und nichts, was man deuten sollte.

Q: Wie weit außerhalb der Daten darf ich vorhersagen?

A: Es gibt keinen sicheren Abstand. Knapp außerhalb kann es noch passen, wenn sich das Muster klar fortsetzt, aber jede Extrapolation sollte als unsicher gekennzeichnet werden, und weit entfernte Vorhersagen (oder unmögliche Werte) sollte man nicht verwenden.

Q: Was ist der Unterschied zwischen r und R²?

A: $r$ liegt zwischen $-1$ und $1$ und zeigt Richtung (Vorzeichen) und Stärke eines linearen Zusammenhangs. $R^2 = r^2$ liegt zwischen $0$ und $1$ und gibt an, welchen Anteil der Streuung von $y$ die Gerade erklärt. $R^2$ verliert das Vorzeichen, also schau für die Richtung auf die Steigung.

Q: Wenn R² hoch ist, verursacht dann x das y?

A: Nicht unbedingt. Ein hohes $R^2$ sagt nur, dass die Gerade gut zu den Daten passt. Eine Störvariable oder der Zufall können das Muster erzeugen; nur ein kontrolliertes Experiment kann Ursache und Wirkung zeigen.