Wie weit außerhalb der Daten darf ich vorhersagen?

Es gibt keinen sicheren Abstand. Knapp außerhalb kann es noch passen, wenn sich das Muster klar fortsetzt, aber jede Extrapolation sollte als unsicher gekennzeichnet werden, und weit entfernte Vorhersagen (oder unmögliche Werte) sollte man nicht verwenden.

Was ist der Unterschied zwischen r und R²?

$r$ liegt zwischen $-1$ und $1$ und zeigt Richtung (Vorzeichen) und Stärke eines linearen Zusammenhangs. $R^2 = r^2$ liegt zwischen $0$ und $1$ und gibt an, welchen Anteil der Streuung von $y$ die Gerade erklärt. $R^2$ verliert das Vorzeichen, also schau für die Richtung auf die Steigung.

Wenn R² hoch ist, verursacht dann x das y?

Nicht unbedingt. Ein hohes $R^2$ sagt nur, dass die Gerade gut zu den Daten passt. Eine Störvariable oder der Zufall können das Muster erzeugen; nur ein kontrolliertes Experiment kann Ursache und Wirkung zeigen.

Lehrermaterialien

Textaufgaben zur Regression

Q: Hat der Achsenabschnitt immer eine Bedeutung?

Nein. Er ist das vorhergesagte $y$ bei $x = 0$. Ist $x = 0$ unmöglich (ein Mensch mit 0 cm Größe) oder weit von den Daten entfernt (eine Wohnung mit 0 m²), dann ist der Achsenabschnitt nur eine Zahl, die die Gerade festlegt, und nichts, was man deuten sollte.

Löse vollständige Regressionsaufgaben: Steigung und Achsenabschnitt im Kontext deuten, vorhersagen, Extrapolation erkennen, Residuen berechnen und r und R² erklären.

Fortgeschritten30 MinLektion

Arbeitsblatt zum Drucken

Definition

Eine Textaufgabe zur Regression gibt dir echte Daten (oder eine bereits angepasste Regressionsgleichung) und fragt, was das Modell über die Situation aussagt. Jede solche Aufgabe nutzt denselben Werkzeugkasten:

\hat{y} = mx + b

**Steigung $m$ im Kontext**: Steigt $x$ um 1 Einheit, ändert sich der vorhergesagte Wert $y$ im Mittel um $m$ Einheiten.
**Achsenabschnitt $b$ im Kontext**: der vorhergesagte Wert $y$ bei $x = 0$ . Er hat nur dann eine echte Bedeutung, wenn $x = 0$ sinnvoll ist und in der Nähe der Daten liegt.
Vorhersage: Setze $x$ in die Gleichung ein und erhalte den vorhergesagten Wert $\hat{y}$ .
Interpolation oder Extrapolation: Eine Vorhersage für ein $x$ innerhalb des Datenbereichs ist eine Interpolation (meist zuverlässig); außerhalb dieses Bereichs ist es eine Extrapolation (riskant).
Residuum: $e = y - \hat{y}$ (tatsächlicher minus vorhergesagter Wert). Positiv heißt: Der Punkt liegt über der Geraden.
r und R²: $r$ gibt Richtung und Stärke des linearen Zusammenhangs an; $R^2 = r^2$ ist der Anteil der Streuung von $y$ , den der lineare Zusammenhang mit $x$ erklärt.

Eine gute Antwort verwendet immer die Einheiten und Begriffe der Aufgabe, nicht nur Zahlen.

Probier es gleich aus

Das Modell

\hat{y} = 6x + 48

sagt das Testergebnis

\hat{y}

(Punkte) aus den wöchentlichen Lernstunden

x

voraus. Was bedeutet die Steigung

6

Lösungsbeispiele

Ein Café hat an fünf Vormittagen die Außentemperatur

x

(in °C, von

0

bis

20

) und die Anzahl

y

verkaufter Heißgetränke notiert. Die Regressionsgerade ist

\hat{y} = 110 - 3x

. Deute Steigung und Achsenabschnitt.

Steigung und Achsenabschnitt ablesen

\hat{y} = -3x + 110

, also

m = -3

und

b = 110

→

m = -3

b = 110

Steigung mit Einheiten deuten

Pro 1 °C wärmer ändert sich die vorhergesagte Anzahl Heißgetränke um

-3

→ Im Mittel etwa 3 Heißgetränke weniger pro zusätzlichem Grad

Achsenabschnitt mit Einheiten deuten

Bei

x = 0

°C sagt das Modell

\hat{y} = 110 - 3 \cdot 0 = 110

voraus → Etwa 110 Heißgetränke an einem Vormittag mit 0 °C

Prüfen, ob der Achsenabschnitt sinnvoll ist

0

°C ist eine reale Temperatur und liegt im Datenbereich von

0

bis

20

→ Der Achsenabschnitt hat hier eine echte Bedeutung

Antwort: Steigung: Pro 1 °C Temperaturanstieg verkauft das Café laut Modell etwa 3 Heißgetränke weniger. Achsenabschnitt: An einem Vormittag mit 0 °C sagt das Modell etwa 110 Heißgetränke voraus; das ist sinnvoll, weil 0 °C zu den Daten gehört.

Häufige Fehler

Die Steigung als nackte Zahl angeben: "die Steigung ist 6"

Warum es falsch ist: Eine Zahl ohne Kontext beantwortet die Frage nicht. Die Steigung ist eine Änderungsrate: Sie braucht Einheiten und das Wort "vorhergesagt" oder "im Mittel", weil echte Punkte um die Gerade streuen.

Richtig: Sag: "Pro zusätzlicher Lernstunde pro Woche steigt das vorhergesagte Testergebnis um etwa 6 Punkte."

Einer Vorhersage weit außerhalb der Daten trauen (Extrapolation)

Warum es falsch ist: Die Gerade wurde nur an den beobachteten Bereich angepasst. Außerhalb kann sich das Muster ändern, und die Gerade kann unmögliche Werte liefern, etwa 120 von 100 Punkten oder eine negative Verkaufszahl.

Richtig: Prüfe zuerst den Bereich von $x$ . Innerhalb: Interpolation. Außerhalb: Extrapolation, also sag, dass die Vorhersage unzuverlässig ist.

Das Residuum falsch herum berechnen: $\hat{y} - y$

Warum es falsch ist: Dann dreht sich das Vorzeichen um, und aus "über der Geraden" wird "unter der Geraden". Nach Konvention ist das Residuum tatsächlicher minus vorhergesagter Wert.

Richtig: Verwende immer $e = y - \hat{y}$ : positiv heißt, das Modell hat zu wenig vorhergesagt, negativ heißt, es hat zu viel vorhergesagt.

$R^2 = 0{,}9$ lesen als "90 % der Punkte liegen auf der Geraden" oder "das Modell hat in 90 % der Fälle recht"

Warum es falsch ist: $R^2$ misst, wie viel der Streuung von $y$ der lineare Zusammenhang erklärt. Alle Punkte können neben der Geraden liegen, und $R^2$ kann trotzdem 0,9 sein.

Richtig: Sag: "90 % der Streuung von $y$ werden durch den linearen Zusammenhang mit $x$ erklärt."

Interaktive Visualisierung

Streudiagramm

Wöchentliche Lernstunden und Testergebnis

ŷ = 6x + 48

r = 0,949 · starke positive Korrelation

Tippe auf einen Punkt, um seine Koordinaten zu sehen.

Streudiagramm

Außentemperatur und verkaufte Heißgetränke

ŷ = −3x + 110

r = -0,949 · starke negative Korrelation

Tippe auf einen Punkt, um seine Koordinaten zu sehen.

Interaktiver Sandkasten

Ausdrucksrechner

Probiere diese:

Verlauf

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Übungsaufgaben

18 Aufgaben

Aufgabe 1 von 18

Einfach

Das Modell

\hat{y} = 6x + 48

sagt das Testergebnis

\hat{y}

(Punkte) aus den wöchentlichen Lernstunden

x

voraus. Was bedeutet die Steigung

6

Übungsaufgaben: Textaufgaben zur Regression

1. Das Modell \hat{y} = 6x + 48 sagt das Testergebnis \hat{y} (Punkte) aus den wöchentlichen Lernstunden x voraus. Was bedeutet die Steigung 6?
2. Sage mit \hat{y} = 6x + 48 (Testergebnis aus den wöchentlichen Lernstunden x) das Ergebnis einer Person voraus, die 4 Stunden pro Woche lernt.
3. Eine Regressionsgerade wurde an Daten mit x-Werten von 2 bis 10 angepasst. Für welchen Wert von x ist eine Vorhersage eine Extrapolation?
4. Ein Datenpunkt hat den tatsächlichen Wert y = 80, und die Regressionsgerade sagt für ihn \hat{y} = 74 voraus. Wie groß ist sein Residuum?
5. Eine Regression des Prüfungsergebnisses auf die Lernzeit hat R² = 0,64. Welche Aussage ist richtig?
6. Die Korrelation zwischen täglichen Schritten und verbrannten Kalorien ist r = 0,7. Wie groß ist R²? Gib es als Dezimalzahl an.
7. Das Modell eines Händlers für Gebrauchtwagen ist \hat{y} = 18000 - 1500x, wobei \hat{y} der Preis in € und x das Alter in Jahren ist (Daten für Autos von 0 bis 8 Jahren). Was bedeutet der Achsenabschnitt 18000?
8. Ein Café nutzt \hat{y} = 110 - 3x, um die Anzahl verkaufter Heißgetränke aus der Morgentemperatur x in °C vorherzusagen (Daten von 0 bis 20 °C). Wie viele Heißgetränke sagt es für 12 °C voraus?
9. In einem Modell für Lieferzeiten hat eine Lieferung ein Residuum von -5 Minuten. Was bedeutet das?
10. Die Höhe einer Pflanze wird durch \hat{y} = 2{,}5x + 4 modelliert (cm, x in Wochen). Um wie viele cm nimmt die vorhergesagte Höhe in 4 weiteren Wochen zu?
11. Das Café-Modell ist \hat{y} = 110 - 3x (Heißgetränke, x in °C). An einem Vormittag mit 15 °C verkaufte das Café 75 Heißgetränke. Bestimme das Residuum dieses Vormittags.
12. Bei den Lernstunden-Daten ist die Summe der quadrierten Residuen SS_{\text{res}} = 40 und die Gesamtstreuung der Ergebnisse SS_{\text{tot}} = 400. Bestimme R^2 und gib an, wie viel Prozent der Streuung der Ergebnisse die Gerade erklärt.
13. Das Modell \hat{y} = 6x + 48 wurde an Lernende angepasst, die 1 bis 5 Stunden pro Woche lernen (Tests mit 100 Punkten). Sage das Ergebnis für 12 Stunden voraus und entscheide, welche Art von Vorhersage das ist.
14. Das Modell des Händlers ist \hat{y} = 18000 - 1500x (Preis in €, x = Alter in Jahren, Daten von 0 bis 8 Jahren). Ein 4 Jahre altes Auto wurde für 13000 € verkauft. Bestimme den vorhergesagten Preis und das Residuum. Wurde das Auto über oder unter dem vorhergesagten Preis verkauft?
15. Eine Schülerin zählt die Liegestütze y, die sie nach x Wochen Training schafft: | x | 1 | 2 | 3 | 4 | |---|---|---|---|---| | y | 3 | 5 | 6 | 10 | Bestimme die Regressionsgerade \hat{y} = mx + b nach der Methode der kleinsten Quadrate.
16. Das Café-Modell ist \hat{y} = 110 - 3x (Heißgetränke, x in °C, Daten von 0 bis 20 °C) mit R^2 = 0{,}9. An einem Vormittag mit 8 °C verkaufte das Café 90 Heißgetränke. Bestimme die Vorhersage, das Residuum, den Korrelationskoeffizienten r und den erklärten Anteil der Streuung in Prozent.
17. Ein Eisstand hat Daten für Temperaturen von 10 bis 30 °C gesammelt. Die Regressionsgerade der pro Stunde verkauften Eiskugeln in Abhängigkeit von der Temperatur hat die Steigung 1{,}5, und die Mittelwerte sind \bar{x} = 20 °C und \bar{y} = 50 Kugeln. Bestimme den Achsenabschnitt, sage den Verkauf bei 30 °C voraus und bestimme das Residuum einer Stunde bei 30 °C mit 61 verkauften Kugeln.
18. Wie viele Lernstunden braucht man laut \hat{y} = 6x + 48 (Testergebnis aus wöchentlichen Lernstunden, Daten von 1 bis 5 Stunden) für ein vorhergesagtes Ergebnis von 84 Punkten? Kann man dieser Antwort trauen?

Warum es wichtig ist

Mit Regression machen Menschen aus Daten Entscheidungen:

Läden und Cafés sagen anhand der Wettervorhersage voraus, wie viel Ware sie bestellen müssen.
Schulen untersuchen, wie Lernzeit und Ergebnisse zusammenhängen und welche Schülerinnen und Schüler besser oder schlechter abschneiden als vorhergesagt.
Ärztinnen, Ärzte und Forschende schätzen mit Regression Dosierungen, Wachstumsraten und Risiken.
Autohändler und Banken schätzen, wie schnell der Wert eines Autos jedes Jahr sinkt.

Bei all dem ist nicht das Rechnen der schwierige Teil, sondern die Deutung: sagen, was die Steigung bedeutet, wissen, wann man einer Vorhersage trauen kann, und erklären, wie gut die Gerade passt. Genau das wird in Prüfungen und im Beruf verlangt, und genau das trainierst du in dieser Lektion.

Anwendungen im echten Leben

Biologielabor: Pflanzenwachstum

Im Biologieunterricht wird ein Keimling jede Woche gemessen, und eine Regressionsgerade für die Höhe in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt seine Wachstumsrate.

Beispiel:

Bei $\hat{y} = 2{,}5x + 4$ (Höhe in cm, $x$ in Wochen, Daten von Woche 0 bis Woche 8) sagt die Steigung, dass die Pflanze etwa 2,5 cm pro Woche wächst, und der Achsenabschnitt, dass sie zu Beginn der Messungen etwa 4 cm hoch war.

1Probiere es selbst

Das Modell der Klasse ist $\hat{y} = 2{,}5x + 4$ mit der Höhe $\hat{y}$ in cm und der Zeit $x$ in Wochen (Daten von Woche 0 bis Woche 8).

Welche Höhe sagt das Modell für Woche 6 voraus?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Setze $x = 6$ in die Gleichung ein:

Lieferzeiten eines Onlineshops

Lieferdienste modellieren die Lieferzeit in Abhängigkeit von der Entfernung, um Kundinnen und Kunden eine Ankunftszeit zu nennen und Routen zu finden, die langsamer sind als erwartet.

Beispiel:

Mit $\hat{y} = 12 + 3x$ (Minuten, $x$ = Entfernung in km, Daten von 1 bis 10 km) wird für eine Lieferung über 4 km eine Dauer von $12 + 12 = 24$ Minuten vorhergesagt.

2Probiere es selbst

Das Modell ist $\hat{y} = 12 + 3x$ (Zeit in Minuten, $x$ = Entfernung in km). Eine Lieferung über 6 km hat tatsächlich 33 Minuten gedauert.

Wie groß ist das Residuum dieser Lieferung?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Residuum = tatsächliche Zeit minus vorhergesagte Zeit:

Akkutests bei Smartphones

Technik-Testende setzen die Bildschirmzeit in Beziehung zum Akkuverbrauch und geben an, wie stark beides zusammenhängt, damit Lesende wissen, wie sehr man der Regressionsgeraden trauen kann.

Beispiel:

Haben Bildschirmzeit und Akkuverbrauch $r = 0{,}8$ , dann ist $R^2 = 0{,}64$ : 64 % der Streuung des Akkuverbrauchs werden durch die Bildschirmzeit erklärt.

3Probiere es selbst

In einem Akkutest beträgt die Korrelation zwischen Raumtemperatur und Akkulaufzeit $r = -0{,}9$ .

Wie viel Prozent der Streuung der Akkulaufzeit werden durch den linearen Zusammenhang mit der Raumtemperatur erklärt?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Quadriere r und wandle das Ergebnis in Prozent um:

Wichtige Erkenntnisse

1Deute die Steigung als Änderungsrate mit Einheiten: Steigt $x$ um 1, ändert sich das vorhergesagte $y$ im Mittel um $m$
2Der Achsenabschnitt ist das vorhergesagte $y$ bei $x = 0$ ; er bedeutet nur etwas, wenn $x = 0$ sinnvoll ist und nahe an den Daten liegt
3Vorhersagen: $x$ in $\hat{y} = mx + b$ einsetzen; innerhalb des Datenbereichs ist das Interpolation, außerhalb riskante Extrapolation
4Ein Residuum ist tatsächlicher minus vorhergesagter Wert, $e = y - \hat{y}$ : positiv über der Geraden, negativ darunter
5 $r$ zeigt Richtung und Stärke; $R^2 = r^2$ ist der Anteil der Streuung von $y$ , den die Gerade erklärt
6Eine gute Anpassung zeigt einen Zusammenhang, keine Ursache: Antworte immer mit den Begriffen und Einheiten der Aufgabe

Häufig gestellte Fragen

Nein. Er ist das vorhergesagte

y

bei

x = 0

. Ist

x = 0

unmöglich (ein Mensch mit 0 cm Größe) oder weit von den Daten entfernt (eine Wohnung mit 0 m²), dann ist der Achsenabschnitt nur eine Zahl, die die Gerade festlegt, und nichts, was man deuten sollte.

Glossar

Vorhergesagter Wert $\hat{y}$: Der Wert von $y$ , den die Regressionsgerade für ein gewähltes $x$ liefert
Steigung im Kontext: Die vorhergesagte Änderung von $y$ in den Einheiten von $y$ , wenn $x$ um 1 Einheit steigt
Achsenabschnitt im Kontext: Der vorhergesagte Wert von $y$ bei $x = 0$ , nur sinnvoll, wenn $x = 0$ realistisch ist und nahe an den Daten liegt
Interpolation: Vorhersage von $y$ für ein $x$ innerhalb des Datenbereichs
Extrapolation: Vorhersage von $y$ für ein $x$ außerhalb des Datenbereichs; oft unzuverlässig
Bestimmtheitsmaß R²: Der Anteil der Streuung von $y$ , den der lineare Zusammenhang mit $x$ erklärt; bei einer Geraden gleich $r^2$

Formelkarte

Regressionsgerade

\hat{y} = mx + b

x einsetzen, um den vorhergesagten Wert zu erhalten

Steigung (kleinste Quadrate)

m = \frac{\sum(x-\bar{x})(y-\bar{y})}{\sum(x-\bar{x})^2}

Berechnet aus den Abweichungen von den Mittelwerten

Achsenabschnitt (kleinste Quadrate)

b = \bar{y} - m\bar{x}

Die Gerade geht immer durch den Punkt der Mittelwerte

Residuum

e = y - \hat{y}

Tatsächlich minus vorhergesagt; positiv über der Geraden

Bestimmtheitsmaß

R^2 = r^2 = 1 - \frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}}

$SS_{\text{res}}$ ist die Summe der quadrierten Residuen, $SS_{\text{tot}}$ die Summe der quadrierten Abweichungen von y vom Mittelwert

Heutige ChallengeEine Aufgabe, drei Versuche

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Biologielabor: Pflanzenwachstum

Lieferzeiten eines Onlineshops

Akkutests bei Smartphones

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

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Steigung (kleinste Quadrate)

Achsenabschnitt (kleinste Quadrate)

Residuum

Bestimmtheitsmaß

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