Ein Residuum berechnen

Die Regressionsgerade für Lernstunden ($x$) und Testergebnis ($y$) ist $\hat{y} = 5x + 50$. Mia hat $4$ Stunden gelernt und $72$ Punkte erreicht. Berechne ihr Residuum.

Berechne das vorhergesagte Ergebnis: $\hat{y} = 5(4) + 50 = 20 + 50$ = $\hat{y} = 70$

Subtrahiere: beobachtet minus vorhergesagt: $e = y - \hat{y} = 72 - 70$ = $e = 2$

Deute das Vorzeichen: $e > 0$, also liegt Mias Punkt oberhalb der Geraden = Sie hat 2 Punkte mehr als vorhergesagt

Answer: Mias Residuum ist $2$: Sie hat 2 Punkte mehr erreicht, als die Gerade vorhergesagt hat, ihr Punkt liegt also oberhalb der Geraden.

Ein negatives Residuum

Mit derselben Geraden $\hat{y} = 5x + 50$: Leo hat $3$ Stunden gelernt und $62$ Punkte erreicht. Berechne sein Residuum und erkläre, was es bedeutet.

Berechne das vorhergesagte Ergebnis: $\hat{y} = 5(3) + 50 = 15 + 50$ = $\hat{y} = 65$

Subtrahiere: beobachtet minus vorhergesagt: $e = 62 - 65$ = $e = -3$

Deute das Vorzeichen: $e < 0$, also liegt Leos Punkt unterhalb der Geraden = Die Gerade hat sein Ergebnis um 3 überschätzt

Answer: Leos Residuum ist $-3$: Sein Punkt liegt 3 Punkte unterhalb der Geraden, die Gerade hat für ihn also zu viel vorhergesagt.

Eine Residuentabelle

Sechs Schüler liefern diese Daten (Lernstunden, Testergebnis): $(1, 57)$, $(2, 58)$, $(3, 62)$, $(4, 72)$, $(5, 78)$, $(6, 78)$. Die Regressionsgerade nach der Methode der kleinsten Quadrate ist $\hat{y} = 5x + 50$. Lege eine Tabelle der Residuen an und addiere sie.

Berechne den vorhergesagten Wert für jedes x: $\hat{y} = 55, 60, 65, 70, 75, 80$ = Eine Vorhersage pro Schüler

Ziehe jede Vorhersage vom beobachteten Ergebnis ab: | $x$ | $y$ | $\hat{y}$ | $e = y - \hat{y}$ | |---|---|---|---| | 1 | 57 | 55 | 2 | | 2 | 58 | 60 | -2 | | 3 | 62 | 65 | -3 | | 4 | 72 | 70 | 2 | | 5 | 78 | 75 | 3 | | 6 | 78 | 80 | -2 | = Residuen: $2, -2, -3, 2, 3, -2$

Addiere die Residuen: $2 + (-2) + (-3) + 2 + 3 + (-2)$ = $\sum e = 0$

Answer: Die Residuen sind $2, -2, -3, 2, 3, -2$ und ihre Summe ist $0$. Das gilt bei der Regressionsgeraden nach der Methode der kleinsten Quadrate immer: Die positiven und negativen Abweichungen heben sich auf.

Summe der quadrierten Residuen

Vergleiche für dieselben sechs Schüler die Regressionsgerade $\hat{y} = 5x + 50$ mit der Geraden $\hat{y} = 5x + 51$ anhand der Summe der quadrierten Residuen (SQR).

Quadriere die Residuen der Regressionsgeraden: $2^2 + (-2)^2 + (-3)^2 + 2^2 + 3^2 + (-2)^2 = 4 + 4 + 9 + 4 + 9 + 4$ = $\text{SQR} = 34$

Bestimme die Residuen der anderen Geraden: Vorhersagen $56, 61, 66, 71, 76, 81$, also Residuen $1, -3, -4, 1, 2, -3$ = Ihre Summe ist $-6$, nicht $0$

Quadriere und addiere sie: $1 + 9 + 16 + 1 + 4 + 9$ = $\text{SQR} = 40$

Vergleiche: $34 < 40$ = $\hat{y} = 5x + 50$ passt besser

Answer: Die Regressionsgerade hat $\text{SQR} = 34$, die andere Gerade $40$. Keine Gerade kommt bei diesen Daten unter $34$: Genau das bedeutet "Methode der kleinsten Quadrate".

Ein Residuendiagramm lesen

Eine App hatte in den Monaten $1$ bis $6$ diese Downloads (in Tausend): $20, 24, 31, 41, 54, 70$. Die Regressionsgerade ist $\hat{y} = 10x + 5$. Berechne die Residuen und entscheide, ob eine Gerade ein gutes Modell ist.

Berechne die Vorhersagen: $\hat{y} = 15, 25, 35, 45, 55, 65$ = Eine Vorhersage pro Monat

Berechne die Residuen: $20 - 15, 24 - 25, 31 - 35, 41 - 45, 54 - 55, 70 - 65$ = $5, -1, -4, -4, -1, 5$

Betrachte das Muster im Residuendiagramm: Positiv an beiden Enden, negativ in der Mitte = Eine U-förmige Kurve

Ziehe die Schlussfolgerung: Ein gekrümmtes Muster bedeutet, dass die Daten von der Geraden wegbiegen = Eine Gerade ist kein gutes Modell

Answer: Die Residuen $5, -1, -4, -4, -1, 5$ bilden ein U. Die Downloads wachsen immer schneller, also würde ein gekrümmtes Modell besser passen als eine Gerade, obwohl die Summe der Residuen trotzdem $0$ ist.

Mistake: Vorhergesagt minus beobachtet rechnen ($\hat{y} - y$)

Why: Dann dreht sich jedes Vorzeichen um: Punkte oberhalb der Geraden bekämen negative Residuen und Punkte unterhalb positive.

Correct: Rechne immer beobachtet minus vorhergesagt: $e = y - \hat{y}$. Positiv bedeutet oberhalb der Geraden.

Mistake: Eine Gerade nach der einfachen Summe ihrer Residuen beurteilen

Why: Bei der Regressionsgeraden ist die Summe immer $0$, auch wenn die Gerade schlecht passt, weil sich positive und negative Residuen aufheben.

Correct: Quadriere die Residuen zuerst und addiere sie (SQR), oder schau dir das Residuendiagramm an.

Mistake: Ein gekrümmtes Residuendiagramm für in Ordnung halten, weil die Punkte im Mittel nah bei null liegen

Why: Eine deutliche Kurve (U-Form, Hügelform) bedeutet, dass die Daten einer Krümmung folgen, der eine Gerade nicht folgen kann.

Correct: Ein lineares Modell passt nur, wenn das Residuendiagramm wie eine zufällige Streuung um $0$ ohne Muster aussieht.

Mistake: Die Einheit oder die Größe eines Residuums vergessen

Why: Ein Residuum von $-3$ bei einem Testergebnis bedeutet 3 Punkte, nicht 3 %. Seine Größe ergibt nur in der Einheit von $y$ Sinn.

Correct: Sag es im Zusammenhang: "Die Gerade hat Leos Ergebnis um 3 Punkte überschätzt."

Geschätzte Lieferzeiten

Liefer-Apps sagen die Zeit für eine Bestellung aus der Entfernung vorher. Nach jeder Lieferung zeigt das Residuum, ob die Schätzung zu kurz oder zu lang war.

Mit $\hat{y} = 2x + 10$ Minuten für $x$ km wird für eine Bestellung über 5 km eine Dauer von $20$ Minuten vorhergesagt. Hat sie $18$ Minuten gedauert, ist das Residuum $18 - 20 = -2$.

Experimente zum Pflanzenwachstum

Biologen legen eine Gerade durch die Pflanzenhöhe im Lauf der Zeit. Einer Pflanze mit einem großen negativen Residuum fehlt vielleicht Licht oder Wasser.

Mit $\hat{y} = 1{,}5x + 4$ cm nach $x$ Wochen wird erwartet, dass eine Pflanze nach 4 Wochen $10$ cm hoch ist.

Modelle in der Sportwissenschaft

Trainer sagen die Sprunghöhe von Sportlern aus Trainingsdaten vorher und beurteilen das Modell nach der Summe der quadrierten Residuen: je kleiner, desto besser.

Wenn ein Modell bei zwei Sportlern um $3$ cm und $-3$ cm danebenliegt, ist die Summe der Residuen $0$, die Summe der quadrierten Residuen aber $9 + 9 = 18$.

Q: Warum heißt es Residuum?

A: "Residuum" kommt aus dem Lateinischen und bedeutet "Rest". Es ist der Teil von $y$, den die Gerade nicht erklärt: der Wert, der übrig bleibt, wenn du die Vorhersage abziehst.

Q: Warum quadrieren wir die Residuen, statt sie einfach zu addieren?

A: Einfache Residuen heben sich auf (bei der Regressionsgeraden ist ihre Summe immer $0$). Durch das Quadrieren zählt jede Abweichung positiv, und große Abweichungen zählen viel stärker.

Q: Ist ein großes Residuum ein Fehler?

A: Nicht unbedingt. Es bedeutet nur, dass der Punkt nicht gut zum Muster passt. Prüfe die Daten auf einen Tippfehler, aber echte Daten können auch ungewöhnliche Fälle enthalten.

Q: Worin unterscheidet sich ein Residuendiagramm von einem Streudiagramm?

A: Ein Streudiagramm zeigt $x$ gegen $y$. Ein Residuendiagramm zeigt $x$ gegen das Residuum $e$, die Regressionsgerade wird also zur waagerechten Linie $e = 0$, und jedes Muster, das die Gerade übersehen hat, ist leicht zu erkennen.