Warum quadrieren wir die Residuen, statt sie einfach zu addieren?

Einfache Residuen heben sich auf (bei der Regressionsgeraden ist ihre Summe immer $0$). Durch das Quadrieren zählt jede Abweichung positiv, und große Abweichungen zählen viel stärker.

Ist ein großes Residuum ein Fehler?

Nicht unbedingt. Es bedeutet nur, dass der Punkt nicht gut zum Muster passt. Prüfe die Daten auf einen Tippfehler, aber echte Daten können auch ungewöhnliche Fälle enthalten.

Worin unterscheidet sich ein Residuendiagramm von einem Streudiagramm?

Ein Streudiagramm zeigt $x$ gegen $y$. Ein Residuendiagramm zeigt $x$ gegen das Residuum $e$, die Regressionsgerade wird also zur waagerechten Linie $e = 0$, und jedes Muster, das die Gerade übersehen hat, ist leicht zu erkennen.

Lehrermaterialien

Residuen

Q: Warum heißt es Residuum?

"Residuum" kommt aus dem Lateinischen und bedeutet "Rest". Es ist der Teil von $y$, den die Gerade nicht erklärt: der Wert, der übrig bleibt, wenn du die Vorhersage abziehst.

Lerne, was ein Residuum ist, wie du Residuen in einer Tabelle berechnest und wie ein Residuendiagramm zeigt, ob eine Gerade zu den Daten passt.

Fortgeschritten25 MinLektion

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Definition

Ein Residuum (Mehrzahl: Residuen) ist der senkrechte Abstand zwischen einem Datenpunkt und der Regressionsgeraden. Es zeigt, wie weit die Vorhersage der Geraden vom echten Wert entfernt ist:

e = y - \hat{y}

$y$ ist der beobachtete Wert (was wirklich passiert ist)
$\hat{y}$ ist der vorhergesagte Wert der Geraden (gelesen "y Dach")
$e$ ist das Residuum, immer beobachtet minus vorhergesagt

Das Vorzeichen eines Residuums sagt dir, wo der Punkt liegt:

$e > 0$ : der Punkt liegt oberhalb der Geraden (die Gerade hat zu wenig vorhergesagt)
$e < 0$ : der Punkt liegt unterhalb der Geraden (die Gerade hat zu viel vorhergesagt)
$e = 0$ : der Punkt liegt genau auf der Geraden

Ein Residuum hat dieselbe Einheit wie

y

. Bei der Regressionsgeraden nach der Methode der kleinsten Quadrate ist die Summe der Residuen immer null:

\sum e = 0

Probier es gleich aus

Mit welcher Formel berechnest du das Residuum eines Datenpunkts?

Lösungsbeispiele

Die Regressionsgerade für Lernstunden (

x

) und Testergebnis (

y

) ist

\hat{y} = 5x + 50

. Mia hat

4

Stunden gelernt und

72

Punkte erreicht. Berechne ihr Residuum.

Berechne das vorhergesagte Ergebnis

\hat{y} = 5(4) + 50 = 20 + 50

→

\hat{y} = 70

Subtrahiere: beobachtet minus vorhergesagt

e = y - \hat{y} = 72 - 70

→

e = 2

Deute das Vorzeichen

e > 0

, also liegt Mias Punkt oberhalb der Geraden → Sie hat 2 Punkte mehr als vorhergesagt

Antwort: Mias Residuum ist $2$ : Sie hat 2 Punkte mehr erreicht, als die Gerade vorhergesagt hat, ihr Punkt liegt also oberhalb der Geraden.

Häufige Fehler

Vorhergesagt minus beobachtet rechnen ( $\hat{y} - y$ )

Warum es falsch ist: Dann dreht sich jedes Vorzeichen um: Punkte oberhalb der Geraden bekämen negative Residuen und Punkte unterhalb positive.

Richtig: Rechne immer beobachtet minus vorhergesagt: $e = y - \hat{y}$ . Positiv bedeutet oberhalb der Geraden.

Eine Gerade nach der einfachen Summe ihrer Residuen beurteilen

Warum es falsch ist: Bei der Regressionsgeraden ist die Summe immer $0$ , auch wenn die Gerade schlecht passt, weil sich positive und negative Residuen aufheben.

Richtig: Quadriere die Residuen zuerst und addiere sie (SQR), oder schau dir das Residuendiagramm an.

Ein gekrümmtes Residuendiagramm für in Ordnung halten, weil die Punkte im Mittel nah bei null liegen

Warum es falsch ist: Eine deutliche Kurve (U-Form, Hügelform) bedeutet, dass die Daten einer Krümmung folgen, der eine Gerade nicht folgen kann.

Richtig: Ein lineares Modell passt nur, wenn das Residuendiagramm wie eine zufällige Streuung um $0$ ohne Muster aussieht.

Die Einheit oder die Größe eines Residuums vergessen

Warum es falsch ist: Ein Residuum von $-3$ bei einem Testergebnis bedeutet 3 Punkte, nicht 3 %. Seine Größe ergibt nur in der Einheit von $y$ Sinn.

Richtig: Sag es im Zusammenhang: "Die Gerade hat Leos Ergebnis um 3 Punkte überschätzt."

Interaktive Visualisierung

Streudiagramm

Lernstunden und Testergebnisse mit Residuen

ŷ = 5x + 50

r = 0,963 · starke positive Korrelation

Tippe auf einen Punkt, um seine Koordinaten zu sehen.

Streudiagramm

Residuendiagramm: zufällige Streuung (lineares Modell passt)

Residuum = 0

Tippe auf einen Punkt, um seine Koordinaten zu sehen.

Streudiagramm

Residuendiagramm: U-förmige Kurve (lineares Modell passt nicht)

Residuum = 0

Tippe auf einen Punkt, um seine Koordinaten zu sehen.

Interaktiver Sandkasten

Ausdrucksrechner

Probiere diese:

Verlauf

Noch keine Berechnungen

Übungsaufgaben

18 Aufgaben

Aufgabe 1 von 18

Einfach

Ein Datenpunkt liegt unterhalb der Regressionsgeraden. Welches Vorzeichen hat sein Residuum?

Warum es wichtig ist

Mit Residuen prüfen Statistiker ein Modell, statt ihm einfach zu vertrauen:

Ist die Gerade gut? Kleine Residuen bedeuten, dass die Vorhersagen nah an der Wirklichkeit liegen.
Ist eine Gerade die richtige Form? Ein Residuendiagramm (die Residuen gegen x aufgetragen) zeigt eine zufällige Punktwolke, wenn eine Gerade passt, und eine Kurve, wenn nicht.
Welche Gerade ist die beste? Die Ausgleichsgerade nach der Methode der kleinsten Quadrate hat die kleinste Summe der quadrierten Residuen.
Ungewöhnliche Fälle: Ein sehr großes Residuum markiert einen Punkt, der nicht zum Muster passt, zum Beispiel einen Tippfehler in den Daten oder einen Sonderfall.

Wetterdienste, Liefer-Apps, Ärztinnen und Sportwissenschaftler vergleichen ständig Vorhersagen mit dem, was wirklich passiert ist, und jeder dieser Vergleiche ist ein Residuum.

Anwendungen im echten Leben

Geschätzte Lieferzeiten

Liefer-Apps sagen die Zeit für eine Bestellung aus der Entfernung vorher. Nach jeder Lieferung zeigt das Residuum, ob die Schätzung zu kurz oder zu lang war.

Beispiel:

Mit $\hat{y} = 2x + 10$ Minuten für $x$ km wird für eine Bestellung über 5 km eine Dauer von $20$ Minuten vorhergesagt. Hat sie $18$ Minuten gedauert, ist das Residuum $18 - 20 = -2$ .

1Probiere es selbst

Das Modell der App ist $\hat{y} = 2x + 10$ (Minuten, $x$ in km). Eine Bestellung über $6$ km hat $25$ Minuten gedauert.

Wie groß ist das Residuum für diese Bestellung?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Beobachtet minus vorhergesagt:

Experimente zum Pflanzenwachstum

Biologen legen eine Gerade durch die Pflanzenhöhe im Lauf der Zeit. Einer Pflanze mit einem großen negativen Residuum fehlt vielleicht Licht oder Wasser.

Beispiel:

Mit $\hat{y} = 1{,}5x + 4$ cm nach $x$ Wochen wird erwartet, dass eine Pflanze nach 4 Wochen $10$ cm hoch ist.

2Probiere es selbst

Das Wachstumsmodell ist $\hat{y} = 1{,}5x + 4$ (cm, $x$ in Wochen). Nach $8$ Wochen ist eine Pflanze $14{,}5$ cm hoch.

Wie groß ist das Residuum für diese Pflanze?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Beobachtet minus vorhergesagt:

Modelle in der Sportwissenschaft

Trainer sagen die Sprunghöhe von Sportlern aus Trainingsdaten vorher und beurteilen das Modell nach der Summe der quadrierten Residuen: je kleiner, desto besser.

Beispiel:

Wenn ein Modell bei zwei Sportlern um $3$ cm und $-3$ cm danebenliegt, ist die Summe der Residuen $0$ , die Summe der quadrierten Residuen aber $9 + 9 = 18$ .

3Probiere es selbst

Ein Modell nach der Methode der kleinsten Quadrate für die Sprunghöhe hat bei drei Sportlern die Residuen $2$ , $-1$ und $-1$ cm.

Wie groß ist die Summe der quadrierten Residuen?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Quadriere jedes Residuum und addiere:

Wichtige Erkenntnisse

1Ein Residuum ist beobachtet minus vorhergesagt: $e = y - \hat{y}$
2Ein positives Residuum bedeutet, dass der Punkt oberhalb der Geraden liegt, ein negatives, dass er unterhalb liegt
3Residuen haben dieselbe Einheit wie $y$ und lassen sich am besten in einer Tabelle ordnen: $x$ , $y$ , $\hat{y}$ , $e$
4Die Residuen der Regressionsgeraden nach der Methode der kleinsten Quadrate haben immer die Summe $0$
5Ein Residuendiagramm mit zufälliger Streuung um $0$ bedeutet, dass eine Gerade passt; ein gekrümmtes Muster bedeutet, dass sie nicht passt
6Die Regressionsgerade ist die Gerade mit der kleinsten Summe der quadrierten Residuen

Häufig gestellte Fragen

"Residuum" kommt aus dem Lateinischen und bedeutet "Rest". Es ist der Teil von

y

, den die Gerade nicht erklärt: der Wert, der übrig bleibt, wenn du die Vorhersage abziehst.

Glossar

Residuum: Beobachteter Wert minus vorhergesagter Wert: $e = y - \hat{y}$
Beobachteter Wert: Der echte $y$ -Wert eines Datenpunkts, gemessen oder erhoben
Vorhergesagter Wert: Der Wert $\hat{y}$ , den die Regressionsgerade für ein bestimmtes $x$ liefert
Residuendiagramm: Ein Diagramm von $x$ gegen die Residuen, mit einer waagerechten Linie bei $0$
Summe der quadrierten Residuen (SQR): Die Summe $\sum (y - \hat{y})^2$ ; die Regressionsgerade macht sie so klein wie möglich
Methode der kleinsten Quadrate: Das Verfahren, das die Gerade mit der kleinsten Summe der quadrierten Residuen findet

Formelkarte

Residuum

e = y - \hat{y}

Beobachtet minus vorhergesagt; positiv oberhalb der Geraden, negativ unterhalb

Summe der Residuen

\sum e = 0

Gilt immer für die Regressionsgerade nach der Methode der kleinsten Quadrate

Summe der quadrierten Residuen

\text{SQR} = \sum (y - \hat{y})^2

Die Regressionsgerade macht diesen Wert so klein wie möglich (auch $SS_{\text{res}}$ geschrieben)

Heutige ChallengeEine Aufgabe, drei Versuche

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Streudiagramm

Lernstunden und Testergebnisse mit Residuen

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Residuendiagramm: U-förmige Kurve (lineares Modell passt nicht)

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Residuum

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