Achsen und Skalen wählen

Ein Basketballtrainer notiert, wie viele Stunden sieben Spieler pro Woche trainieren und wie viele Freiwürfe (von 20) jeder trifft: | Spieler | A | B | C | D | E | F | G | |---|---|---|---|---|---|---|---| | Stunden | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | | Freiwürfe | 6 | 8 | 9 | 11 | 12 | 14 | 15 | Welche Variable kommt auf welche Achse, und welche Skalen solltest du verwenden?

Finde die erklärende Variable: Das Training kann die Zahl der Freiwürfe beeinflussen, nicht umgekehrt = $x$ = Trainingsstunden, $y$ = getroffene Freiwürfe

Bestimme den Bereich jeder Variable: Stunden: von $1$ bis $7$. Freiwürfe: von $6$ bis $15$ = $x$ muss mindestens bis $7$ reichen, $y$ mindestens bis $15$

Wähle gleich große Schritte: $x$-Achse: $0$ bis $8$ in Schritten von $1$. $y$-Achse: $0$ bis $20$ in Schritten von $2$ (niemand kann mehr als 20 Freiwürfe treffen, und $20 \div 2 = 10$ gleiche Schritte) = Beide Achsen haben gleichmäßige Abstände

Beschrifte die Achsen: $x$: Training pro Woche (Stunden). $y$: Getroffene Freiwürfe (von 20) = Die Achsen sind bereit zum Eintragen

Answer: Trage die **Trainingsstunden auf der $x$-Achse** ein (0 bis 8, Schritte von 1) und die **Freiwürfe auf der $y$-Achse** (0 bis 20, Schritte von 2), mit Beschriftung und Einheit an jeder Achse.

Punkte eintragen und ablesen

Trage mit den Achsen aus Beispiel 1 den Spieler C $(3, 9)$ ein. Beantworte dann mit dem fertigen Diagramm: Wie viele Spieler haben **mehr als 10** Freiwürfe getroffen?

Gehe entlang der $x$-Achse: Starte im Ursprung und gehe nach rechts bis $x = 3$ Stunden = Du bist über der 3

Gehe hoch bis zum $y$-Wert: Gehe senkrecht nach oben bis $y = 9$ Freiwürfe und zeichne einen Punkt = Punkt $(3, 9)$ ist eingetragen

Trage jede andere Zeile genauso ein: $(1, 6)$, $(2, 8)$, $(4, 11)$, $(5, 12)$, $(6, 14)$, $(7, 15)$ = 7 Punkte, einer pro Spieler

Lies das Diagramm ab: Punkte oberhalb der waagerechten Linie $y = 10$: $(4, 11)$, $(5, 12)$, $(6, 14)$, $(7, 15)$ = $4$ Spieler

Answer: Jeder Spieler ist ein Punkt. **4 Spieler** (D, E, F und G) haben mehr als 10 Freiwürfe getroffen.

Ein lineares Muster beschreiben

Ein Café notiert die Außentemperatur und die Zahl der verkauften heißen Schokoladen: | Temperatur (°C) | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | |---|---|---|---|---|---|---| | Heiße Schokoladen | 48 | 40 | 33 | 25 | 18 | 10 | Beschreibe Form, Richtung und Stärke des Streudiagramms.

Prüfe die Richtung: Wenn die Temperatur steigt, sinkt der Verkauf: $48 \to 40 \to 33 \to 25 \to 18 \to 10$ = Negative Richtung

Prüfe die Form: Alle $5°C$ sinkt der Verkauf um $8, 7, 8, 7, 8$: fast immer um denselben Betrag = Lineare Form

Prüfe die Stärke: Die Rückgänge sind fast gleich, also liegen die Punkte sehr nah an einer Geraden = Stark

Suche nach Besonderheiten: Kein Punkt liegt weit weg von den anderen, keine Gruppen, keine leeren Bereiche = Keine Ausreißer, Gruppen oder Lücken

Answer: Das Streudiagramm zeigt einen **starken, negativen, linearen** Zusammenhang: An wärmeren Tagen verkauft das Café weniger heiße Schokoladen.

Ein nicht lineares Muster erkennen

Eine Fahrschule misst den Bremsweg eines Autos bei verschiedenen Geschwindigkeiten: | Geschwindigkeit (km/h) | 20 | 40 | 60 | 80 | 100 | |---|---|---|---|---|---| | Bremsweg (m) | 2 | 8 | 18 | 32 | 50 | Ist das Muster linear oder nicht linear?

Prüfe die Richtung: Höhere Geschwindigkeit, längerer Bremsweg = Positive Richtung

Bestimme die Zunahmen bei gleichen Schritten von 20 km/h: $8 - 2 = 6$, $18 - 8 = 10$, $32 - 18 = 14$, $50 - 32 = 18$ = Zunahmen: $6, 10, 14, 18$

Vergleiche die Zunahmen: Die Zunahmen werden immer größer, also biegen sich die Punkte nach oben, statt einer Geraden zu folgen = Nicht lineare (gekrümmte) Form

Prüfe die Stärke: Jeder Punkt liegt genau auf einer glatten Kurve = Stark

Answer: Das Streudiagramm zeigt ein **starkes, positives, nicht lineares** Muster: Die Kurve wird mit wachsender Geschwindigkeit steiler. Verdoppelt man die Geschwindigkeit von 40 auf 80 km/h, wird der Bremsweg 4-mal so lang ($8 \to 32$ m).

Gruppen, eine Lücke und einen Ausreißer finden

Eine Lehrerin trägt für neun Schüler die Hausaufgabenzeit gegen die Testpunkte (von 10) ein: $(10, 4)$, $(15, 5)$, $(20, 5)$, $(25, 6)$, $(50, 8)$, $(55, 9)$, $(60, 9)$, $(65, 10)$, $(60, 2)$ Beschreibe die Besonderheiten des Streudiagramms.

Suche nach Punktgruppen: Vier Schüler arbeiteten 10 bis 25 Minuten und erreichten 4 bis 6 Punkte. Vier Schüler arbeiteten 50 bis 65 Minuten und erreichten 8 bis 10 Punkte = Zwei Gruppen (Cluster)

Suche nach leeren Bereichen: Kein Schüler arbeitete zwischen 25 und 50 Minuten: $50 - 25 = 25$ Minuten ohne Punkte = Eine Lücke auf der $x$-Achse

Suche einen Punkt, der aus dem Muster fällt: $(60, 2)$: 60 Minuten Hausaufgaben, aber nur 2 Punkte, während die anderen bei etwa 60 Minuten 9 Punkte hatten = $(60, 2)$ ist ein Ausreißer

Beschreibe das Gesamtmuster: Ohne den Ausreißer gehört mehr Hausaufgabenzeit zu mehr Punkten = Insgesamt positive Richtung

Answer: Es gibt **zwei Gruppen** (kurze und lange Hausaufgabenzeit), eine **Lücke** zwischen 25 und 50 Minuten und einen **Ausreißer** bei $(60, 2)$. Insgesamt ist die Richtung positiv. Beim Ausreißer lohnt sich eine Nachfrage: Vielleicht war der Schüler am Testtag krank.

Mistake: Die Zielvariable auf die $x$-Achse legen

Why: Die Achsen haben verschiedene Aufgaben. Wenn du die Freiwürfe auf der $x$-Achse und das Training auf der $y$-Achse einträgst, sieht es so aus, als würden die Freiwürfe die Trainingszeit erklären.

Correct: Frage dich: Welche Variable könnte die andere beeinflussen? Das ist die erklärende Variable, und sie kommt auf die $x$-Achse.

Mistake: Ungleiche Schritte auf einer Achse verwenden (zum Beispiel 0, 5, 10, 20, 50)

Why: Ungleiche Abstände drücken manche Punkte zusammen und ziehen andere auseinander, also siehst du ein falsches Muster.

Correct: Verwende auf jeder Achse durchgehend denselben Schritt, zum Beispiel 0, 10, 20, 30, 40, 50. Die beiden Achsen dürfen verschiedene Schritte haben.

Mistake: Die Punkte wie bei einem Liniendiagramm mit Linien verbinden

Why: Die Zeilen der Tabelle sind einzelne Personen, keine Zeitpunkte. Wer sie verbindet, erfindet einen Weg, den es nicht gibt.

Correct: Lass die Punkte einzeln stehen. Beschreibe das Gesamtmuster in Worten (in der nächsten Lektion zeichnest du eine Ausgleichsgerade).

Mistake: Denken, ein steiles Muster sei ein starkes Muster

Why: Die Steigung sagt, wie schnell sich $y$ ändert. Die Stärke sagt, wie eng die Punkte dem Muster folgen. Ein flaches Muster kann sehr stark sein, ein steiles schwach.

Correct: Beurteile die Stärke danach, wie eng die Punkte an der Geraden oder Kurve liegen, nicht nach der Steilheit.

Sportwissenschaft: Körpergröße und Armspannweite

Trainer im Schwimmen und Basketball tragen die Körpergröße gegen die Armspannweite ein, weil eine große Spannweite in beiden Sportarten ein Vorteil ist.

Bei den meisten Menschen ist die Armspannweite fast gleich der Körpergröße, also liegen die Punkte nah an einer steigenden Geraden: ein starkes, positives, lineares Muster.

Wetter: Höhe und Temperatur

Bergführer und Piloten wissen, dass die Luft kälter wird, je höher man kommt. Ein Streudiagramm von Höhe und Temperatur zeigt, wie schnell.

Wetterballons messen beim Aufstieg alle paar hundert Meter die Temperatur. Zusammen eingetragen liegen die Messwerte fast auf einer fallenden Geraden.

Wirtschaft: Einen Ausreißer finden

Geschäfte tragen die Zahl der Social-Media-Beiträge pro Woche gegen die Zahl neuer Kunden ein, um zu sehen, ob Werbung wirkt, und um Wochen zu finden, die nicht passen.

Eine Woche mit vielen Beiträgen, aber sehr wenigen Kunden fällt als Ausreißer auf. Oft gibt es einen Grund: Feiertage, ein Problem mit der Webseite oder schlechtes Wetter.

Q: Was ist der Unterschied zwischen einem Streudiagramm und einem Liniendiagramm?

A: Ein Liniendiagramm verfolgt eine Größe über die Zeit, daher ist es sinnvoll, die Punkte zu verbinden. Ein Streudiagramm vergleicht zwei Variablen bei vielen einzelnen Personen oder Objekten, daher bleiben die Punkte unverbunden.

Q: Müssen beide Achsen bei 0 beginnen?

A: Nein. Wenn alle Körpergrößen zwischen 148 und 182 cm liegen, nutzt ein Achsenbeginn bei 140 den Platz besser. Halte nur die Schritte gleich groß und zeige den Startwert deutlich an der Achse.

Q: Was, wenn keine Variable die andere erklärt?

A: Manchmal, wie bei Körpergröße und Armspannweite, verursacht keine die andere. Dann darfst du jede der beiden Variablen für die $x$-Achse wählen. Nimm die, mit der du die andere am ehesten schätzen würdest.

Q: Soll ich einen Ausreißer löschen?

A: Nicht automatisch. Prüfe zuerst, ob es ein Fehler in den Daten ist. Ist es ein echter Wert, behalte ihn und erwähne ihn in deiner Beschreibung: Ausreißer erzählen oft die spannendste Geschichte.