Die Grenzen benutzen

Ein Datensatz hat $Q_1 = 20$ und $Q_3 = 30$. Welche der Werte $2$, $18$, $44$ und $50$ sind Ausreißer?

Bestimme den IQR: $\text{IQR} = Q_3 - Q_1 = 30 - 20$ = $\text{IQR} = 10$

Multipliziere den IQR mit 1,5: $1{,}5 \times 10$ = $15$

Bestimme die untere Grenze: $Q_1 - 15 = 20 - 15$ = Untere Grenze $= 5$

Bestimme die obere Grenze: $Q_3 + 15 = 30 + 15$ = Obere Grenze $= 45$

Vergleiche jeden Wert mit den Grenzen: $2 < 5$ (außerhalb), $18$ und $44$ liegen zwischen $5$ und $45$ (innerhalb), $50 > 45$ (außerhalb) = Ausreißer: $2$ und $50$

Answer: Nur $2$ und $50$ sind Ausreißer. Die Werte $18$ und $44$ liegen innerhalb der Grenzen $5$ und $45$.

Einen Ausreißer in Rohdaten finden

Testpunkte (von 20) in einer kleinen Gruppe: $3, 12, 13, 14, 15, 15, 16, 17, 18$. Gibt es einen Ausreißer?

Bestimme den Median: Die Daten sind geordnet. Bei 9 Werten ist der Median der 5. Wert. = Median $= 15$

Bestimme $Q_1$ (Median der unteren Hälfte, ohne den Median): Untere Hälfte: $3, 12, 13, 14$. $(12 + 13) : 2$ = $Q_1 = 12{,}5$

Bestimme $Q_3$ (Median der oberen Hälfte): Obere Hälfte: $15, 16, 17, 18$. $(16 + 17) : 2$ = $Q_3 = 16{,}5$

Bestimme den IQR und $1{,}5 \times \text{IQR}$: $\text{IQR} = 16{,}5 - 12{,}5 = 4$ und $1{,}5 \times 4 = 6$ = $1{,}5 \times \text{IQR} = 6$

Bilde die Grenzen: Unten: $12{,}5 - 6 = 6{,}5$. Oben: $16{,}5 + 6 = 22{,}5$ = Grenzen: $6{,}5$ und $22{,}5$

Prüfe jeden Wert: $3 < 6{,}5$. Alle anderen Werte liegen zwischen $6{,}5$ und $22{,}5$. = $3$ ist ein Ausreißer

Answer: Die Punktzahl $3$ ist ein (unterer) Ausreißer. Ausreißer können also auch kleine Werte sein, nicht nur große.

Ein Ausreißer verzieht den Mittelwert, nicht den Median

Kais Busfahrten dauerten $12, 14, 15, 16, 18$ Minuten. Eines Tages hatte der Bus eine Panne und die Fahrt dauerte $51$ Minuten. Vergleiche Mittelwert, Median und Spannweite vorher und nachher.

Mittelwert und Median ohne 51: Mittelwert $= (12 + 14 + 15 + 16 + 18) : 5 = 75 : 5$. Median: mittlerer Wert. = Mittelwert $= 15$, Median $= 15$

Mittelwert mit 51: $(75 + 51) : 6 = 126 : 6$ = Mittelwert $= 21$

Median mit 51: 6 Werte: $12, 14, 15, 16, 18, 51$. Median $= (15 + 16) : 2$ = Median $= 15{,}5$

Spannweite vorher und nachher: Vorher: $18 - 12 = 6$. Nachher: $51 - 12 = 39$ = Spannweite: $6 \to 39$

Prüfe, ob 51 ein Ausreißer ist: $Q_1 = 14$, $Q_3 = 18$, $\text{IQR} = 4$. Obere Grenze $= 18 + 1{,}5 \times 4 = 24$, und $51 > 24$ = $51$ ist ein Ausreißer

Answer: Ein einziger Ausreißer hat den Mittelwert von $15$ auf $21$ Minuten und die Spannweite von $6$ auf $39$ verändert, der Median ist aber nur von $15$ auf $15{,}5$ gestiegen. Der Median beschreibt weiterhin eine typische Fahrt.

Ausreißer auf beiden Seiten im Boxplot

Eine Wetterstation hat an 11 Sommertagen diese Mittagstemperaturen (°C) gemessen: $2, 21, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 52$. Bestimme die Ausreißer und beschreibe den Boxplot.

Bestimme den Median: 11 Werte, also ist der Median der 6. Wert = Median $= 26$

Bestimme $Q_1$ und $Q_3$: Die untere Hälfte $2, 21, 23, 24, 25$ ergibt $Q_1 = 23$. Die obere Hälfte $27, 28, 29, 30, 52$ ergibt $Q_3 = 29$ = $Q_1 = 23$, $Q_3 = 29$

IQR und $1{,}5 \times \text{IQR}$: $\text{IQR} = 29 - 23 = 6$, $1{,}5 \times 6 = 9$ = $9$

Grenzen: Unten: $23 - 9 = 14$. Oben: $29 + 9 = 38$ = Grenzen: $14$ und $38$

Ausreißer: $2 < 14$ und $52 > 38$ = Ausreißer: $2$ und $52$

Antennen des Boxplots: Die Antennen enden beim kleinsten und größten Wert innerhalb der Grenzen = Antennen von $21$ bis $30$, Punkte bei $2$ und $52$

Answer: Die Ausreißer sind $2$ und $52$. Die Box reicht von $23$ bis $29$ mit dem Median bei $26$, die Antennen reichen von $21$ bis $30$, und $2$ und $52$ werden als einzelne Punkte gezeichnet. Ein Messwert von $52°C$ an einem normalen Sommertag ist fast sicher ein Sensorfehler.

Fehler oder echter Wert?

Körpergrößen von 7 Schülerinnen und Schülern in cm: $148, 152, 155, 158, 160, 163, 1630$. Was solltest du mit $1630$ machen?

Bestimme $Q_1$ und $Q_3$: Median $= 158$. Die untere Hälfte $148, 152, 155$ ergibt $Q_1 = 152$. Die obere Hälfte $160, 163, 1630$ ergibt $Q_3 = 163$ = $Q_1 = 152$, $Q_3 = 163$

Bestimme die obere Grenze: $\text{IQR} = 11$, $1{,}5 \times 11 = 16{,}5$, $163 + 16{,}5$ = Obere Grenze $= 179{,}5$

Ist 1630 ein Ausreißer?: $1630 > 179{,}5$ = Ja, ein Ausreißer

Frage dich: Ist der Wert möglich?: $1630$ cm sind $16{,}3$ m, höher als ein fünfstöckiges Haus. So groß ist kein Mensch. = Es ist ein Fehler

Entscheide: Wahrscheinlich ein Tippfehler (eine Null zu viel). Prüfe die Originalliste: Steht dort $163$, korrigiere den Wert. = Auf $163$ korrigieren

Answer: $1630$ ist ein Ausreißer und zugleich ein unmöglicher Wert, also ein Erfassungsfehler. Korrigiere ihn, wenn du den wahren Wert findest; sonst entferne ihn und schreibe dazu, dass du das getan hast. Echte Ausreißer (eine sehr große, aber mögliche Person) bleiben in den Daten.

Mistake: $Q_3 + \text{IQR}$ statt $Q_3 + 1{,}5 \times \text{IQR}$ rechnen

Why: Ohne den Faktor $1{,}5$ liegen die Grenzen zu nah an der Box, und ganz normale Werte werden als Ausreißer markiert.

Correct: Immer zuerst multiplizieren: $1{,}5 \times \text{IQR}$, dann von $Q_1$ abziehen und zu $Q_3$ addieren.

Mistake: Die Grenzen vom Median, vom Minimum oder vom Maximum aus bilden

Why: Die Regel misst den Abstand zur Box, und die Box endet bei $Q_1$ und $Q_3$.

Correct: Untere Grenze $= Q_1 - 1{,}5 \times \text{IQR}$, obere Grenze $= Q_3 + 1{,}5 \times \text{IQR}$. Nie vom Median oder von den Extremwerten aus starten.

Mistake: Die Antenne bis zum Ausreißer zeichnen

Why: Dann sieht der Ausreißer wie ein Teil der normalen Streuung aus, und der Boxplot versteckt ihn.

Correct: Die Antenne endet beim größten (oder kleinsten) Wert, der kein Ausreißer ist. Zeichne jeden Ausreißer als einzelnen Punkt.

Mistake: Jeden Ausreißer automatisch löschen

Why: Ein Ausreißer kann ein echter und wichtiger Wert sein, zum Beispiel eine Rekordzeit oder eine sehr große Bestellung.

Correct: Entferne oder korrigiere einen Wert nur, wenn er ein Fehler ist (Tippfehler, kaputtes Messgerät, falsche Einheit). Echte Ausreißer behältst du und erwähnst sie, oder du nutzt Median und IQR.

Kartenbetrug erkennen

Banken vergleichen jede neue Kartenzahlung mit den üblichen Zahlungen der Kundin oder des Kunden. Eine Zahlung über der oberen Grenze kann eine Sicherheitsprüfung auslösen.

Die Zahlungen einer Kundin haben $Q_1 = 20$ € und $Q_3 = 60$ €. Eine Zahlung von 450 € liegt weit über der oberen Grenze, deshalb schickt die Bank eine SMS zur Bestätigung.

Qualitätskontrolle in der Fabrik

Saftflaschen sollen alle ungefähr gleich viel enthalten. Flaschen unter der unteren Grenze werden vom Band genommen und geprüft.

Wenn die meisten Flaschen zwischen 498 mL und 502 mL enthalten, ist eine Flasche mit 480 mL eindeutig zu wenig gefüllt, und die Maschine muss vielleicht repariert werden.

Ein typisches Gehalt angeben

Nachrichten nennen oft das Mediangehalt statt des Mittelwerts, weil wenige sehr hohe Gehälter den Mittelwert nach oben ziehen.

In einer kleinen Firma verdienen fünf Angestellte zwischen 30 und 38 Tausend € im Jahr, die Inhaberin verdient 160 Tausend €. Ihr Gehalt ist ein Ausreißer.

Q: Warum 1,5 und nicht 1 oder 2?

A: Den Faktor $1{,}5$ hat der Statistiker John Tukey gewählt, weil er sich in der Praxis bewährt: Er markiert wirklich ungewöhnliche Werte, ohne zu viele normale Werte zu erwischen. Manche Bücher verwenden zusätzlich $3 \times \text{IQR}$ für "extreme" Ausreißer.

Q: Kann ein Datensatz keinen oder mehrere Ausreißer haben?

A: Ja, beides. Viele Datensätze haben gar keine Ausreißer, andere mehrere, auf einer Seite oder auf beiden Seiten (wie die Temperaturen $2$ und $52$ in den Beispielen).

Q: Ist das Minimum oder Maximum immer ein Ausreißer?

A: Nein. Minimum und Maximum sind nur der kleinste und der größte Wert. Ausreißer sind sie nur, wenn sie außerhalb der Grenzen liegen. In $60, 65, 70, 72, 75, 78, 80, 95$ liegt die obere Grenze zum Beispiel bei $96{,}25$, also ist das Maximum $95$ kein Ausreißer.

Q: Gibt es noch einen anderen Weg, Ausreißer zu finden?

A: Ja. Mit der Standardabweichung kannst du messen, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt ist (sein z-Wert). Werte, die mehr als 2 oder 3 Standardabweichungen entfernt sind, gelten oft als ungewöhnlich. Für Boxplots nimmt man die 1,5-IQR-Regel, weil sie nicht vom Mittelwert abhängt, den Ausreißer ja verzerren.