Ausreißer erkennen

Lerne, was ein Ausreißer ist, wie du ihn mit der 1,5-IQR-Regel findest und wie er Mittelwert, Median und Spannweite verändert.

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Definition

Ein Ausreißer ist ein Datenwert, der ungewöhnlich weit von den übrigen Daten entfernt liegt. Er ist viel kleiner oder viel größer als die anderen Werte.

Die 1,5-IQR-Regel

Um fair zu entscheiden, ob ein Wert ein Ausreißer ist, bilden wir aus den Quartilen zwei Grenzen (auch Zäune genannt):
untere Grenze=Q1−1,5×IQR\text{untere Grenze} = Q_1 - 1{,}5 \times \text{IQR}
obere Grenze=Q3+1,5×IQR\text{obere Grenze} = Q_3 + 1{,}5 \times \text{IQR}
Dabei ist IQR=Q3−Q1\text{IQR} = Q_3 - Q_1 der Interquartilsabstand. Jeder Wert unterhalb der unteren Grenze oder oberhalb der oberen Grenze ist ein Ausreißer. Ein Wert genau auf einer Grenze ist kein Ausreißer.

So findest du Ausreißer

  1. 1.Ordne die Daten und bestimme Q1Q_1 und Q3Q_3 (Mediane der unteren und oberen Hälfte, wie in Spannweite und Interquartilsabstand)
  2. 2.Berechne IQR=Q3−Q1\text{IQR} = Q_3 - Q_1
  3. 3.Multipliziere: 1,5×IQR1{,}5 \times \text{IQR}
  4. 4.Untere Grenze =Q1−1,5×IQR= Q_1 - 1{,}5 \times \text{IQR}, obere Grenze =Q3+1,5×IQR= Q_3 + 1{,}5 \times \text{IQR}
  5. 5.Jeder Wert außerhalb der Grenzen ist ein Ausreißer

Ausreißer im Boxplot

Im Boxplot werden Ausreißer als einzelne Punkte gezeichnet. Die Antennen (Whisker) enden beim kleinsten und größten Wert, der kein Ausreißer ist.

Warum Ausreißer wichtig sind

Ein Ausreißer verzieht den Mittelwert und vergrößert die Spannweite, verändert aber den Median und den IQR kaum. Deshalb nennt man Median und IQR robuste Kennwerte.
Es gibt auch andere Methoden: Mit der Standardabweichung gilt ein Wert, der mehr als 2 oder 3 Standardabweichungen vom Mittelwert entfernt ist, oft als ungewöhnlich (siehe Standardabweichung).

Probier es gleich aus

Was ist ein Ausreißer?

Lösungsbeispiele

Ein Datensatz hat Q1=20Q_1 = 20 und Q3=30Q_3 = 30. Welche der Werte 22, 1818, 4444 und 5050 sind Ausreißer?
1

Bestimme den IQR

IQR=Q3−Q1=30−20\text{IQR} = Q_3 - Q_1 = 30 - 20 → IQR=10\text{IQR} = 10
2

Multipliziere den IQR mit 1,5

1,5×101{,}5 \times 10 → 1515
3

Bestimme die untere Grenze

Q1−15=20−15Q_1 - 15 = 20 - 15 → Untere Grenze =5= 5
4

Bestimme die obere Grenze

Q3+15=30+15Q_3 + 15 = 30 + 15 → Obere Grenze =45= 45
5

Vergleiche jeden Wert mit den Grenzen

2<52 < 5 (außerhalb), 1818 und 4444 liegen zwischen 55 und 4545 (innerhalb), 50>4550 > 45 (außerhalb) → Ausreißer: 22 und 5050

Häufige Fehler

Q3+IQRQ_3 + \text{IQR} statt Q3+1,5×IQRQ_3 + 1{,}5 \times \text{IQR} rechnen

Warum es falsch ist: Ohne den Faktor 1,51{,}5 liegen die Grenzen zu nah an der Box, und ganz normale Werte werden als Ausreißer markiert.

Richtig: Immer zuerst multiplizieren: 1,5×IQR1{,}5 \times \text{IQR}, dann von Q1Q_1 abziehen und zu Q3Q_3 addieren.

Die Grenzen vom Median, vom Minimum oder vom Maximum aus bilden

Warum es falsch ist: Die Regel misst den Abstand zur Box, und die Box endet bei Q1Q_1 und Q3Q_3.

Richtig: Untere Grenze =Q1−1,5×IQR= Q_1 - 1{,}5 \times \text{IQR}, obere Grenze =Q3+1,5×IQR= Q_3 + 1{,}5 \times \text{IQR}. Nie vom Median oder von den Extremwerten aus starten.

Die Antenne bis zum Ausreißer zeichnen

Warum es falsch ist: Dann sieht der Ausreißer wie ein Teil der normalen Streuung aus, und der Boxplot versteckt ihn.

Richtig: Die Antenne endet beim größten (oder kleinsten) Wert, der kein Ausreißer ist. Zeichne jeden Ausreißer als einzelnen Punkt.

Jeden Ausreißer automatisch löschen

Warum es falsch ist: Ein Ausreißer kann ein echter und wichtiger Wert sein, zum Beispiel eine Rekordzeit oder eine sehr große Bestellung.

Richtig: Entferne oder korrigiere einen Wert nur, wenn er ein Fehler ist (Tippfehler, kaputtes Messgerät, falsche Einheit). Echte Ausreißer behältst du und erwähnst sie, oder du nutzt Median und IQR.

Interaktive Visualisierung

Boxplot-Ersteller

12Q1: 12,515Q3: 16,518
Min
12
Q1
12,5
Median
15
Q3
16,5
Max
18
IQR (Q3 - Q1):4
Spannweite:6
Ausreißer:3
Sortierte Daten:
3; 12; 13; 14; 15; 15; 16; 17; 18
n = 9

Klicke auf Teile des Boxplots, um zu erfahren, was sie darstellen.

Boxplots vergleichen

Wie gemessen (mit 2 und 52)Sensorfehler entfernt0102030405060Temperatur (°C)
Wie gemessen (mit 2 und 52)Sensorfehler entfernt
Min2121
Q12323,5
Median2626
Q32928,5
Max3030
IQR65
Spannweite99
Ausreißer2; 52-

Alle Boxplots haben dieselbe Achse, so kannst du Mediane, Boxen (IQR) und Spannweiten direkt vergleichen. Tippe auf eine Box, um sie hervorzuheben. Kreise sind Ausreißer: mehr als 1,5 × IQR außerhalb der Box.

Punktdiagramm

Busfahrten ohne die Panne: 12, 14, 15, 16, 18 Minuten

102030405060

Jeder Punkt ist ein Wert (insgesamt 5 Werte).

Mittelwert = 15

Median = 15

Tippe auf eine Spalte, um ihre Punkte zu zählen.

Punktdiagramm

Mit dem Pannentag: 12, 14, 15, 16, 18, 51 Minuten

102030405060

Jeder Punkt ist ein Wert (insgesamt 6 Werte).

Mittelwert = 21

Median = 15,5

Tippe auf eine Spalte, um ihre Punkte zu zählen.

Interaktiver Sandkasten

Ausdrucksrechner

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Übungsaufgaben

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Was ist ein Ausreißer?

Warum es wichtig ist

Ausreißer tauchen überall auf, wo Daten gesammelt werden:
  • Banken: Eine Kartenzahlung weit über deinen üblichen Einkäufen wird als möglicher Betrug markiert
  • Fabriken: Eine Flasche mit viel weniger Saft als die anderen ist ein Ausreißer, den die Qualitätskontrolle aussortiert
  • Wissenschaft: Ein Thermometerwert von 52°C52°C an einem milden Tag ist wahrscheinlich ein kaputter Sensor und keine Hitzewelle
  • Sport: Ein Weltrekord ist ein echter Ausreißer, und zwar der spannendste Wert von allen
  • Gehälter: Ein sehr hohes Gehalt lässt das Durchschnittsgehalt viel höher aussehen, als die meisten Menschen verdienen
Wenn du Ausreißer findest, entdeckst du Fehler, bemerkst Besonderes und wählst den passenden Kennwert (Mittelwert oder Median), um deine Daten ehrlich zu beschreiben.

Anwendungen im echten Leben

Kartenbetrug erkennen

Banken vergleichen jede neue Kartenzahlung mit den üblichen Zahlungen der Kundin oder des Kunden. Eine Zahlung über der oberen Grenze kann eine Sicherheitsprüfung auslösen.

Beispiel:

Die Zahlungen einer Kundin haben Q1=20Q_1 = 20 € und Q3=60Q_3 = 60 €. Eine Zahlung von 450 € liegt weit über der oberen Grenze, deshalb schickt die Bank eine SMS zur Bestätigung.

1Probiere es selbst

Die üblichen Kartenzahlungen einer Kundin haben Q1=20Q_1 = 20 € und Q3=60Q_3 = 60 €. Plötzlich erscheint eine Zahlung von 450 €.

Wie hoch ist die obere Grenze für die Zahlungen dieser Kundin (in €)?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne Q3+1,5×IQRQ_3 + 1{,}5 \times \text{IQR}:

Qualitätskontrolle in der Fabrik

Saftflaschen sollen alle ungefähr gleich viel enthalten. Flaschen unter der unteren Grenze werden vom Band genommen und geprüft.

Beispiel:

Wenn die meisten Flaschen zwischen 498 mL und 502 mL enthalten, ist eine Flasche mit 480 mL eindeutig zu wenig gefüllt, und die Maschine muss vielleicht repariert werden.

2Probiere es selbst

Die Füllmengen von Saftflaschen haben Q1=498Q_1 = 498 mL und Q3=502Q_3 = 502 mL.

Wo liegt die untere Grenze (in mL)?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne Q1−1,5×IQRQ_1 - 1{,}5 \times \text{IQR}:

Ein typisches Gehalt angeben

Nachrichten nennen oft das Mediangehalt statt des Mittelwerts, weil wenige sehr hohe Gehälter den Mittelwert nach oben ziehen.

Beispiel:

In einer kleinen Firma verdienen fünf Angestellte zwischen 30 und 38 Tausend € im Jahr, die Inhaberin verdient 160 Tausend €. Ihr Gehalt ist ein Ausreißer.

3Probiere es selbst

Jahresgehälter in Tausend €: 30,32,34,36,38,16030, 32, 34, 36, 38, 160.

Wie hoch ist das mittlere Gehalt, also der Mittelwert (in Tausend €)?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Addiere alle sechs Gehälter und teile durch 6:

Wichtige Erkenntnisse

  • 1Ein Ausreißer ist ein Wert, der ungewöhnlich weit von den übrigen Daten entfernt liegt, entweder sehr klein oder sehr groß
  • 21,5-IQR-Regel: untere Grenze =Q1−1,5×IQR= Q_1 - 1{,}5 \times \text{IQR}, obere Grenze =Q3+1,5×IQR= Q_3 + 1{,}5 \times \text{IQR}
  • 3Werte unter der unteren oder über der oberen Grenze sind Ausreißer; ein Wert genau auf einer Grenze ist keiner
  • 4Im Boxplot sind Ausreißer einzelne Punkte, und die Antennen enden bei den letzten Werten innerhalb der Grenzen
  • 5Ausreißer verziehen den Mittelwert und vergrößern die Spannweite, Median und IQR ändern sich kaum
  • 6Korrigiere oder entferne einen Ausreißer nur, wenn er ein Fehler ist; echte Ausreißer behältst du und erwähnst sie

Häufig gestellte Fragen

Den Faktor 1,51{,}5 hat der Statistiker John Tukey gewählt, weil er sich in der Praxis bewährt: Er markiert wirklich ungewöhnliche Werte, ohne zu viele normale Werte zu erwischen. Manche Bücher verwenden zusätzlich 3×IQR3 \times \text{IQR} für "extreme" Ausreißer.
Den Faktor 1,51{,}5 hat der Statistiker John Tukey gewählt, weil er sich in der Praxis bewährt: Er markiert wirklich ungewöhnliche Werte, ohne zu viele normale Werte zu erwischen. Manche Bücher verwenden zusätzlich 3×IQR3 \times \text{IQR} für "extreme" Ausreißer.
Ja, beides. Viele Datensätze haben gar keine Ausreißer, andere mehrere, auf einer Seite oder auf beiden Seiten (wie die Temperaturen 22 und 5252 in den Beispielen).
Nein. Minimum und Maximum sind nur der kleinste und der größte Wert. Ausreißer sind sie nur, wenn sie außerhalb der Grenzen liegen. In 60,65,70,72,75,78,80,9560, 65, 70, 72, 75, 78, 80, 95 liegt die obere Grenze zum Beispiel bei 96,2596{,}25, also ist das Maximum 9595 kein Ausreißer.
Ja. Mit der Standardabweichung kannst du messen, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt ist (sein z-Wert). Werte, die mehr als 2 oder 3 Standardabweichungen entfernt sind, gelten oft als ungewöhnlich. Für Boxplots nimmt man die 1,5-IQR-Regel, weil sie nicht vom Mittelwert abhängt, den Ausreißer ja verzerren.

Glossar

Ausreißer
Ein Datenwert, der ungewöhnlich weit von den anderen Werten entfernt liegt; nach der 1,5-IQR-Regel ein Wert unter der unteren oder über der oberen Grenze
Untere Grenze (unterer Zaun)
Die Schranke Q1−1,5×IQRQ_1 - 1{,}5 \times \text{IQR}; Werte darunter sind Ausreißer
Obere Grenze (oberer Zaun)
Die Schranke Q3+1,5×IQRQ_3 + 1{,}5 \times \text{IQR}; Werte darüber sind Ausreißer
1,5-IQR-Regel
Ein Verfahren, um Ausreißer zu finden: Grenzen 1,5 IQR unter Q1Q_1 und 1,5 IQR über Q3Q_3 bilden
Robuster Kennwert
Ein Kennwert, der sich kaum ändert, wenn ein Ausreißer dazukommt, zum Beispiel der Median und der IQR

Formelkarte

Interquartilsabstand

IQR=Q3−Q1\text{IQR} = Q_3 - Q_1

Die Streuung der mittleren 50 % der Daten

Untere Grenze

Q1−1,5×IQRQ_1 - 1{,}5 \times \text{IQR}

Werte unter der unteren Grenze sind Ausreißer

Obere Grenze

Q3+1,5×IQRQ_3 + 1{,}5 \times \text{IQR}

Werte über der oberen Grenze sind Ausreißer

Heutige ChallengeEine Aufgabe, drei Versuche

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