Den Graphen der Tangensfunktion zeichnen

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Was ist die Periode von ?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
Die Periode von ist , nicht wie bei Sinus und Kosinus. Das liegt daran, dass für alle im Definitionsbereich gilt.
2.
Wo tritt die erste positive Asymptote von auf?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
Die Asymptoten von treten auf, wo . Der erste positive Wert, bei dem dies geschieht, ist .
3.
Was ist ?
Lösung: 0
. Die Tangensfunktion geht durch den Ursprung.
4.
Was ist der Wertebereich von ?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
Der Wertebereich von sind alle reellen Zahlen . Im Gegensatz zu Sinus und Kosinus, die zwischen und begrenzt sind, kann die Tangens jeden reellen Wert annehmen.
5.
Was ist ?
Lösung: 1
. Dies ist ein wichtiger Referenzpunkt auf dem Tangensgraphen.
6.
Was ist die Periode von ? Gib deine Antwort als Bruch von an (z.B. 'pi/2' für ).
Lösung: pi/2
Für ist die Periode . Mit ist die Periode .
7.
Welche Transformation stellt die '3' in dar?
1. a)Vertikale Streckung um Faktor 3
2. b)Vertikale Verschiebung um 3 nach oben
3. c)Horizontale Stauchung um Faktor 3
4. d)Periodenänderung auf
Lösung: Vertikale Streckung um Faktor 3
Der Koeffizient 3 vor streckt den Graphen vertikal um den Faktor 3. Jeder y-Wert wird mit 3 multipliziert, wodurch die Kurve steiler wird.
8.
Finde die Periode und die erste positive Asymptote von .
Lösung: pi/6
1. Wie lautet die Formel für die Periode von ? pi/|b|
2. Was ist in ? 3
3. Berechne die Periode: . Schreibe als Bruch von pi. pi/3
4. Die erste positive Asymptote liegt bei der halben Periode. Was ist ? pi/6
9.
Was passiert mit den Asymptoten, wenn wir zeichnen?
1. a)Sie verschieben sich um nach rechts
2. b)Sie ändern ihre Position nicht
3. c)Sie verschieben sich um nach unten
4. d)Sie verschieben sich um nach links
Lösung: Sie verschieben sich um nach rechts
Die Transformation verschiebt den gesamten Graphen, einschließlich der Asymptoten, um nach rechts. Die neuen Asymptoten liegen bei , usw.
10.
Finde, wo gleich 1 ist für in .
Lösung: pi/4, 5pi/4
1. Bei welchem Winkel im ersten Quadranten ist ? pi/4
2. Die Periode des Tangens ist . Was ist ? 5pi/4
3. Ist kleiner als ? ja
4. Liste beide Lösungen in auf: pi/4, 5pi/4
11.
Was ist die Periode von ? Gib deine Antwort als Vielfaches von an (z.B. '2pi' für ).
Lösung: 2pi
Periode = . Der Graph wird horizontal gestreckt und braucht doppelt so lange, um einen Zyklus zu vollenden.
12.
Zeichne . Beschreibe, wie es sich von unterscheidet.
Lösung: reflected over x-axis
1. Was bewirkt das negative Vorzeichen vor einer Funktion? Spiegelung
2. Bei , was ist ? -1
3. Ändern sich die Asymptotenpositionen? nein
4. Beschreibe die Transformation in einer Phrase: an x-Achse gespiegelt
13.
Für , wie lautet die Gleichung der Mittellinie?
1. a)
2. b)Es gibt keine Mittellinie
3. c)
4. d)
Lösung:
Die vertikale Verschiebung um verschiebt den gesamten Graphen um 2 Einheiten nach oben. Die Mittellinie (wo die Funktion zwischen den Perioden kreuzt) liegt bei .
14.
Finde die Asymptoten von im Intervall .
Lösung: pi/4, 3pi/4
1. Schreibe als um. Was ist die Phasenverschiebung? pi/2
2. Für sind Asymptoten bei . Mit einer Verschiebung von , wo ist die erste Asymptote? pi/4
3. Die Periode ist . Was ist die nächste Asymptote nach ? 3pi/4
4. Liste die Asymptoten in auf: pi/4, 3pi/4
15.
Welche Aussage ist WAHR über den Graphen von ?
1. a)Sie hat einen Maximalwert von 1
2. b)Sie ist eine ungerade Funktion:
3. c)Sie ist stetig für alle reellen Zahlen
4. d)Sie ist eine gerade Funktion:
Lösung: Sie ist eine ungerade Funktion:
Die Tangensfunktion ist ungerade, weil . Der Graph hat Punktsymmetrie zum Ursprung.