Eine Welle, die im Maximum beginnt

Ein Graph hat ein Maximum von $5$ bei $x = 0$, ein Minimum von $1$ und die Periode $2\pi$. Stelle seine Gleichung auf.

Bestimme die Mittellinie D: $D = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2}$ = $D = 3$

Bestimme die Amplitude A: $A = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2}$ = $A = 2$

Bestimme B aus der Periode: $B = \frac{2\pi}{2\pi}$ = $B = 1$

Wähle die Form und C: Die Welle beginnt bei $x = 0$ in einem Maximum, also Kosinus mit $C = 0$ = $C = 0$

Answer: $y = 2\cos(x) + 3$

Eine Kosinusgleichung aus einer Beschreibung

Eine Welle hat ein Maximum von $4$ bei $x = \frac{\pi}{4}$, ein Minimum von $-2$ und die Periode $\pi$. Stelle eine Kosinusgleichung auf.

Bestimme die Mittellinie D: $D = \frac{4 + (-2)}{2} = \frac{2}{2}$ = $D = 1$

Bestimme die Amplitude A: $A = \frac{4 - (-2)}{2} = \frac{6}{2}$ = $A = 3$

Bestimme B: $B = \frac{2\pi}{\pi}$ = $B = 2$

Bestimme C aus dem Maximum: Der Kosinus beginnt im Maximum, und das Maximum liegt bei $x = \frac{\pi}{4}$ = $C = \frac{\pi}{4}$

Prüfe einen Punkt: Bei $x = \frac{\pi}{4}$: $3\cos(0) + 1 = 3 + 1$ = $4$, das Maximum

Answer: $y = 3\cos\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right) + 1$

Dieselbe Welle als Sinusgleichung

Schreibe die Welle aus dem vorigen Beispiel (Maximum $4$ bei $x = \frac{\pi}{4}$, Minimum $-2$, Periode $\pi$) als Sinusgleichung.

Behalte A, B und D: Sie hängen nicht von der Form ab = $A = 3$, $B = 2$, $D = 1$

Bestimme eine Viertelperiode: Ein Viertel der Periode: $\frac{1}{4} \cdot \pi$ = $\frac{\pi}{4}$

Finde, wo die Welle die Mittellinie steigend schneidet: Der Sinus erreicht sein Maximum eine Viertelperiode nach dem Start: $\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}$ = $C = 0$

Prüfe einen Punkt: Bei $x = \frac{\pi}{4}$: $3\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 1 = 3 + 1$ = $4$, das Maximum

Answer: $y = 3\sin(2x) + 1$ zeichnet genau dieselbe Welle wie $y = 3\cos\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right) + 1$

Höhe im Riesenrad

Ein Riesenrad hat einen Durchmesser von $40$ m, sein Mittelpunkt liegt $22$ m über dem Boden. Es dreht sich einmal in $8$ Minuten. Du steigst bei $t = 0$ ganz unten ein. Stelle deine Höhe $h$ (in m) nach $t$ Minuten auf.

Bestimme die größte und kleinste Höhe: Radius $= 20$ m: unten $22 - 20$, oben $22 + 20$ = Min $= 2$ m, Max $= 42$ m

Bestimme D und die Amplitude: $D = \frac{42 + 2}{2}$, Amplitude $= \frac{42 - 2}{2}$ = $D = 22$, Amplitude $= 20$

Bestimme B: $B = \frac{2\pi}{8}$ = $B = \frac{\pi}{4}$

Wähle die Form: Bei $t = 0$ bist du im Minimum. Ein Kosinus mit negativem $A$ beginnt im Minimum = $A = -20$, $C = 0$

Prüfe: $t = 0$: $-20\cos(0) + 22 = 2$; $t = 4$: $-20\cos(\pi) + 22 = 42$ = Unten am Start, oben nach einer halben Umdrehung

Answer: $h(t) = -20\cos\left(\frac{\pi}{4}t\right) + 22$, oder dieselbe Welle als $h(t) = 20\cos\left(\frac{\pi}{4}(t - 4)\right) + 22$

Gezeitenmodell

In einem Hafen ist das Wasser bei Hochwasser um 2:00 Uhr $7$ m tief und beim nächsten Niedrigwasser um 8:00 Uhr $3$ m tief. Stelle ein Modell für die Tiefe $y$ nach $x$ Stunden (ab Mitternacht) auf und bestimme die Tiefe um 6:00 Uhr.

Bestimme die Periode: Von Hoch- zu Niedrigwasser ist eine halbe Periode: $8 - 2 = 6$ Stunden, also ist die Periode $2 \cdot 6$ = Periode $= 12$ Stunden

Bestimme A und D: $A = \frac{7 - 3}{2}$, $D = \frac{7 + 3}{2}$ = $A = 2$, $D = 5$

Bestimme B: $B = \frac{2\pi}{12}$ = $B = \frac{\pi}{6}$

Bestimme C: Nimm den Kosinus: Das Maximum liegt bei $x = 2$ = $C = 2$

Bestimme die Tiefe um 6:00 Uhr: $y = 2\cos\left(\frac{\pi}{6}(6 - 2)\right) + 5 = 2\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) + 5 = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + 5$ = $y = 4$ m

Answer: $y = 2\cos\left(\frac{\pi}{6}(x - 2)\right) + 5$; um 6:00 Uhr ist das Wasser $4$ m tief

Mistake: Das Maximum als Amplitude nehmen (Max $7$, Min $3$, also $A = 7$)

Why: Die Amplitude wird von der Mittellinie aus gemessen, nicht von der x-Achse. Die Welle liegt nur $2$ Einheiten über ihrer Mittellinie $y = 5$.

Correct: $A = \frac{\text{Max} - \text{Min}}{2} = \frac{7 - 3}{2} = 2$, und die $5$ gehört zu $D$.

Mistake: Die Periode als B schreiben (Periode $12$, also $B = 12$)

Why: B ist nicht die Periode. Ein größeres B lässt die Welle schneller wiederholen, die Periode wird also kürzer.

Correct: $B = \frac{2\pi}{\text{Periode}} = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$.

Mistake: Das Vorzeichen von C falsch: Maximum bei $x = 2$ als $\cos(B(x + 2))$ geschrieben

Why: In der Klammer hat die Verschiebung das umgekehrte Vorzeichen. $(x + 2)$ verschiebt die Welle nach links.

Correct: Ein Maximum bei $x = 2$ bedeutet $\cos(B(x - 2))$. Probe: Bei $x = 2$ ist die Klammer $0$ und $\cos(0) = 1$.

Mistake: Sinus nehmen und C an das Maximum setzen

Why: Der Sinus beginnt nicht im Maximum. Bei $x = C$ liegt die Sinuswelle auf der Mittellinie und steigt.

Correct: Beim Sinus nimmst du den steigenden Schnittpunkt mit der Mittellinie, eine Viertelperiode vor dem Maximum. Oder du nimmst den Kosinus und das Maximum.

Länge des Tageslichts

Astronomen und Solartechniker beschreiben die Tageslänge mit einer Kosinuswelle, die sich jedes Jahr wiederholt.

In einer nördlichen Stadt hat der längste Tag (Tag $172$, um den 21. Juni) $16$ Stunden Tageslicht und der kürzeste $8$. Ein Modell ist $y = 4\cos\left(\frac{2\pi}{365}(d - 172)\right) + 12$.

Riesenräder

Fahrgeschäft-Planer nutzen die Höhengleichung, um zu prüfen, wie schnell die Gäste steigen und wie lange sie oben bleiben.

Ein Rad mit $50$ m Durchmesser und Mittelpunkt in $30$ m Höhe dreht sich einmal in $12$ Minuten. Mit Einstieg ganz unten gilt $h(t) = -25\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right) + 30$.

Ein Gewicht an einer Feder

Ingenieure beschreiben Schwingungen (Autofederung, Brücken, Sensoren) mit denselben Gleichungen wie ein Gewicht, das an einer Feder schwingt.

Ein Gewicht schwingt zwischen $4$ cm und $16$ cm über einem Tisch und braucht für eine volle Schwingung $2$ Sekunden.

Q: Soll ich Sinus oder Kosinus nehmen?

A: Beides ist richtig. Nimm, was $C$ am einfachsten macht: Kosinus, wenn du ein Maximum gut ablesen kannst, Sinus, wenn du siehst, wo die Welle die Mittellinie steigend schneidet.

Q: Meine Lösung sieht anders aus als die im Buch. Ist sie falsch?

A: Nicht unbedingt. Prüfe ein Maximum und ein Minimum in beiden Gleichungen. Wenn sie an derselben Stelle $x$ dieselben Werte liefern, zeichnen sie dieselbe Welle. Zum Beispiel sind $y = 3\sin(2x) + 1$ und $y = 3\cos\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right) + 1$ derselbe Graph.

Q: Wie finde ich die Periode, wenn ich nur einen Teil der Welle sehe?

A: Miss den waagerechten Abstand zwischen zwei benachbarten Maxima (eine ganze Periode) oder zwischen einem Maximum und dem nächsten Minimum (eine halbe Periode) und verdopple ihn.

Q: Was, wenn die Aufgabe Zeit in Stunden oder Tagen statt Bogenmaß verwendet?

A: Das Vorgehen bleibt gleich: $B = \frac{2\pi}{\text{Periode}}$, mit der Periode in derselben Einheit wie $x$. Gezeiten mit Periode $12$ Stunden haben $B = \frac{\pi}{6}$, ein Jahresmuster hat $B = \frac{2\pi}{365}$.