Meine Lösung sieht anders aus als die im Buch. Ist sie falsch?

Nicht unbedingt. Prüfe ein Maximum und ein Minimum in beiden Gleichungen. Wenn sie an derselben Stelle $x$ dieselben Werte liefern, zeichnen sie dieselbe Welle. Zum Beispiel sind $y = 3\sin(2x) + 1$ und $y = 3\cos\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right) + 1$ derselbe Graph.

Wie finde ich die Periode, wenn ich nur einen Teil der Welle sehe?

Miss den waagerechten Abstand zwischen zwei benachbarten Maxima (eine ganze Periode) oder zwischen einem Maximum und dem nächsten Minimum (eine halbe Periode) und verdopple ihn.

Was, wenn die Aufgabe Zeit in Stunden oder Tagen statt Bogenmaß verwendet?

Das Vorgehen bleibt gleich: $B = \frac{2\pi}{\text{Periode}}$, mit der Periode in derselben Einheit wie $x$. Gezeiten mit Periode $12$ Stunden haben $B = \frac{\pi}{6}$, ein Jahresmuster hat $B = \frac{2\pi}{365}$.

Lehrermaterialien

Sinus- und Kosinusfunktionen aus Graphen aufstellen

Q: Soll ich Sinus oder Kosinus nehmen?

Beides ist richtig. Nimm, was $C$ am einfachsten macht: Kosinus, wenn du ein Maximum gut ablesen kannst, Sinus, wenn du siehst, wo die Welle die Mittellinie steigend schneidet.

Lies Maximum, Minimum, Periode und einen Startpunkt an einer Welle ab und stelle daraus y = A sin(B(x - C)) + D oder eine Kosinusgleichung auf.

Fortgeschritten30 MinLektion

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Definition

In den vorigen Lektionen bist du von der Gleichung zum Graphen gegangen. Jetzt geht es umgekehrt: Du siehst eine Welle (oder liest eine Beschreibung) und stellst ihre Gleichung auf.

Jede Sinus- oder Kosinuswelle lässt sich in einer dieser Formen schreiben:

y = A\sin(B(x - C)) + D \qquad y = A\cos(B(x - C)) + D

Du brauchst nur vier Angaben aus dem Graphen: das Maximum, das Minimum, die Periode und einen Startpunkt.

Buchstabe	Bedeutung	So findest du ihn
$D$	Mittellinie (Verschiebung in y-Richtung)	$D = \frac{\text{Max} + \text{Min}}{2}$
$A$	Amplitude	$A = \frac{\text{Max} - \text{Min}}{2}$
$B$	wie schnell sich die Welle wiederholt	$B = \frac{2\pi}{\text{Periode}}$
$C$	Phasenverschiebung (Verschiebung in x-Richtung)	wo eine Periode beginnt

**So wählst du

C

:**

Kosinus beginnt in einem Maximum (Hochpunkt): $C$ = die $x$ -Stelle eines Maximums.
Sinus beginnt auf der Mittellinie und steigt: $C$ = die $x$ -Stelle, an der der Graph die Mittellinie steigend schneidet.

Zu einem Graphen gibt es viele richtige Gleichungen. Du kannst bei jedem Maximum starten (eine ganze Periode zu

C

addieren oder abziehen), zwischen Sinus und Kosinus wechseln (

C

um eine Viertelperiode verschieben) oder ein negatives

A

nehmen (dann beginnt der Kosinus in einem Minimum). Alle zeichnen dieselbe Welle.

Probier es gleich aus

Eine Sinuskurve hat ein Maximum von

8

und ein Minimum von

2

. Wo liegt ihre Mittellinie?

Lösungsbeispiele

Ein Graph hat ein Maximum von

5

bei

x = 0

, ein Minimum von

1

und die Periode

2\pi

. Stelle seine Gleichung auf.

Bestimme die Mittellinie D

D = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2}

→

D = 3

Bestimme die Amplitude A

A = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2}

→

A = 2

Bestimme B aus der Periode

B = \frac{2\pi}{2\pi}

→

B = 1

Wähle die Form und C

Die Welle beginnt bei

x = 0

in einem Maximum, also Kosinus mit

C = 0

Antwort: $y = 2\cos(x) + 3$

Häufige Fehler

Das Maximum als Amplitude nehmen (Max $7$ , Min $3$ , also $A = 7$ )

Warum es falsch ist: Die Amplitude wird von der Mittellinie aus gemessen, nicht von der x-Achse. Die Welle liegt nur $2$ Einheiten über ihrer Mittellinie $y = 5$ .

Richtig: $A = \frac{\text{Max} - \text{Min}}{2} = \frac{7 - 3}{2} = 2$ , und die $5$ gehört zu $D$ .

Die Periode als B schreiben (Periode $12$ , also $B = 12$ )

Warum es falsch ist: B ist nicht die Periode. Ein größeres B lässt die Welle schneller wiederholen, die Periode wird also kürzer.

Richtig: $B = \frac{2\pi}{\text{Periode}} = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$ .

Das Vorzeichen von C falsch: Maximum bei $x = 2$ als $\cos(B(x + 2))$ geschrieben

Warum es falsch ist: In der Klammer hat die Verschiebung das umgekehrte Vorzeichen. $(x + 2)$ verschiebt die Welle nach links.

Richtig: Ein Maximum bei $x = 2$ bedeutet $\cos(B(x - 2))$ . Probe: Bei $x = 2$ ist die Klammer $0$ und $\cos(0) = 1$ .

Sinus nehmen und C an das Maximum setzen

Warum es falsch ist: Der Sinus beginnt nicht im Maximum. Bei $x = C$ liegt die Sinuswelle auf der Mittellinie und steigt.

Richtig: Beim Sinus nimmst du den steigenden Schnittpunkt mit der Mittellinie, eine Viertelperiode vor dem Maximum. Oder du nimmst den Kosinus und das Maximum.

Interaktive Visualisierung

Funktionsgraph

A = 1B = 1C = 0D = 0

y = sin(x)

Aufgabe 1 von 5

Bewege die Schieberegler, bis dein Graph genau auf der gestrichelten Zielkurve liegt.

Wie nah

0 von 5 gelöst

Tippe auf den Graphen oder fahre mit der Maus darüber, um Werte abzulesen.

y = A·sin(B(x − C)) + DZielkurve

Funktionsgraph

A = 1B = 1C = 0D = 0

y = cos(x)

Aufgabe 1 von 3

Bewege die Schieberegler, bis dein Graph genau auf der gestrichelten Zielkurve liegt.

Wie nah

0 von 3 gelöst

A: kleiner
B: passt
C: passt
D: größer

Tippe auf den Graphen oder fahre mit der Maus darüber, um Werte abzulesen.

y = A·cos(B(x − C)) + DZielkurve

Funktionsgraph

Tippe auf den Graphen oder fahre mit der Maus darüber, um Werte abzulesen.

WasserstandMittellinie y = 5

Interaktiver Sandkasten

Interaktiver Grapher

Tippe auf den Graphen oder fahre mit der Maus darüber, um Werte abzulesen.

Probiere diese Beispiele:

2cos(x) + 3

Ausdrucksrechner

Probiere diese:

Verlauf

Noch keine Berechnungen

Übungsaufgaben

18 Aufgaben

Aufgabe 1 von 18

Einfach

Eine Sinuskurve hat ein Maximum von

8

und ein Minimum von

2

. Wo liegt ihre Mittellinie?

Übungsaufgaben: Sinus- und Kosinusfunktionen aus Graphen aufstellen

1. Eine Sinuskurve hat ein Maximum von 8 und ein Minimum von 2. Wo liegt ihre Mittellinie?
2. Eine Welle geht von einem Minimum von 1 bis zu einem Maximum von 9. Wie groß ist ihre Amplitude?
3. Eine Sinuswelle hat die Periode 4\pi. Wie groß ist B in y = \sin(Bx)?
4. Eine Welle hat bei x = 0 ein Maximum. Welche Form beschreibt sie mit C = 0?
5. Eine Welle hat ein Maximum von 6 und ein Minimum von -2. Bestimme die Mittellinie D und die Amplitude A.
6. Der Wasserstand in einem Hafen wiederholt sich alle 12 Stunden. Wie groß ist B im Modell y = A\cos(B(x - C)) + D mit x in Stunden? (Tippe pi für \pi, z. B. pi/4.)
7. Eine Welle hat Amplitude 2, Mittellinie y = 0, Periode 2π und ein Maximum bei x = (π)/3. Welche Gleichung passt?
8. Eine Welle hat ein Maximum von 5 bei x = \frac{\pi}{6}, ein Minimum von -1 und die Periode \frac{2\pi}{3}. Schreibe sie als y = A\cos(B(x - C)) + D.
9. Eine Welle schneidet ihre Mittellinie y = 0 steigend bei x = \frac{\pi}{4}, hat ein Maximum von 3 und die Periode \pi. Schreibe sie als y = A\sin(B(x - C)) + D.
10. Welche Gleichung zeichnet NICHT denselben Graphen wie y = 2\cos(x)?
11. Der Graph von y = 4\sin(2x) + 1 lässt sich auch als y = 4\cos(2(x - C)) + 1 schreiben. Was ist das kleinste positive C? (Tippe pi für \pi, z. B. pi/3.)
12. Ein Riesenrad hat 30 m Durchmesser, sein Mittelpunkt liegt 18 m über dem Boden, und es dreht sich einmal in 6 Minuten. Du steigst bei t = 0 unten ein. Verwende h(t) = A\cos(Bt) + D.
13. Eine Welle hat ein Maximum bei (1, 7) und das nächste Minimum bei (4, 1). Schreibe sie als y = A\cos(B(x - C)) + D.
14. In einem Hafen ist das Hochwasser um 4:00 Uhr 9 m und das nächste Niedrigwasser um 10:00 Uhr 1 m tief. Beschreibe die Tiefe mit y = A\cos(B(x - C)) + D (x in Stunden nach Mitternacht) und bestimme die Tiefe um 6:00 Uhr.
15. Eine Welle hat ein Maximum von 10 bei x = 3 und das nächste Minimum von 2 bei x = 7. Was ist in y = A\sin(B(x - C)) + D mit A > 0 das kleinste positive C?
16. Ein Gewicht an einer Feder startet bei t = 0 an seinem tiefsten Punkt, 2 cm über dem Boden. Sein höchster Punkt liegt bei 12 cm, und eine volle Schwingung dauert 4 Sekunden. Welches Modell stimmt?
17. Ein Graph hat ein Minimum von -5 bei x = 0, ein Maximum von 3 und die Periode 4\pi. Schreibe ihn als y = A\cos(Bx) + D (also C = 0).
18. Eine Stadt hat am längsten Tag (Tag 172) 17 Stunden Tageslicht und am kürzesten 7 Stunden. Das Muster wiederholt sich alle 365 Tage. Bestimme A, D, B und C in y = A\cos(B(d - C)) + D.

Warum es wichtig ist

Alles, was sich gleichmäßig wiederholt, lässt sich mit einer Sinus- oder Kosinusgleichung beschreiben, und im echten Leben bekommst du fast nie zuerst die Gleichung. Du bekommst Daten: einen höchsten Wert, einen niedrigsten Wert und die Dauer eines Durchgangs.

Riesenräder: Deine Höhe über dem Boden steigt und fällt bei jeder Umdrehung
Gezeiten: Der Wasserstand wechselt etwa alle 12 Stunden zwischen Hoch- und Niedrigwasser
Tageslicht: Die Tageslänge ist im Sommer am größten und wiederholt sich alle 365 Tage
Federn und Pendel: Ein Gewicht schwingt in fester Zeit auf und ab
Temperatur: Die durchschnittliche Tagestemperatur folgt einer Jahreswelle

Sobald du die Gleichung aufstellen kannst, kannst du vorhersagen: die Höhe nach 2 Minuten, den Wasserstand um 6:00 Uhr, das Tageslicht an deinem Geburtstag.

Anwendungen im echten Leben

Länge des Tageslichts

Astronomen und Solartechniker beschreiben die Tageslänge mit einer Kosinuswelle, die sich jedes Jahr wiederholt.

Beispiel:

In einer nördlichen Stadt hat der längste Tag (Tag $172$ , um den 21. Juni) $16$ Stunden Tageslicht und der kürzeste $8$ . Ein Modell ist $y = 4\cos\left(\frac{2\pi}{365}(d - 172)\right) + 12$ .

1Probiere es selbst

Eine andere Stadt hat am längsten Tag $15$ Stunden Tageslicht und am kürzesten $9$ Stunden. Das Muster wiederholt sich alle $365$ Tage.

Welcher Wert für B gehört in das Modell $y = A\cos(B(d - C)) + D$ ?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Verwende $B = \frac{2\pi}{\text{Periode}}$ :

Riesenräder

Fahrgeschäft-Planer nutzen die Höhengleichung, um zu prüfen, wie schnell die Gäste steigen und wie lange sie oben bleiben.

Beispiel:

Ein Rad mit $50$ m Durchmesser und Mittelpunkt in $30$ m Höhe dreht sich einmal in $12$ Minuten. Mit Einstieg ganz unten gilt $h(t) = -25\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right) + 30$ .

2Probiere es selbst

Du steigst bei $t = 0$ ganz unten in das Rad von oben ein ( $50$ m Durchmesser, Mittelpunkt in $30$ m Höhe, eine Umdrehung in $12$ Minuten).

Wie hoch bist du nach $2$ Minuten (in m)?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Setze $t = 2$ in $h(t) = -25\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right) + 30$ ein:

Ein Gewicht an einer Feder

Ingenieure beschreiben Schwingungen (Autofederung, Brücken, Sensoren) mit denselben Gleichungen wie ein Gewicht, das an einer Feder schwingt.

Beispiel:

Ein Gewicht schwingt zwischen $4$ cm und $16$ cm über einem Tisch und braucht für eine volle Schwingung $2$ Sekunden.

3Probiere es selbst

Das Gewicht von oben wird bei $t = 0$ an seinem höchsten Punkt ( $16$ cm) losgelassen. Eine volle Schwingung dauert $2$ Sekunden, der tiefste Punkt liegt bei $4$ cm.

Wie hoch ist das Gewicht nach $\frac{1}{3}$ Sekunde (in cm)?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Verwende $y = 6\cos(\pi t) + 10$ mit $t = \frac{1}{3}$ :

Wichtige Erkenntnisse

1Mittellinie: $D = \frac{\text{Max} + \text{Min}}{2}$ ; Amplitude: $A = \frac{\text{Max} - \text{Min}}{2}$
2Aus der Periode: $B = \frac{2\pi}{\text{Periode}}$ (von einem Maximum zum nächsten Minimum ist eine halbe Periode)
3Kosinus: $C$ ist die $x$ -Stelle eines Maximums; Sinus: $C$ ist die Stelle, an der die Welle die Mittellinie steigend schneidet
4Eine Welle, die in einem Minimum beginnt, ist ein Kosinus mit negativem $A$
5Ein Graph hat viele richtige Gleichungen: ganze Perioden zu $C$ addieren, um eine Viertelperiode verschieben, um zwischen Sinus und Kosinus zu wechseln, oder das Vorzeichen von $A$ umkehren und um eine halbe Periode verschieben
6Prüfe in deiner fertigen Gleichung immer einen Punkt (ein Maximum oder ein Minimum)

Häufig gestellte Fragen

Beides ist richtig. Nimm, was

C

am einfachsten macht: Kosinus, wenn du ein Maximum gut ablesen kannst, Sinus, wenn du siehst, wo die Welle die Mittellinie steigend schneidet.

Glossar

Mittellinie: Die waagerechte Gerade $y = D$ genau zwischen Maximum und Minimum der Welle
Amplitude: Der Abstand von der Mittellinie zu einem Maximum: $\frac{\text{Max} - \text{Min}}{2}$
Periode: Die waagerechte Länge einer vollen Schwingung; $B = \frac{2\pi}{\text{Periode}}$
Phasenverschiebung: Die Verschiebung $C$ in x-Richtung: wo eine Periode der einfachen Sinus- oder Kosinuswelle beginnt
Sinusförmiges Modell: Eine Gleichung $y = A\sin(B(x - C)) + D$ oder $y = A\cos(B(x - C)) + D$ , die eine echte, sich wiederholende Größe beschreibt

Formelkarte

Allgemeine Formen

y = A\sin(B(x - C)) + D

y = A\cos(B(x - C)) + D

Jede Sinus- oder Kosinuswelle passt in eine dieser Formen

Mittellinie

D = \frac{\text{Max} + \text{Min}}{2}

Der Mittelwert aus größtem und kleinstem Wert

Amplitude

A = \frac{\text{Max} - \text{Min}}{2}

Die Hälfte der gesamten Höhe der Welle

B aus der Periode

B = \frac{2\pi}{\text{Periode}}

Die Periode ist der Abstand zwischen zwei Maxima

Startpunkt C

\cos

C = x_{\text{Max}}

;

\sin

C = x_{\text{Mittellinie, steigend}}

Kosinus beginnt im Maximum, Sinus steigend auf der Mittellinie

Heutige ChallengeEine Aufgabe, drei Versuche

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Funktionsgraph

Funktionsgraph

Funktionsgraph

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Verlauf

Übungsaufgaben

Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Länge des Tageslichts

Riesenräder

Ein Gewicht an einer Feder

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

Allgemeine Formen

Mittellinie

Amplitude

B aus der Periode

Startpunkt C

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Kotangens-Graphen

Zeichnen der Kosinusfunktion

Amplitude und Periode