Doppelwinkelformeln

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Wie lautet die Doppelwinkelformel für Sinus?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
Die Doppelwinkelformel für Sinus ist . Sie stammt aus dem Additionstheorem mit .
2.
Welche der folgenden ist KEINE gültige Form von ?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
ist falsch. Die drei gültigen Formen sind: , und .
3.
Berechne mit der Doppelwinkelformel für . Gib deine Antwort als Dezimalzahl mit 3 Nachkommastellen an.
Lösung: 0.866
4.
Vereinfache . Gib deine Antwort als Dezimalzahl mit 3 Nachkommastellen an.
Lösung: 0.707
5.
Wenn und im ersten Quadranten liegt, was ist ?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
(positiv im 1. Quadranten). Dann .
6.
Wenn und im vierten Quadranten liegt, finde . Gib deine Antwort als Bruch in der Form a/b an.
Lösung: -7/25
7.
Wie lautet die Doppelwinkelformel für Tangens?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
Die Doppelwinkelformel für Tangens ist . Beachte das Minuszeichen im Nenner!
8.
Finde , wenn und im ersten Quadranten liegt.
Lösung: 24/25
1. Aus , wenn Gegenkathete = 4 und Ankathete = 3, was ist die Hypotenuse? 5
2. Was ist ? 4/5
3. Was ist ? 3/5
4. Berechne 24/25
9.
Leite die Formel aus ab.
Lösung: 1 - 2sin^2(theta)
1. Beginne mit: . Welche Identität verbindet und ? sin^2 + cos^2 = 1
2. Löse nach aus der pythagoreischen Identität. cos^2 = 1 - sin^2
3. Setze in die ursprüngliche Formel ein. Was erhältst du? (1 - sin^2) - sin^2
4. Vereinfache den Ausdruck. 1 - 2sin^2
10.
Berechne , wenn . Gib deine Antwort als Bruch in der Form a/b an.
Lösung: -4/3
11.
Löse für .
Lösung: 0, pi/3, pi, 5pi/3
1. Wende die Doppelwinkelformel auf die linke Seite an. 2sin(x)cos(x) = sin(x)
2. Forme um und faktorisiere. sin(x)(2cos(x) - 1) = 0
3. Welche zwei Fälle ergeben sich aus der faktorisierten Form? sin(x) = 0 oder cos(x) = 1/2
4. Finde alle Lösungen für in . 0, pi
5. Finde alle Lösungen für in . pi/3, 5pi/3
12.
Finde , wenn und im dritten Quadranten liegt.
Lösung: 161/289
1. Welche Form von ist am praktischsten, wenn du nur kennst? 1 - 2sin^2
2. Was ist ? 64/289
3. Was ist ? 128/289
4. Berechne . 161/289
13.
Bei welchem Winkel ergibt die Wurfweitenformel die maximale Weite?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
Die maximale Weite tritt auf, wenn , was bedeutet , also .
14.
Vereinfache mit der Doppelwinkelidentität. Schreibe deine Antwort in Bezug auf .
Lösung: cos(2theta)
ist eine der drei äquivalenten Formen der Kosinus-Doppelwinkelidentität.
15.
Verwende die potenzmindernde Identität, um durch auszudrücken.
Lösung: (1 - cos(2x))/2
1. Beginne mit der Doppelwinkelidentität: . Löse nach . 2sin^2(x) = 1 - cos(2x)
2. Teile beide Seiten durch 2, um zu erhalten. sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2