Gerade und ungerade trigonometrische Identitäten

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Welche trigonometrische Funktion ist gerade?
1. a)Kotangens
2. b)Tangens
3. c)Sinus
4. d)Kosinus
Lösung: Kosinus
Kosinus ist eine gerade Funktion, weil . Der Kosinusgraph ist symmetrisch zur y-Achse. Sinus, Tangens und Kotangens sind alle ungerade Funktionen.
2.
Was ist ?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
Da Sinus ungerade ist: . Wir wissen , also ist das Negative davon .
3.
Wenn , was ist ? (Gib als Bruch mit sqrt für Quadratwurzel ein)
Lösung: sqrt(2)/2
Kosinus ist gerade, also . Der negative Winkel gibt das gleiche Ergebnis wie der positive Winkel für gerade Funktionen.
4.
Welche der folgenden ist eine ungerade Funktion?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
Tangens ist ungerade, weil . Kosinus und Sekans sind gerade Funktionen. ist das Quadrat einer geraden Funktion, was sie gerade macht.
5.
Vereinfache zu einem einzigen Ausdruck mit . (Vorzeichen einschließen)
Lösung: -tan(60)
Da Tangens ungerade ist: . Das Minuszeichen bewegt sich von innen nach außen.
6.
Vereinfache:
Lösung: -tan(x)
1. Wende die ungerade Identität auf an: -sin(x)
2. Wende die gerade Identität auf an: cos(x)
3. Vereinfache : -tan(x)
7.
Wenn , was ist ?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
Da Sinus ungerade ist: . Das Vorzeichen des Sinuswertes ändert sich, wenn der Winkel negiert wird.
8.
Vereinfache zu einem Ausdruck mit nur positiven Winkeln.
Lösung: cos(x) - sin(x)
9.
Vereinfache:
Lösung: -sec(theta) tan(theta)
1. Ist Sekans gerade oder ungerade? gerade
2. Also ist sec(theta)
3. Ist Tangens gerade oder ungerade? ungerade
4. Also ist -tan(theta)
5. Multipliziere: -sec(theta) tan(theta)
10.
Was ist ?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
Da Kotangens ungerade ist: . Wir wissen , weil .
11.
Ist die Funktion gerade, ungerade oder keines von beiden? (Eingabe: gerade, ungerade oder keines)
Lösung: odd
. Da , ist die Funktion ungerade.
12.
Beweise, dass für alle .
Lösung: 0
1. Wende die ungerade Identität auf an: -sin(x)
2. Setze in den Ausdruck ein: 0
3. Gilt dies für alle Werte von ? (ja/nein) ja
13.
Vereinfache:
Lösung: -2sin(x)
1. Wende gerade Identität auf an: cos(x)
2. Wende ungerade Identität auf an: -tan(x)
3. Wende ungerade Identität auf an: -sin(x)
4. Schreibe um: -cos(x)tan(x) - sin(x)
5. Vereinfache mit : sin(x)
6. Endantwort: -2sin(x)
14.
Wenn , ist gerade, ungerade oder keines von beiden?
1. a)Keines von beiden
2. b)Kann nicht bestimmt werden
3. c)Gerade
4. d)Ungerade
Lösung: Gerade
. Da , ist die Funktion gerade. Das Quadrieren einer ungeraden Funktion ergibt eine gerade Funktion!
15.
Beweise:
Lösung: -tan(x/2)
1. Wende gerade Identität an: cos(x)
2. Wende ungerade Identität an: -sin(x)
3. Einsetzen: -((1-cos(x))/sin(x))
4. Die Halbwinkelidentität besagt . Also ist unsere Antwort: -tan(x/2)
16.
Wenn und , was ist ?
Lösung: -0.48