Halbwinkelidentitäten

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Welche Formel stellt korrekt dar?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
Die Sinus-Halbwinkelformel ist . Die zweite Option ist für Kosinus, die dritte für Tangens, und die vierte ist einfach falsch.
2.
Um mit einer Halbwinkelformel zu finden, welchen Winkel solltest du für verwenden?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
Da , brauchen wir . Wir verwenden die Halbwinkelformel mit , weil wir vom Einheitskreis kennen.
3.
Die Halbwinkelformel für Sinus hat ein -Zeichen. Wenn , welches Vorzeichen solltest du verwenden?
1. a) (positiv)
2. b)Keines
3. c)Beide sind korrekt
4. d) (negativ)
Lösung: (positiv)
liegt im Quadrant I (zwischen und ), wo der Sinus positiv ist. Daher verwenden wir das positive Vorzeichen.
4.
Wenn , was ist ?
Lösung: 1/2
. Dieser Wert erscheint im Zähler der Sinus-Halbwinkelformel.
5.
Was ist berechnet mit der Halbwinkelformel mit ?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
. Dies bestätigt unseren bekannten Wert!
6.
Berechne mit den Wert von . Gib deine Antwort als Bruch mit im Zähler an.
Lösung: (2+sqrt(2))/2
. Dies erscheint in der Kosinus-Halbwinkelformel.
7.
Finde den exakten Wert von mit der Halbwinkelformel.
Lösung: sqrt(2+sqrt(2))/2
1. Welchen Winkel solltest du verwenden? (22,5° ist die Hälfte von welchem Winkel?) 45
2. Was ist ? sqrt(2)/2
3. Berechne (2+sqrt(2))/2
4. Teile durch 2: (2+sqrt(2))/4
5. Ziehe die Quadratwurzel (positiv, da 22,5° in QI liegt) sqrt(2+sqrt(2))/2
8.
Welche davon ist eine gültige Formel für ?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
Die Tangens-Halbwinkelformel ist (oder äquivalent ). Die anderen Optionen sind falsche Varianten.
9.
Berechne mit der Halbwinkelformel. Drücke es als aus, wobei eine ganze Zahl ist.
Lösung: 1
. Also .
10.
Finde den exakten Wert von .
Lösung: sqrt(2-sqrt(3))/2
1. 15° ist die Hälfte von welchem Winkel? 30
2. Was ist ? sqrt(3)/2
3. Berechne (2-sqrt(3))/2
4. Teile durch 2, um den Radikanden zu erhalten (2-sqrt(3))/4
5. Ziehe die Quadratwurzel (positiv für QI) sqrt(2-sqrt(3))/2
11.
Wenn , was ist das Vorzeichen von ?
1. a)Null
2. b)Positiv
3. c)Negativ
4. d)Undefiniert
Lösung: Negativ
. Der Winkel 120° liegt im Quadrant II, wo der Kosinus negativ ist. Daher verwenden wir das negative Vorzeichen.
12.
Finde mit Halbwinkelformeln . Drücke deine Antwort als aus und gib den Wert von an.
Lösung: 2
. Also , , .
13.
Finde den exakten Wert von .
Lösung: sqrt(2)+1
1. 67,5° ist die Hälfte von welchem Winkel? 135
2. Was ist ? sqrt(2)/2
3. Was ist ? -sqrt(2)/2
4. Berechne 1+sqrt(2)/2
5. Wende an und vereinfache sqrt(2)+1
14.
Wenn und im Quadrant I liegt, finde . Drücke als Bruch aus.
Lösung: 7/25
Aus erhalten wir . Mit : , also , daher .
15.
Finde mit der Halbwinkelformel.
Lösung: sqrt(2+sqrt(3))/2
1. Wandle in Grad um 75
2. 75° ist die Hälfte von welchem Winkel? 150
3. Was ist ? -sqrt(3)/2
4. Berechne (2+sqrt(3))/2
5. Wende die Formel an und vereinfache (positiv für QI) sqrt(2+sqrt(3))/2